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1、课时跟踪检测（五十二） 双曲线课时跟踪检测（五十二） 双曲线 一、题点全面练 1(2019襄阳联考)直线l：4x5y20 经过双曲线C：1(a0，b0)的一个 x2 a2 y2 b2 焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为( ) A. B. 5 3 3 5 C.D. 5 4 4 5 解析 ： 选A 由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)， (0， 4)， 从而c5，b4， a 3，双曲线C的离心率e . c a 5 3 2 (2019成都模拟)如图， 已知双曲线E：1(a0，b0)， 长 x2 a2 y2 b2 方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、 右焦点， 且点C，D在双曲
2、线E 上， 若|AB|6， |BC| ，则此双曲线的离心率为( ) 5 2 A.B.2 3 2 C.D. 5 2 5 解析：选 B 因为 2c|AB|6，所以c3.因为|BC| ，所以 5a2b2. b2 a 5 2 又c2a2b2， 所以 9a2， 解得a2 或a (舍去)， 故该双曲线的离心率e 5a 2 9 2 c a ，故选 B. 3 2 3(2018武汉调研)已知点P在双曲线1(a0，b0)上，PFx轴(其中F为双 x2 a2 y2 b2 曲线的右焦点)， 点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为 ， 则该双曲线的离心率为( ) 1 3 A.B. 2 3 3 3 C.D. 2 5 5
3、5 解析：选 A 由题意知F(c,0)，由PFx轴，不妨设点P在第一象限，则P，双曲 (c， b2 a) 线的渐近线方程为bxay0，由题意，得 ，解得c2b，又c2a2b2，所 | bcab 2 a a2b2| |bca b2 a| a2b2 1 3 以a b，所以双曲线的离心率e .3 c a 2b 3b 2 3 3 4(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的 x2 3 直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|( ) A.B.3 3 2 C2D43 解析：选 B 由已知得双曲线的两条渐近线方程为yx.设 1 3 两条渐近线
4、的夹角为2，则有tan ， 所以30.所以 1 3 3 3 MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称 性，不妨设MNON，如图所示在 RtONF中，|OF|2，则|ON|.3 在 RtOMN中， |MN|ON|tan 2tan 603.故选 B.3 5 (2019邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：1(a0，b x2 a2 y2 b2 0)的左、 右两个焦点， 若直线yx与双曲线C交于P， Q 两点， 且四 边形PF1QF2为矩形， 则双曲线的离心率为( ) A2B.62 6 C2D.22 2 解析：选 D 由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线yx代入双曲线C的方程，可 得x
5、， 所以c， 所以2a2b2c2(b2a2)， 即2(e21)e42e2， 所以e4 a2b2 b2a2 2 a2b2 b2a2 4e220.因为e1，所以e22，所以e ，故选 D.22 2 6 (2018辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中， 已知双曲线C： x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若AFO的5 面积为 1，则双曲线C的方程为( ) A.1B.y21 x2 2 y2 8 x2 4 C.1Dx21 x2 4 y2 16 y2 4 解析：选 D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以
6、ab2， 又双曲线C的离心率为，所以 ，即b24a2，所以a21，b24，所以双曲线C51b 2 a2 5 的方程为x21，故选 D. y2 4 7 焦点是(0， 2)， 且与双曲线1 有相同的渐近线的双曲线的方程是_ x2 3 y2 3 解析 ： 由题意可知， 双曲线是焦点在y轴上的等轴双曲线， 故所求双曲线的方程为1. y2 2 x2 2 答案：1 y2 2 x2 2 8(2018日照一模)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y24x x2 a2 y2 b2 的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若SAOB2，则双曲线的离心率e_.3 解析 ： 由题意， 知抛物线的准线方程是x
7、1， 双曲线的渐近线方程是yx.当x1 b a 时，y ， 即A，B或A，B.所以SAOB 2 12 b a(1， b a)(1， b a)(1， b a)(1， b a) 1 2 b a ，即 2，所以e.3 b a 31(b a) 2 13 答案： 13 9双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B x2 a2 y2 b2 为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为 2，则a_. 解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所 示 四边形OABC为正方形，|OA|2， c|OB|2，AOB.2 4 直线OA是渐近线，方程为yx， b a tan
8、AOB1，即ab. b a 又a2b2c28，a2. 答案：2 10已知双曲线1(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双 x2 a2 y2 b2 曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26， 则双曲线的方程为_ 解析 ： 双曲线1(a0，b0)的离心率为 2， e214， 3， 即b23a2， x2 a2 y2 b2 b2 a2 b2 a2 c2a2b24a2， 由题意可设A(2a,3a)，B(2a，3a)， 3，渐近线方程为yx， b2 a2 3 则点A与点B到直线xy0的距离分别为d1a，d23 |2 3 a3a| 2 2 33
