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1、 单元训练金卷高三数学卷（A） 第第 7 单元单元 数列数列 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1=12，S5=90，则等差数列an公差 d=（ ） A2BC3D4 3 2 2在正项等比数列中，已知，则的值为（ ） n a 4 2a 8 1 8 a 5 a ABC D1 1 4 1 4 1 3在等差数列中，则（ ） n a 513 40aa 8910 aaa A72B60C48D36 4中国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里” 其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了 7 天，共走
3、了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（ ） A里B里C 里D里 700 127 350 63 280 51 350 127 5已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值 n an n S 6 5 1 a a 0 n S n 为（ ） A6B7C10D12 6已知等差数列的公差不为零，为其前项和，且，构成 n a n Sn 3 9S 2 1a 3 1a 5 1a 等比数列，则（ ） 5 S A15BC30D2515 7在等差数列中，是方程的两根，则数列的前 11 项和等于 n a 3 a 9 a 2 24120xx n a （ ） A66B132CD66132 8我国南
4、宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角， 这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 1 2n，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前 15 项和为（ ） A110B114C124D125 9已知数列 n a的前n项和为 n S，满足2=31 nn Sa ，则通项公式 n a等于（ ） A 1 2n n a - =B2n n a C 1 3 n n aD3n n a 10已知数列满足，且，则（ ） ABCD 11已知数列： 1 12 123 1234 2 33 444 5
5、555 ，那么数列 1 1 n nn b a a 前 项和 为（ ） A 1 1 1n B 1 41 1n C 11 4 21n D 11 21n 12已知数列 n a满足递推关系： 1 1 n n n a a a ， 1 1 2 a ，则 2017 a（ ） A 1 2016 B 1 2017 C 1 2018 D 1 2019 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知等比数列 n a满足 1 1 2 a ，且 243 4(1)a aa，则 5 a _ 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 14若三数成等比数列，其
6、积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_ 15在数列 n a中， 1 1a ， 1 3 3 n n n a a a n * N猜想数列的通项公式为_ 16已知正项等比数列 n a满足 543 2aaa，若存在两项 m a， n a，使得 1 8 mn a aa，则 91 mn 的最小值为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知等差数列 n a的公差不为 0， 1 3a ，且 247 ,a a a成等比数列 （1）求 n a的通项公式； （2
7、）求 2462n aaaa 18 （12 分）已知公差不为零的等差数列 n a满足 5 35S ，且 2 a， 7 a， 22 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 4 13 n nn b aa ，且数列 n b的前n项和为 n T，求证： 3 4 n T 19 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S且21() nn San * N （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n na的前n项和 n T 20 （12 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 21 nn aa ，n * N （1）求证数列1 n a 是等比数列，并求数列 n a的通项公式；
8、（2）设 221 log1 nn ba ，数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T，求证： 11 156 n T 21 （12 分）已知等差数列的前 项和为，且是与的等差中项 （1）求的通项公式； （2）设数列满足sin 2 n nn a ba，求的前 项和 22 （12 分）设正项数列的前 n 项和为，已知 （1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式； （2）设数列的前 n 项和为，且 1 4 n nn b aa ，若对任意都成立， 求实数 的取值范围 单元训练金卷高三数学卷（A） 第第 7 单元单元 数列数列 答答 案案 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题
9、，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 【答案】C 【解析】a1=12，S5=90， 5 4 5 1290 2 d ，解得 d=3，故选 C 2 【答案】D 【解析】由题意，正项等比数列 n a中，且 4 2a ， 8 1 8 a ，可得 4 8 4 1 16 a q a ， 又因为0q ，所以 1 2 q ，则 54 1 21 2 aaq，故选 D 3 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质可知： 51399 4024020aaaa， 8910999 2360aaaaaa，故本题选 B
10、4 【答案】A 【解析】设马每天所走的路程是 127 ,.a aa，是公比为 1 2 的等比数列， 这些项的和为 700， 7 1 71 1 1 ( ) 64 7002 700 1 127 1 2 a Sa ， 6 71 700 127 aa q，故答案为 A 5 【答案】C 【解析】设等差数列 n a的公差为d， 因为等差数列 n a的前n项和 n S有最大值，所以0d ， 又 6 5 1 a a ，所以 5 0a ， 6 0a ，且 56 0aa， 所以 110 1011056 10() 5()5()0 2 aa aSaaa ， 111 116 11() 110 2 aa Sa ， 所以满
11、足0 n S 的最大正整数n的值为 10 6 【答案】D 【解析】设等差数列 n a的公差为0d d ， 由题意 1 2 111 339 21141 ad adadad ，解得 1 1 2 a d 5 5 4 2 5 125 2 S 故选 D 7 【答案】D 【解析】因为 3 a， 9 a是方程 2 24120xx的两根，所以 39 24aa ， 又 396 242aaa ，所以 6 12a ， 6111 11 11 211 () 132 22 aaa S ，故选 D 8 【答案】B 【解析】由题意，n次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n行， 令1x ，可得二项展开式的二项式系数的和2n， 其
