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1、考点规范练 49 二项分布与正态分布考点规范练 49 二项分布与正态分布 一、基础巩固 1 1.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率 分别为 和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 ,则p=( ) 1 8 9 40 A.B.C.D. 1 10 2 15 1 6 1 5 2 2.已知随机变量X服从正态分布N(2,32),且P(X1)=0.30,则P(20),若在(80,120)内的概率为 0.7,则他的速度超过 120 的概率为( ) A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2 7 7.甲射击命中目标的概率是 ,乙射击命中
2、目标的概率是 ,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时 1 2 1 3 1 4 射击目标,则目标被击中的概率为( ) A.B.C.D. 3 4 2 3 4 5 7 10 8 8.某集装箱内有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放 回,若两球号码之积是 4 的倍数,则获奖.若有 4 人参与摸奖,则恰好有 3 人获奖的概率是( ) A.B.C.D. 16 625 96 625 624 625 4 625 9 9.1 000 名考生的某次成绩近似服从正态分布N(530,502),则成绩在 630 分以上的考生人数约 为 .(注:正态分布N(,2)在区
3、间(-,+),(-2,+2),(-3,+3) 内取值的概率分别为 0.682 7,0.954 5,0.997 3) 1010.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为.现安排甲组研发新产品 2 3和 3 5 A,乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,则预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,则预计企业可获利 润 100 万元.求该企业可获利润的分布列. 1111.某架飞机载有 5 位空降兵依次空降到 A,B,C 三个地点,每位空降兵都要空降到 A,B,C 中的任意 一个地点,且
4、空降到每一个地点的概率都是 ,用表示地点 C 空降人数,求: 1 3 (1)地点 A 空降 1 人,地点 B,C 各空降 2 人的概率; (2)随机变量的分布列. 二、能力提升 1212.设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概 率为 ,则事件A恰好发生一次的概率为( ) 63 64 A.B.C.D. 1 4 3 4 9 64 27 64 1313.在盒子里有大小相同,仅颜色不同的球共 10 个,其中红球 4 个,白球 3 个,蓝球 3 个.现从中任取 出一球确定颜色后放回盒子里,再取下一个球.重复以上操作,最多取 3 次,过程中如果取出蓝球则 不再
5、取球.求: (1)最多取两次就结束的概率; (2)整个过程中恰好取到 2 个白球的概率; (3)设取球的次数为随机变量X,求X的分布列和均值. 1414.一个口袋中装有大小相同的 3 个白球和 1 个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有 3 次 摸到红球即停止. (1)求恰好摸 4 次停止的概率; (2)记 4 次之内(含 4 次)摸到红球的次数为X,求随机变量X的分布列. 三、高考预测 1515.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定 获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 2 3 1
6、3 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列. 考点规范练 4949 二项分布与正态分布 1 1.B 解析由题意,得 (1-p)+ p=, 1 8 7 8 9 40 故p=,故选 B. 2 15 2 2.A 解析因为该正态密度曲线的对称轴方程为x=2,所以P(X3)=P(X1)=0.30,所以 P(1120)=1-P(80120)= P(120)=0.15. 1 2 则他的速度超过 120 的概率为 0.15.故选 C. 7 7.A 解析设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,则击中 目标表示事件
7、A,B,C中至少有一个发生. 又P()=P( )P( )P( )=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=ABCABC(1 - 1 2) (1 - 1 3) ,(1 - 1 4) = 1 4 故击中的概率为 1-P()= .ABC 3 4 8 8.B 解析由题意知,获奖的概率为P=,记获奖的人数为,则B,所以 4 人中恰好有 6 C26 = 2 5 (4, 2 5) 3 人获奖的概率P(=3)=.C34( 2 5) 3 3 5 = 96 625 9 9.23 解析由题意可知=530,=50,在区间(430,630)的概率为 0.9545,故成绩在 630 分以上的 概率为0.023,因此成绩在
