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1、课时跟踪检测(二十九) 平面向量的概念及其线性运算课时跟踪检测(二十九) 平面向量的概念及其线性运算 一、题点全面练 1 已知O，A，B是同一平面内的三个点， 直线AB上有一点C满足 20， 则AC CB OC ( ) A2 B.2OA OB OA OB C. D 2 3 OA 1 3 OB 1 3 OA 2 3 OB 解析 ： 选 A 依题意， 得22()， 所以OC OB BC OB AC OB OC OA OC 2，故选 A.OA OB 2 (2019石家庄质检)在ABC中， 点D在边AB上， 且， 设a，b，BD 1 2 DA CB CA 则( )CD A. a b B. a b 1
2、3 2 3 2 3 1 3 C. a b D a b 3 5 4 5 4 5 3 5 解析 ： 选 B ，BD 1 2 DA BD 1 3 BA CD CB BD CB 1 3 BA CB () a b，故选 B. 1 3 CA CB 2 3 CB 1 3 CA 2 3 1 3 3(2018大同一模)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F， 设a，b，则向量( )AB AD BF A. a b B. a b 1 3 2 3 1 3 2 3 C a b D a b 1 3 2 3 1 3 2 3 解析 ： 选 C 如图，因为点E为CD的中点，CDAB，所以2，所以 BF
3、EF AB EC () a b，故选 C.BF 2 3 BE 2 3 BC CE 2 3(b 1 2a) 1 3 2 3 4 (2019丹东五校协作体联考)P是ABC所在平面上的一点， 满足2PA PB PC ，若SABC6，则PAB的面积为( )AB A2 B.3 C4 D8 解析 ： 选 A 22()， 3， PA PB PC AB PB PA PA PB PC CB ，且方向相同，3，PA CB S ABC S PAB BC AP | | SPAB2. S ABC 3 5(2018安庆二模)在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存 在实数和，使得，则( )BM AB
4、AC A. B. 1 2 1 2 C2 D2 解析 ： 选 B 如图，因为点D在边BC上，所以存在tR，使得tBD BC t()AC AB 因为M是线段AD的中点， 所以 () (tt) (tBM 1 2 BA BD 1 2 AB AC AB 1 2 1)t.AB 1 2 AC 又，所以 (t1)，t，BM AB AC 1 2 1 2 所以 .故选 B. 1 2 6已知O为ABC内一点，且 2，t，若B，O，D三点共线，AO OB OC AD AC 则t的值为_ 解析：设线段BC的中点为M，则2.OB OC OM 因为 2，所以，AO OB OC AO OM 则 ().AO 1 2 AM 1
5、4 AB AC 1 4( 1 t) 1 4 AB 1 4t AD 由B，O，D三点共线，得 1，解得t . 1 4 1 4t 1 3 答案：1 3 7 在ABC中， A60， A的平分线交BC于点D， 若AB4， 且 AD 1 4 AC AB (R)，则AD的长为_ 解析 ： 因为B，D，C三点共线，所以 1，解得 ，如图， 1 4 3 4 过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N， 则，AN 1 4 AC AM ， 在ABC中， A60， A的平分线交BC于点D， 四边形ANDM为菱形，AB4， 3 4 AB ANAM3，AD3.3 答案：3 3 8在ABC中，点D在线段BC的延
6、长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，DBC CD 不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是_AO AB AC 解析：设y，CO BC yy()AO AC CO AC BC AC AC AB y(1y).AB AC 3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，BC CD y，x(1x)， (0， 1 3) AO AB AC xy，x. ( 1 3，0) 答案：(1 3，0) 9.在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点， 且GB 2GE，设a，b，试用 a，b 表示，.AB AC AD AG 解： () a b.AD 1 2 AB AC 1 2 1 2 BG ()AG AB
7、 AB 2 3 BE AB 1 3 BA BC () 2 3 AB 1 3 AC AB 1 3 AB 1 3 AC a b. 1 3 1 3 10 已知 a， b 不共线，a，b，c，d，e， 设tR， 如果 3aOA OB OC OD OE c,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由 解 ： 由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直CD CE 线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，CE CD 整理得(t33k)a(2kt)b. 因为 a，b 不共线，所以有Error
