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1、 单元训练金卷高三数学卷（B） 第第 7 单元单元 数列数列 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1记为等差数列的前 n 项和已知，则（ ） n S n a 4 0S 5 5a ABC D25 n an310 n an 2 28 n Snn 2 1 2 2 n Snn 2已知等比数列中，则的值是（ ） n a 313 20aa 6 4a 10 a A16B14C6D5 3等比数列中，则（ ） n a 123 30aaa 456 120aaa 789 aaa A240B240C480D480 4我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将 1，2，9 填入的方33 格内， 使三行， 三列和两条对角
3、线上的三个数字之和都等于 15 一般地， 将连续的正整数 2 1,2,3,n 填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻 n nn 方记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（ ） n n N 3 15N 9 N A369B321C45D41 5 已知 1， 9 四个实数成等差数列， 1， 9 五个数成等比数列， 则 1 a 2 a 1 b 2 b 3 b 221 ()baa （ ） A8B-8C8D 9 8 6已知数列是公比不为 1 的等比数列，为其前 n 项和，满足，且， n a n S 2 2a 1 16a 4 9a 7 2a 成等差
4、数列，则（ ） 3 S AB6C7 D95 7将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，为“梯形数”根据图形的构成， 此数列的第 2016 项与 5 的差，即（ ） 2016 5a ABC D 2018 20142018 2011011 20151010 2012 8已知两个等差数列和的前 n 项和分别为和，且，则 n a n b n A n B 745 3 n n An Bn 7 7 a b （ ） ABC D15 93 10 17 2 143 17 9已知数列的前 n 项和为，（） ，则（ ） A32B64C128D256 10数列满足：，若数列是等比数列，则 的 值是（ ）
5、A1BCD 1 2 11已知函数，若等比数列满足，则 2 2 1 f xx x R 12019 1a a （ ） A2019BC2D 2019 2 1 2 12已知是公比不为 1 的等比数列，数列满足：，成等比数列， 222 1 n nn c b b 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ） ABCD 1 3 1 6 1 15 2 15 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知是等差数列，则_ n a 2468 16aaaa 9 S 14在数列中，则数列的通项_ n
6、a 11 1,21 nn aaan n a 15设数列的前项和为，且请写出一个满足条件的数列的 n an n S * 16 ,N nnn naa SS n a 通项公式_ n a 16已知函数，数列中，则数列的 2 ( )cos 2 x f xx n a )1 ( n af nf nn * N n a 前 40 项之和_ 40 S 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 已知数列是等比数列， 数列是等差数列， 且满足 ：， n a n b 11 1ab 2
7、32 4bba 32 35ab （1）求数列和的通项公式； n a n b （2）设，求数列的前项和 nnn cab n cn n S 18 （12 分）己知数列的前 n 项和为且 n a n S 2 11 22 n Snn n * N （1）求的通项公式； n a （2）设，求数列的前 100 项和 1 1 n nn b a a n b 19 （12 分）已知数列满足：， n a 1 2 3 a 1 23 34 n n n a an a * N （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； 1 1 n a n a （2）若数列满足：，求的前项和 n b 3 1 n n n bn a * N
8、 n bn n S 20 （12 分）已知数列的前 n 项和为，且 n a n SS221 nn an （1）求数列的通项公式； n a （2）令，求数列的前 n 项和及的最小值 21 2 n n n b a n b n T n T 21 （12 分）已知正项数列的前 项和为，且，数列满足 ，且 （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前 项和 22 （12 分）已知函数( ) |ln (0)f xxax a （1）讨论的单调性； ( )f x （2）比较与的大小且，并证明你的结论 222 222 ln2ln3ln 23 n n (1)(21) 2(1) nn n n * N2n 单元训
9、练金卷高三数学卷（B） 第第 7 单元单元 数列数列 答答 案案 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 【答案】A 【解析】由题知，解得，故选 A 41 51 44 30 2 45 d Sa aad 1 3 2 a d 25 n an 2 【答案】D 【解析】由等比数列性质可知， 2 3138 20aaa 由，得，本题正确选项 D 6 4a 2 4 8 2 6 205 164 a q a 4 106 5aa q 3 【答案】C