8、630 分以上的考生人数约为 10000.023=23. 1 - 0.9545 2 1010.解记E=甲组研发新产品成功,F=乙组研发新产品成功.由题设知P(E)=,P( )=,P(F)=,P( 2 3 E 1 3 3 5 F )=,且事件E与F,E与与F,都相互独立. 2 5 F,EE与F (1)记H=至少有一种新产品研发成功,则,于是P( )=P( )P( )=.H = EFHEF 1 3 2 5 = 2 15 故所求的概率为P(H)=1-P( )=1-.H 2 15 = 13 15 (2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为 0,100,120,220.因为P(X=0)=P()=,E
9、F 1 3 2 5 = 2 15 P(X=100)=P(F)=,E 1 3 3 5 = 1 5 P(X=120)=P(E)=,F 2 3 2 5 = 4 15 P(X=220)=P(EF)=. 2 3 3 5 = 2 5 故所求X的分布列为 X0100120220 P 2 15 1 5 4 15 2 5 1111.解(1)设“地点 A 空降 1 人,地点 B,C 各空降 2 人”为事件M,易知基本事件的总数n=35=243 个, 事件M发生包含的基本事件m=30 个.C15C24 故所求事件M的概率P(M)=. m n = 30 243 = 10 81 (2)依题意,5 位空降兵空降到地点 C
10、 相当于 5 次独立重复试验. B,且的取值可能为 0,1,2,3,4,5.(5, 1 3) 则P(=k)=.Ck5( 1 3) k( 1 - 1 3) 5 - k P(=0)=,P(=1)=,C05( 1 3) 0( 1 - 1 3) 5 = 32 243 C15( 1 3)(1 - 1 3) 4 = 80 243 P(=2)=,P(=3)=,C25( 1 3) 2(2 3) 3 = 80 243 C35( 1 3) 3(2 3) 2 = 40 243 P(=4)=,P(=5)=.C45( 1 3) 4( 1 - 1 3) = 10 243 C55( 1 3) 5 = 1 243 随机变量的
11、分布列为 012345 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 1212.C 解析假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得,事 件A发生的次数XB(3,p),则有 1-(1-p)3=,得p=,故事件A恰好发生一次的概率为 63 64 3 4 C13 3 4 .(1 - 3 4) 2 = 9 64 1313.解(1)设取球的次数为, 则P(=1)=, C13 C110 = 3 10 P(=2)=, C17 C110 C13 C110 = 21 100 所以最多取两次就结束的概率为 P(=1)+P(=2)=. 51 1
12、00 (2)由题意可知,可以如下取球方式:红白白,白红白,白白红,白白蓝, 故恰好取到 2 个白球的概率为3+. 4 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 = 135 1000 = 27 200 (3)随机变量X的取值为 1,2,3, P(X=1)=, 3 10 P(X=2)=, 7 10 3 10 = 21 100 P(X=3)=, 7 10 7 10 ( 3 10 + 7 10) = 49 100 随机变量X的分布列为 X123 P 3 10 21 100 49 100 X的均值E(X)=1 +2+3. 3 10 21 100 49 100 = 219 100 1414.
13、解(1)设事件“恰好摸 4 次停止”的概率为P,则 P=.C23( 1 4) 2 3 4 1 4 = 9 256 (2)由题意,得X=0,1,2,3, P(X=0)=,C04( 3 4) 4 = 81 256 P(X=1)=,C14 1 4 ( 3 4) 3 = 27 64 P(X=2)=,C24( 1 4) 2 ( 3 4) 2 = 27 128 P(X=3)=1-, 81 256 - 27 64 - 27 128 = 13 256 X的分布列为 X0123 P 81 256 27 64 27 128 13 256 1515.解用A表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak表示“第
14、k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙 获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5. 2 3 1 3 (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) =.( 2 3) 2 + 1 3 ( 2 3) 2 + 2 3 1 3 ( 2 3) 2 = 56 81 (2)X的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2) =, 5 9 P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, 2 9 P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=, 10 81 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 8 81 故X的分布列为 X2345 P 5 9 2 9 10 81 8 81