8、!解得t . 6 5 故存在实数t 使C，D，E三点在一条直线上 6 5 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是( ) a |a| b |b| Aab B.ab Ca2b Dab 且|a|b| 解析 ： 选C 因为向量的方向与向量a相同， 向量的方向与向量b相同， 且， a |a| b |b| a |a| b |b| 所以向量 a 与向量 b 方向相同，故可排除选项 A、B、D. 当 a2b 时，故 a2b 是成立的充分条件 a |a| 2b |2b| b |b| a |a| b |b| 2已知O，A，B三点不共线，P为该平面内
9、一点，且，则( )OP OA | A点P在线段AB上 B点P在线段AB的延长线上 C点P在线段AB的反向延长线上 D点P在射线AB上 解析 ： 选 D 由，得，点P在射线ABOP OA | OP OA | AP 1 | AB 上，故选 D. 3已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若 c 与d反向共线，则实 数的值为( ) A1 B.1 2 C1 或 D1 或 1 2 1 2 解析：选 B 由于 c 与d反向共线，则存在实数k使 ckd(k0)，于是abk .整理得abka(2kk)b.由于 a， b 不共线， 所以有Error!整理得 22a21b 10，解得1 或 .又因为
10、k0，所以0，故 . 1 2 1 2 (二)素养专练学会更学通 4直观想象 如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的三等分点，a，AB b，则( )AC AD Aa b B. ab 1 2 1 2 Ca b D ab 1 2 1 2 解析 ： 选 D 连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且CD 1 2 AB a，所以b a. 1 2 AD AC CD 1 2 5逻辑推理如图，在ABC中，点D在线段BC上，且满足BDDC， 1 2 过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，nAM AB AN ，则 ( )AC Amn是定值，定值为 2 B2mn是定
11、值，定值为 3 C. 是定值，定值为 2 1 m 1 n D. 是定值，定值为 3 2 m 1 n 解析：选 D 因为M，D，N三点共线，所以(1).又m，AD AM AN AM AB n，所以m(1)n.又，所以AN AC AD AB AC BD 1 2 DC AD AB 1 2 AC 1 2 ，所以.比较系数知m ，(1)n ，所以 3，故选 D.AD AD 1 3 AC 2 3 AB 2 3 1 3 2 m 1 n 6.数学建模在如图所示的方格纸中，向量 a，b，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶 点)上，若 c 与xayb(x，y为非零实数)共线，则 的值为_ x y 解析 ： 设e
12、1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量， 则向量 ce12e2， a 2e1e2， b2e12e2， 由 c 与xayb 共线， 得 c(xayb)， 所以e12e22(xy)e1 (x2y)e2，所以Error!所以Error!则 的值为 . x y 6 5 答案：6 5 7 数学运算经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q， 设m，nOP OA OQ ，m，nR，求 的值OB 1 n 1 m 解：设a，b，则 (ab)，OA OB OG 1 3 nbma，PQ OQ OP (ab)maa b.PG OG OP 1 3( 1 3m) 1 3 由P，G，Q共线得，
13、存在实数使得，PQ PG 即nbmaab， ( 1 3m) 1 3 则Error!消去，得 3. 1 n 1 m 8逻辑推理已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)OP OA OB (1)若mn1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：mn1. 证明：(1)若mn1， 则m(1m)OP OA OB m()，OB OA OB m()，OP OB OA OB 即m，与共线BP BA BP BA 又与有公共点B，BP BA A，P，B三点共线 (2)若A，P，B三点共线， 则存在实数，使，BP BA ()OP OB OA OB 又mn.OP OA OB 故有m(n1)，OA OB OA OB 即(m)(n1)0.OA OB O，A，B不共线，不共线，OA OB Error!mn1.