10、 【解析】设等比数列中的公比为，由， n aq 123 30aaa 456 120aaa 得，解得， 123 3 123 30 120 aaa qaaa 3 4q 3 789456 480aaaqaaa 4 【答案】A 【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列， 根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于， 2 1n 根据等差数列的求和公式，故选 A 2 (1) 2 nn S 2 9 9 (1 9 ) 369 2 N 5 【答案】A 【解析】由 1，9 成等差数列，得公差， 1 a 2 a 21 918 413 daa 由 1，9 成等比数列，得， 1 b 2 b 3 b 2 2
11、 1 9b 2 3b 当时，1，成等比数列，此时无解， 2 3b 1 b3 2 1 1 ( 3)b 所以，故选 A 2 3b 221 8 38 3 baa 6 【答案】C 【解析】数列是公比不为 l 的等比数列，满足，即， n a q 2 2a 1 2a q 且，成等差数列，得，即， 1 16a 4 9a 7 2a 417 18162aaa 36 111 98a qaa q 解得，则故选 C 1 21qa， 3 3 1 2 7 1 2 S 7 【答案】C 【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为： n=1 时， 1 1 23232 2 a ； n=2 时， 2 1
12、 234243 2 a ； ， 由此我们可以推断： 1 232221 2 n annn ， 2016 1 2201622016 151011 20 5 2 51a 故选 C 8 【答案】B 【解析】因为 113 7711313 113 7711313 13() 27 134517 2 = 13() 21332 2 aa aaaaA bb bbbbB ，故答案选 B 9 【答案】B 【解析】由，得， 又， 1 1 2 1 n n S S ， 即数列1是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 则，则 故选 B 10 【答案】B 【解析】数列为等比数列 1 12 11 nn nn aa q aa
13、 ，即， 上式恒成立，可知2 2 q q ，本题正确选项 B 11 【答案】A 【解析】， 2 1 12019 22222 12019111 2 1 222222 =2 1 11111 1 a f af a aaaaa a ， 为等比数列，则， ， 即 12 【答案】C 【解析】由，成等比数列得 2 22 = bn n aa a， 又是公比不为 1 的等比数列， 设公比为 q，则 22222 11 n bn a qa q ，整理得1 n bn， 222 11111 = 21232 2123 n nn c b bnnnn ， 数列的前 项和 1 1111111 11 = 2 355721232
14、323 n T nnn ， 数列是单调递增数列，则当 n=1 时取到最小值为 1 15 ， 可得 1 15 ，即 的最大值为 1 15 ，故选 C 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】36 【解析】 n a是等差数列， 2468 16aaaa， 28465 2aaaaa，得出 5 4a ， 又由 19 95 9 936 2 aa Sa 14 【答案】 2 n 【解析】当2n 时， 1122332211 ()()()()() nnnnnnn aaaaaaaaaaaa ， 2 (21 1) (21)(23)(25)53 1 2
15、n nn annnn ， 当1n ， 1 a也适用，所以 2 n an 15 【答案】 * 6()Nnn（答案不唯一） 【解析】 * 1 , nn naa N，则数列 n a是递增的， * 6 , n nSS N，即 6 S最小， 只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可， 所以，满足条件的数列 n a的一个通项公式 n a * 6()Nnn（答案不唯一） 16 【答案】1680 【解析】函数 2 cos 2 x f xx且数列 n a中， 1 n af nf n， 可得 1 12044aff ； 2 23404aff ； 3 340 1616aff； 4 4516a
16、ff； 5 5603636aff ； 6 6736aff ；， 可得数列 n a为 4，4，16，16，36，36，64，64，100，100， 即有数列 n a的前40项之和： 40 44 16 1636366464100 100 144 144S 1444 1444 1600 1600245688312 1 10243121680 2 ， 本题正确结果1680 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1） 1 2, n n an N，21, n bnn
