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1、课时跟踪检测(三十八) 有关数列的 4 大难点问题突破课时跟踪检测(三十八) 有关数列的 4 大难点问题突破 1 (2019深圳模拟)设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1， 则数列(n 1 fn N*)的前n项和是( ) A. B. n n1 n2 n1 C. D. n n1 n1 n 解析：选 A f(x)mxm1a2x1，a1，m2， f(x)x(x1)，则 ，用裂项法求和得Sn1 1 fn 1 nn1 1 n 1 n1 1 2 1 2 1 3 . 1 n 1 n1 n n1 2(2019柳州模拟)设函数f(x)定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn1f(xn)， 若x06，则x
2、2 019的值为( ) x123456 f(x)513264 A1 B2 C4 D5 解析：选 D 数列xn满足x06，且对任意自然数n均有xn1f(xn)，利用表格可 得x1f(x0)f(6)4，x2f(x1)f(4)2，x3f(x2)f(2)1，x4f(x3)f(1)5，x5 f(x4)f(5)6，x6f(x5)f(6)4，xn5xn，x2 019x40354x45. 3(2019安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题： 今有牛、 马、 羊食人苗， 苗主责之粟五斗 羊主曰 ： “我羊食半马” 马主曰 ： “我马食半牛” 今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛
3、、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要 求赔偿 5 斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我的马所吃 的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各 应偿还粟a升，b升，c升，1 斗为 10 升，则下列判断正确的是( ) Aa，b，c成公比为 2 的等比数列，且a50 7 Ba，b，c成公比为 2 的等比数列，且c50 7 Ca，b，c成公比为 的等比数列，且a 1 2 50 7 Da，b，c成公比为 的等比数列，且c 1 2 50 7 解析 ： 选 D 由题意可得，a，b，c成公比为 的等比数列，ba，cb， 故 4c2cc50， 1 2 1
4、2 1 2 解得c.故选 D. 50 7 4已知数列an满足anError!若对于任意的nN*都有anan1，则实数的取值范围 是( ) A. B. (0， 1 2)( 1 2， 7 12) C. D. ( 1 2，1)( 7 12，1) 解析：选 B 因为anan1，所以数列an是递减数列，所以Error!解得 ，故选 B. 1 2 7 12 5(2019南昌模拟)数列an，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中， 1 nn1 9 10 直线(n1)xyn0 在y轴上的截距为( ) A10 B9 C10 D9 解析：选 B 数列an的通项公式为an，且其前n项和为 1 nn1 1 1 2 1
5、2 3 1， 1 nn1 1 n1 n n1 9 10 n9，直线方程为 10xy90. 令x0，得y9，该直线在y轴上的截距为9. 6 (2019郑州质检)已知数列an满足a1a2a3an2n2(nN*)， 且对任意nN*都有 1 a1 t，则实数t的取值范围为( ) 1 a2 1 an A. B. ( 1 3，) 1 3，) C. D. ( 2 3，) 2 3，) 解析 ： 选 D 依题意得， 当n2 时，an2n2(n1)222n1， a1a2a3an a1a2a3an1 2n2 2n12 又a1212211，因此an22n1， n1，即数列 是以 为首项， 为公比 1 an 1 22n
6、1 1 2( 1 4) 1 an 1 2 1 4 的等比数列，等比数列的前n项和等于 ，因此实数t的取值范围是 1 an 1 2(1 1 4n) 11 4 2 3(1 1 4n) 2 3 . 2 3，) 7 用x表示不超过x的最大整数， 例如33， 1.21， 1.32.已知数列an 满足a11，an1aan，则_. 2n a1 a11 a2 a21 a2 019 a2 0191 解析 ： 因为a11，an1aan1，所以，即 2n 1 an1 1 anan1 1 an 1 an1 1 an1 1 an ，所以1 1 an1 1 a11 1 a21 1 a2 0191( 1 a1 1 a2)
7、( 1 a2 1 a3)( 1 a2 019 1 a2 020) 1 a2 020 (0,1)又1， an an1 1 an1 所以2 019. a1 a11 a2 a21 a2 019 a2 0191(1 1 a2 020) 所以2 018. a1 a11 a2 a21 a2 019 a2 0191 答案：2 018 8数列 lg 1 000，lg(1 000cos 60)，lg(1 000cos260)，lg(1 000cosn 160)，的前_项和为最大 解析 ： 依题意知， 数列的通项anlg(1 000cosn160)3(n1)lg ， 公差dlg 1 2 1 2 0，数列单调递减