12、中第 1 行为 0 2，第 2 行为 1 2，第 3 行为 2 2 ，以此类推， 即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列， 则杨辉三角形中前n行的数字之和为 12 21 12 n n n S - =- - ， 若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,， 可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则 (1) 2 n n n T ， 令 (1) 15 2 n n ，解得5n ， 所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 7 2113114， 即前 15 项的数字之和为 114，故选 B 9 【答案】C 【解析】当1n
13、时， 11 231Sa， 1 1a， 当2n 且n * N时， 11 231 nn Sa ， 则 111 22231 3133 nnnnnnn SSaaaaa ，即 1 3 nn aa ， 数列 n a是以1为首项，3为公比的等比数列 1 3n n a ，本题正确选项 C 10 【答案】B 【解析】利用排除法，因为， 当时，排除 A； 当时，B 符合题意； 当时，排除 C； 当时，排除 D，故选 B 11 【答案】B 【解析】由题意可知： 1 12 2 112 n n n nn a nn ， 1 11411 4 1 11 22 n nn b n n a an nnn ， 11111111 41
14、41 2233411 n S nnn ， 本题正确选项 B 12 【答案】C 【解析】 1 1 n n n a a a ， 1 1 2 a ， 1 11 1 nn aa 数列 1 n a 是等差数列，首项为 2，公差为 1 2017 1 220162018 a ，则 2017 1 2018 a故选 C 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】8 【解析】 243 4(1)a aa， 2 33 4(1)aa，则 3 2a ， 22 3 5 1 2 8 1 2 a a a ，故答案为 8 14 【答案】1 【解析】三数成等比数列，设
15、公比为q，可设三数为 a q ，a，aq，可得 3 8 4 a a aq q ， 求出 2 1 a q ，公比q的值为 1 15 【答案】 3 2n 【解析】由 1 3 3 n n n a a a ， 1 1a ，可得 1 2 1 33 34 a a a ， 2 3 2 33 35 a a a ， 3 4 3 33 36 a a a ，猜想数列的通项公式为 3 2 n a n ，本题正确结果 3 2n 16 【答案】2 【解析】正项等比数列 n a满足 543 2aaa， 432 111 =+2a qa qa q，整理得 2 10+2qq ， 又0q ，解得 1 2 q ， 存在两项 m a，
16、 n a使得 1 8 mn aaa， 222 11 64 m n a qa ，整理得8mn， 911911919 ()101022 888 mnmn mn mnmnnmnm ， 则 91 mn 的最小值为 2，当且仅当 9mn nm 取等号，但此时m，n * N 又8mn，所以只有当6m ，2n 时，取得最小值是 2 故答案为 2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）2 n an；（2） 2 3nn 【解析】 （1） 24 ,a a 7 a成等比数列
17、， 2 427 aa a， 即 2 111 (3 )()(6 )adad ad，化简得 1 (3 )0ad d， 公差0d ， 1 3ad， 1 3a，1d， 1 (1)2 n aandn （2）由（1）知 2 22 n an，故 2 n a是首项为 4、公差为 2 的等差数列， 所以 2 22 2462 ()(422) 3 22 n n n aann aaaann 18 【答案】 （1）21 n an；（2）见详解 【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为d(0d )， 由题意得 5 2 7222 35S aa a ，则 1 2 111 5 4 535 2 (6 )21 ad adadad
18、 ， 化简得 1 1 27 23 ad ad ，解得 1 3 2 a d ，所以32121 n ann （2）证明： 4411 11 13224222 n nn b aannn nnn ， 所以 1 1111111111 2 132435112 n T nnnn 111131113 1 221242124nnnn 19 【答案】 （1） 1 2n n a - =；（2）221 nn n Tn 【解析】 （1）因为21 nn Sa，当2n 时， 11 21 nn Sa ， 两式相减可得 11 22 nnnn SSaa ，即 1 22 nnn aaa ， 整理可得 1 2 nn aa ， 111
19、21aSa，解得 1 1a ， 所以数列 n a为首项为1，公比为2的等比数列， 1 2n n a （2）由题意可得： 01 1 22 22n n Tn ， 所以 121 21 22 2(1)22 nn n Tnn ， 两式相减可得 121 1 2 122222212 1 2 n nnnnn n Tnnn ， 221 nn n Tn 20 【答案】 （1）证明见解析，21 n n an * N；（2）见解析 【解析】 （1）由 1 21 nn aa ，得 1 121 nn aa ， 即 1 1 2 1 n n a a ，且 1 12a ， 数列1 n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， 1
20、 12 22 nn n a ， 数列 n a的通项公式为21 n n an * N （2）由（1）得： 21 2212 log1log21 121 n nn ban ， 1 11111 21232 2123 nn b bnnnn ， 1111111 235572123 11 646 n nn Tn n * N， 又 11 0 4610n ， 11 0 1046n ， 1111 156466n ， 即 11 156 n T 21 【答案】 （1）；（2） 2 ,2112 3 ,212 3 n nnkk T nnk k ， ， ， ， ， ， 【解析】 （1）由条件，得 3 715 7 24 a
21、aSS ，即 1 1 27 24 ad ad ， 1 3 2 a d ， 所以an的通项公式是 （2）由（1）知， 21 sinsincos 22 nnnn n baanan ， （1）当21nk（k=1，2，3，）即 n 为奇数时， nn ba ， 11nn ba ， 12311 1 22 2 nnn n Taaaaaan ； （2）当2nk（k=1，2，3，）：即 n 为偶数时， nn ba， 11nn ba ， 1231 2 2 nnn n Taaaaan ， 综上所述， 2 ,2112 3 ,212 3 n nnkk T nnk k ， ， ， ， ， ， 22 【答案】 （1）见证明
22、，；（2） 【解析】 （1）证明：，且， 当时，解得 当时，有，即， 即 于是，即 ，为常数， 数列是 为首项， 为公差的等差数列， （2）由（1）可得 111 11 n b n nnn ， 111111 11 223111 n n T nnnn ， ，即12 1 nn n n 对任意都成立 min 1121 n n nn n n * N， 当 为偶数时， 21nn n 恒成立，令 212 3 nn f nn nn ， 12 10 1 n n f nf n n n ，在上为增函数， ； 当 为奇数时， 21nn n 恒成立， 又 212 1 nn n nn ， 2 f nn n 易知：在为增函数， ， 由可知：， 综上所述 的取值范围为