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1、单元质检五 数列(A)单元质检五 数列(A) (时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 1 1.已知等差数列an的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列an的公差是( ) A.B.4C.-4D.-3 1 4 2 2.已知公比为的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则 log2a16=( ) 3 2 A.4B.5C.6D.7 3 3.在等差数列an中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列an的前 5 项的和为( ) A.15B.20 C.25D.15 或 25 4 4.已知等差数列an和等比数列bn
2、满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=( )a28 A.9B.12C.16D.36 5 5.设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=( ) A.-2B.-1C.D. 1 2 2 3 6 6.已知函数f(x)是定义在 R R 上的奇函数,当x0 时,f(x)=x(1-x).若数列an满足a1=,且an+1= 1 2 ,则f(a11)=( ) 1 1 - an A.2B.-2C.6D.-6 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分) 7 7.已知Sn为等比数列an的前n项和,且Sn=2an-1,则数列
3、an的公比q= . 8 8.已知等差数列an的公差d0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列an的前n项和,则 的最小值为 . 2Sn+ 16 an+ 3 三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分) 9 9.(14 分)已知数列an的首项为a1=1,其前n项和为Sn,且数列是公差为 2 的等差数列. Sn n (1)求数列an的通项公式; (2)若bn=(-1)nan,求数列bn的前n项和Tn. 1010.(15 分)已知数列an满足an=6-(nN N*,n2). 9 an - 1 (1)求证:数列是等差数列; 1 an- 3 (2)若a1=6,求数列lg an的前 9
4、99 项的和. 1111.(15 分)设数列an满足a1=2,an+1-an=322n-1. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn. 单元质检五 数列(A) 1 1.B 解析数列an是等差数列,a6=15,S9=99, a1+a9=22,2a5=22,a5=11. 公差d=a6-a5=4. 2 2.B 解析由等比中项的性质,得a3a11=16.因为数列an各项都是正数,所以a7=4.所以a27 a16=a7q9=32. 所以 log2a16=5. 3 3.A 解析在等差数列an中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项, a1+ 3d = 5, (a1+
5、2d)2= (a1+ d)(a1+ 5d), 解得a1=-1,d=2, S5=5a1+d=5(-1)+54=15.故选 A. 5 4 2 4 4.D 解析由 3a1-+3a15=0,得=3a1+3a15=3(a1+a15)=32a8,a28a28 即-6a8=0.因为a8=b100,所以a8=6,b10=6,a28 所以b3b17=36.b 2 10 5 5.B 解析S2=3a2+2,S4=3a4+2, S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q0,解得q=,代入a1(1+q)=3a1q+2, 3 2 解得a1=-1. 6 6.C 解析设x0,则-x0. 因为f
6、(x)是定义在 R R 上的奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=-x(1+x) =x(1+x). 由a1=,且an+1=, 1 2 1 1 - an 得a2=2, 1 1 - a1 = 1 1 - 1 2 a3=-1, 1 1 - a2 = 1 1 - 2 a4=, 1 1 - a3 = 1 1 - ( - 1) = 1 2 所以数列an是以 3 为周期的周期数列, 即a11=a33+2=a2=2. 所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2(1+2)=6. 7 7.2 解析Sn=2an-1, a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2. 等比数列an的公比q=2. 8
7、 8.4 解析设an的公差为d. 因为a1,a3,a13成等比数列, 所以(1+2d)2=1+12d,解得d=2. 所以an=2n-1,Sn=n2. 所以. 2Sn+ 16 an+ 3 = 2n2+ 16 2n + 2 = n2+ 8 n + 1 令t=n+1,则原式=t+ -2. t2+ 9 - 2t t 9 t 因为t2,tN N*,所以当t=3, 即n=2 时,=4.( 2Sn+ 16 an+ 3)min 9 9.解(1)数列是公差为 2 的等差数列,且=a1=1, Sn n S1 1 =1+(n-1)2=2n-1. Sn n Sn=2n2-n. 当n2 时,an=Sn-Sn-1=2n2
8、-n-2(n-1)2-(n-1)=4n-3. a1符合an=4n-3, an=4n-3. (2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3). 当n为偶数时, Tn=(-1+5)+(-9+13)+-(4n-7)+(4n-3)=4 =2n; n 2 当n为奇数时,n+1 为偶数, Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1. 综上所述, Tn= 2n,n = 2k,k N * , - 2n + 1,n = 2k - 1,k N * . 1010.(1)证明(n2), 1 an- 3 - 1 an - 1- 3 = an - 1 3an - 1- 9 - 1 an
9、 - 1- 3 = an - 1- 3 3an - 1- 9 = 1 3 数列是等差数列. 1 an- 3 (2)解是等差数列,且,d=, 1 an- 3 1 a1- 3 = 1 3 1 3 (n-1)= . 1 an- 3 = 1 a1- 3 + 1 3 n 3 an=. 3(n + 1) n lgan=lg(n+1)-lgn+lg3. 设数列lgan的前 999 项的和为S, 则S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+lg1000-lg999) =999lg3+lg1000=3+999lg3. 1111.解(1)由已知,当n1 时, an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1 =3(22n-1+22n-3+2)+2=22(n+1)-1. 而a1=2, 所以数列an的通项公式为an=22n-1. (2)由bn=nan=n22n-1知 Sn=12+223+325+n22n-1. 从而 22Sn=123+225+327+n22n+1. -,得(1-22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1, 即Sn=(3n-1)22n+1+2. 1 9