8、因为an3(n1)lg 0 时，n10，所以数列的前 10 项均为正，从第 11 项开始为负， 1 2 故可知数列前 10 项的和最大 答案：10 9(2019济宁模拟)若数列an满足：只要apaq(p，qN*)，必有ap1aq1，那么 就称数列an具有性质P.已知数列an具有性质P， 且a11，a22，a33，a52，a6a7a8 21，则a2 020_. 解析：根据题意，数列an具有性质P，且a2a52， 则有a3a63，a4a7，a5a82. 由a6a7a821，可得a3a4a521， 则a4213216， 进而分析可得a3a6a9a3n3，a4a7a10a3n116，a5a8a3n2
9、2(n1)， 则a2 020a3673116. 答案：16 10若Snsin sin sin (nN*)，则在S1，S2，S2 019中，正数的个 7 2 7 n 7 数是_ 解析 ： 由于 sin 0， sin 0， sin 0， sin 0， sin sin 7 2 7 6 7 7 7 8 7 7 0， sin sin 0， sin 0， 可得到S10，S120，S130，S140， 2 019 13 7 6 7 14 7 141443，S1，S2，S2 019中，正数的个数是 1441231 731. 答案：1 731 11为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换 5 000 辆燃
10、油型公交车，每更换 一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型今年年初投入了电力 型公交车 128 辆，混合动力型公交车 300 辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆市政府根据人大代表的建议，要求 5 年内完成 全部更换，则a的最小值为_ 解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为 128，公比为 150% 的等比数列， 3 2 混合动力型公交车的数量组成首项为 300，公差为a的等差数列，则 5 年后的数量和为 3005a， 则 3005a5 000， 即 128 1( 3 2) 5 13 2 5 4 2 128 1(
11、3 2) 5 13 2 5 4 2 10a1 812， 解得a181.2， 因为 5 年内更换公交车的总和不小于 5 000， 所以a的最小值为 182. 答案：182 12(2019遂宁模拟)已知数列an的前n项和为Sn，向量a(Sn,2)，b(1,12n)满 足条件ab. (1)求数列an的通项公式； (2)设cn，求数列cn的前n项和Tn. n an 解：(1)ab，abSn22n10， Sn2n12，当n2 时，anSnSn12n， 当n1 时，a1S12 满足上式， an2n. (2)cn， n an n 2n Tn ， 1 2 2 22 n1 2n1 n 2n 两边同乘 ， 1 2
12、 得Tn， 1 2 1 22 2 23 n1 2n n 2n1 两式相减得Tn 1， 1 2 1 2 1 22 1 2n n 2n1 n2 2n1 Tn2(nN*) n2 2n 13 (2019安阳模拟)设等差数列an的前n项和为Sn， 点(n，Sn)在函数f(x)x2BxC 1(B，CR)的图象上，且a1C. (1)求数列an的通项公式； (2)记数列bnan(a2n11)，求数列bn的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列an的公差为d， 则Snna1dn2n. nn1 2 d 2(a 1d 2) 又Snn2BnC1， 两式比较得 1，Ba1 ，C10.又a1C， d 2 d 2 解得d2，
13、C1a1，B0， an12(n1)2n1. (2)bnan(a2n11)(2n1)(22n111)(2n1)2n， 数列bn的前n项和Tn2322523(2n1)2n， 2Tn22323(2n3)2n(2n1)2n1， Tn22(22232n)(2n1)2n1 22(2n1)2n1(32n)2n16， 42n11 21 故Tn(2n3)2n16. 14 (2018淮南一模)若数列an的前n项和为Sn， 点(an，Sn)在y x的图象上(nN*) 1 6 1 3 (1)求数列an的通项公式； (2)若c10，且对任意正整数n都有cn1cnlogan.求证：对任意正整数n2，总有 1 2 . 1
14、3 1 c2 1 c3 1 c4 1 cn 3 4 解：(1)Sn an， 1 6 1 3 当n2 时，anSnSn1an1an， 1 3 1 3 anan1. 1 4 又S1 a1，a1 ， 1 6 1 3 1 8 an n12n1. 1 8( 1 4)( 1 2) (2)证明 ： 由cn1cnlogan2n1， 得当n2 时，cnc1(c2c1)(c3c2)(cn 1 2 cn1)035(2n1)n21(n1)(n1) 1 c2 1 c3 1 c4 1 cn 1 221 1 321 1 421 1 n21 1 2(1 1 3)( 1 2 1 4)( 1 3 1 5)( 1 n1 1 n1) 1 2(1 1 2)( 1 n 1 n1) . 3 4 1 2( 1 n 1 n1) 3 4 又 ，原式得证 1 c2 1 c3 1 c4 1 cn 1 c2 1 3