17、N；（2） 2 21 n n Sn 【解析】 （1）设 n a的公比为 q， n b的公差为 d，由题意0q ， 由已知，有 2 (1)(12 )4 3(1)5 ddq qd ，即 2 432 32 qd qd 2 4402qqdq， 所以 n a的通项公式为 1 2, n n an N， n b的通项公式为21, n bnn N （2） 1 221 n nnn cabn ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到 2 1 2(121) 21 1 22 n n n nn Sn 18 【答案】 （1） n an；（2） 100 100 101 T 【解析】 （1）当2n 时， 2
18、 11 22 n Snn， 22 1 1111 (1)(1) 2222 n Snnnnn - =-+-=+-， 两式相减得 1nnn aSSn ， 当=1n时， 11 11 1 22 aS=+=，满足 n an， n an= （2）由（1）可知 111 (1)1 n b n nnn ， 所以数列 n b的前 100 项和 10012100 Tbbb=+ + 1111111 1 22399100100101 1100 1 101101 =-+-+-+- = -= 19 【答案】 （1）证明见解析， 1 1 3 n a n ；（2） 2 219 3 44 n n n S 【解析】 （1）因为 1
19、231 11 3434 nn n nn aa a aa ，所以 11 1341 3 11 n nnn a aaa ， 所以 1 1 n a 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以 1 3 1 n n a ，所以 1 1 3 n a n （2）由（1）可知： 1 1 3 n a n ，所以由 1 1 3 3n n nn n bnnb a * N， 231 1 323(1)33 nn n Snn ； 3412 31 323(1)33 nn n Snn ， -得 2 23122 331 233333 3 1 n nnn n Snn 2 219 3 44 n n n S 20 【答案】 （1） 1
20、 5 22 n n an * N；（2） 1 25 2 5 2 n n n T ，最小值 3 5 【解析】 （1）当 n=1 时， 111 22 1aSa，解得 1 3a ， 当2n 时， 11 222 nnnnn aSSaa ，解得 1 2 2 nn aa 则 1 222 nn aa ， 故2 n a 是首项为 1 25a ，公比为 2 的等比数列， 1 5 22 n n an * N （2） 1 2111 (21) 252 n n n n bn a ，则 0121 135721 5 2222 n n n T ， 1231 113572121 2522222 n nn nn T 两式作差得
21、121 112222125 131 2522225 2 n nnn nn T ， 所以 1 25 2 5 2 n n n T ， 令 1 25 5 2 n n n c ，有 1 1 272523 0 5 25 25 2 nn nnn nnn cc ，对n * N恒成立， 则数列 n c是递减数列，故 n T为递增数列，则 min1 3 () 5 n TT 21 【答案】 （1）， 1 2 2 2 2 ,2 , n n n n n bn b bn 是奇数 是偶数 ； （2） 33 1 2, 2 3 1 21, 2 n n n n nn T n nn 是奇数 是偶数 【解析】 （1）当时，即， ，
22、 由 2 11 2 1 2 nnn nnn SSa SSan ，可得， 即 ， 又是公差为 ，首项为 的等差数列， ， 由题意得：， 由 1 1 1 2 22 n nn n nn b b bbn 两式相除，得 1 1 22 n n b n b ， 是奇数时，是公比是 ，首项的等比数列， 1 2 2 n n b ， 同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列， 2 2 2 n n b ， 综上： 1 2 2 2 2 ,2 , n n n n n bn b bn 是奇数 是偶数 （2），即， 令的前 项和为，则 0121 123 1 22 23 22 21 22 23 22 n n n n An A
23、n ， 两式相减得 0121 1 2 222222 1 2 n nnn n Ann ， ， 令的前 项和为 n B， 3 , 2 31, 2 n n n B n n 是偶数 是奇数 ， 综上： 33 1 2, 2 3 1 21, 2 n n n n nn T n nn 是奇数 是偶数 22 【答案】 （1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）函数 ( )f x可化为 ln, ( ) ln ,0 xxaxa f x axxxa ， 当0xa时， 1 ( )10fx x ，从而 ( )f x在(0, )a上总是递减的， 当xa时， 11 ( )1 x fx xx ，此时要考虑a与 1 的大小 若
24、1a ，则( )0fx ，故 ( )f x在 ,)a 上递增； 若01a，则当1ax时，( )0fx ；当1x 时，( )0fx ， 故 ( )f x在 ,1)a 上递减，在(1,)上递增， 而 ( )f x在xa 处连续，所以当1a 时， ( )f x在(0, )a上递减，在 ,)a 上递增； 当01a时， ( )f x在(0,1)上递减，在1,)上递增 （2）由（1）可知当1a ，1x 时，1 ln0xx ，即ln1xx ，所以 ln1 1 x xx 所以 222 222222 ln2ln3ln111 111 2323 n nn 222 111111 11 232 33 4(1) nn nn n 111 1(1) 212(1) n nn nn 2 221(1)(21) 2(1)2(1) nnnn nn