9、 2 |2 3 a3a| 2 a，又d1d26， 2 33 2 aa6，解得a，b29.双曲线的方程为1. 2 33 2 2 33 2 3 x2 3 y2 9 答案：1 x2 3 y2 9 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1若实数k满足 0k9，则曲线1 与曲线1 的( ) x2 25 y2 9k x2 25k y2 9 A离心率相等B.虚半轴长相等 C实半轴长相等D焦距相等 解析：选 D 由 0k9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由259k ，得两双曲线的焦距相等25k9 2(2019石家庄模拟)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 x2 a2 y2
10、b2 作倾斜角为 30的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B， 则该双曲线的离心率是( ) A.B.32 C2D. 3 3 解析：选 A 由题意可知F1(c,0)，设A(0，y0)，因为A是F1B的中点，所以点B的横 坐标为c，又点B在双曲线的右支上，所以B，因为直线F1B的倾斜角为 30，所以 (c， b2 a) ，化简整理得，又b2c2a2，所以 3c23a22ac0，两边同时 b2 a 0 cc 3 3 b2 2ac 3 3 3 除以a2得 3e22e30，解得e或e(舍去)，故选 A.33 3 3 3已知圆C：(x3)2y24，定点A(3，0)，则过定点A
11、且和圆C外切的动圆圆心M 的轨迹方程为_ 解析：设动圆M的半径为R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2.由双曲线的定 义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a1，c3，b28.则动圆圆心M 的轨迹方程为x21(x1) y2 8 答案：x21(x1) y2 8 (二)交汇专练融会巧迁移 4与向量交汇过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线 x2 a2 y2 b2 FM(切点为M)，交y轴于点P，若2，则双曲线的离心率为( )PM MF A.B. 2 6 2 C.D23 解析 ： 选B 由题意，F(c,0) 设P(0,3m)， 由2， 可得点M的坐标为，
12、OMPM MF ( 2 3c，m) PF， 1， m2c2， M， 由|OM|2|MF|2|OF|2， |OM|a， |OF| m 2 3c 3m c 2 9( 2 3c， 2c2 9) c得，a2 2 c2，解得a2c2，e ，故选 B. ( c 3) 2c2 9 2 3 c a 6 2 5与正弦定理交汇已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若 x2 a2 y2 b2 双曲线上存在点P，使 (c是双曲线的半焦距)，则该双曲线的离心率e的取值范 sinPF1F2 sinPF2F1 a c 围为( ) A(1,1)B.(1,1)23 C(1,1D(1,123 解析 ： 选 A
13、由题意， 知点P不是双曲线的顶点， 否则 无意义 在PF1F2中， sinPF1F2 sinPF2F1 a c 由正弦定理得， |PF1| sinPF2F1 |PF2| sinPF1F2 又 ， ， sinPF1F2 sinPF2F1 a c |PF1| |PF2| c a 即|PF1| |PF2|. c a 由题意知点P在双曲线的右支上，故|PF1|PF2|2a， |PF2|PF2|2a，即|PF2|. c a 2a2 ca 由双曲线的几何性质， 知|PF2|ca， ca， 即c22aca20， e22e10， 2a2 ca 解得1e1.22 又e1，双曲线离心率的取值范围是(1，1)，故选
14、 A.2 6与圆交汇已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点 y2 a2 x2 b2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M， 若点M在以线段F1F2为直径 的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A(1,2)B.(2，) C(1，)D(，)22 解析 ： 选 A 如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，c)，则过点F1与渐 近线yx平行的直线为yxc，联立，得Error!解得Error!即M. a b a b( bc 2a， c 2) 因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2y2c2内，故 22c2， 化简 ( bc 2a)( c 2) 得b23a2，
15、即c2a23a2，解得 2，又双曲线的离心率e 1，所以双曲线 c a c a 离心率的取值范围 是 (1,2)故选 A. (三)难点专练适情自主选 7已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为 2.3 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：ykx与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；2 (3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围 解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 由已知得a，c2，再由a2b2c2，得b21，3 所以双曲线C的方程为y21. x2 3 (2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.2 x2 3 2 由题意知Error!解得k1. 3 3 所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为. ( 3 3 ，1) (3)由(2)得xAxB， 6 2 k 13k2 所以yAyB(kxA)(kxB)22 k(xAxB)2.2 2 2 13k2 所以AB的中点P的坐标为. ( 3 2 k 13k2， 2 13k2) 设直线l0的方程为yxm， 1 k 将P点坐标代入直线l0的方程，得m. 4 2 13k2 因为k1，所以213k20. 3 3 所以m2.2 所以m的取值范围为(，2)2