《新课标2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_10圆锥曲线的综合问题课时规范练理含解析新人教A.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课标2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_10圆锥曲线的综合问题课时规范练理含解析新人教A.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、8-10 圆锥曲线的综合问题8-10 圆锥曲线的综合问题 课时规范练课时规范练 (授课提示：对应学生用书第 317 页) A 组 基础对点练 1已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直 x2 a2 y2 b2 3 2 线AF的斜率为，O为坐标原点 2 3 3 (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程 解析：(1)设F(c,0)，由条件知， ，得c. 2 c 2 3 3 3 又 ，所以a2，b2a2c21. c a 3 2 故E的方程为y21. x2 4 (2)当lx轴时不合题意， 故设l：ykx2，P(
2、x1，y1)，Q(x2，y2)， 将ykx2 代入y21 得 x2 4 (14k2)x216kx120. 当16(4k23)0， 即k2 时，x1,2. 3 4 8k 2 4k23 4k21 从而|PQ|x1x2|.k21 4k21 4k23 4k21 又点O到直线PQ的距离d， 2 k21 所以OPQ的面积SOPQd|PQ|. 1 2 4 4 k23 4k21 设t，则t0，SOPQ.4k23 4t t24 4 t4 t 因为t 4，当且仅当t2， 4 t 即k时等号成立，且满足0， 7 2 所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2 或yx2. 7 2 7 2 2(2016高考北京卷)已知
3、椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)， x2 a2 y2 b2 3 2 O(0,0)，OAB的面积为 1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点， 直线PA与y轴交于点M， 直线PB与x轴交于点N.求证 ： |AN|BM| 为定值 解析：(1)由题意得Error!解得a2，b1. 所以椭圆C的方程为y21. x2 4 (2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1) 设P(x0，y0)，则x4y4. 2 02 0 当x00 时，直线PA的方程为 y(x2) y0 x02 令x0，得yM， 2y0 x02 从而|BM|1yM|. |1 2y0 x02| 直线P
4、B的方程为yx1. y01 x0 令y0，得xN， x0 y01 从而|AN|2xN|. |2 x0 y01| 所以|AN|BM| |2 x0 y01| |1 2y0 x02| | x2 04y2 04x0y04x08y04 x0y0x02y02| 4. | 4x0y04x08y08 x0y0x02y02| 当x00 时，y01，|BM|2，|AN|2， 所以|AN|BM|4. 综上，|AN|BM|为定值 3已知椭圆E：1 的右焦点为F(c,0)且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O x2 a2 y2 b2 到直线DF的距离为， 过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点， 且| 3
5、2 GF CF 4. (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得 24 成OP PA PB 立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 解析：(1)由椭圆的对称性知|2a4，GF CF a2. 又原点O到直线DF的距离为， 3 2 ，bc， bc a 3 2 3 又a2b2c24，abc0， b，c1.3 故椭圆E的方程为1. x2 4 y2 3 (2)当直线l与x轴垂直时不满足条件 故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线l的方程为yk(x2)1， 代入椭圆方程得(34k2)x2 8k(2k1)x16k216k80，
6、x1x2， 8k2k1 34k2 x1x2， 16k216k8 34k2 32(6k3)0，k . 1 2 24 ，OP PA PB 即 4(x12)(x22)(y11)(y21)5， 4(x12)(x22)(1k2)5， 即 4x1x22(x1x2)4(1k2)5， 4(1k2)45，解得k ， 16k216k8 34k2 2 8k2k1 34k2 4 44k2 34k2 1 2 k 不符合题意，舍去， 1 2 存在满足条件的直线l，其方程为yx. 1 2 4 (2018广西柳州摸底)已知抛物线C的顶点在原点， 焦点在x轴上， 且抛物线上有一点P(4， a)到焦点的距离为 5. (1)求该抛
7、物线C的方程； (2)已知抛物线上一点M(b,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，判断直线DE 是否过定点？并说明理由 解析：(1)由题意设抛物线方程为y22px(p0)， 其准线方程为x ， p 2 P(4，a)到焦点的距离等于P到准线的距离， 4 5，p2. p 2 抛物线C的方程为y24x. (2)由(1)可得点M(4,4)，可得直线DE的斜率不为 0， 设直线DE的方程为xmyt，联立Error!得y24my4t0， 则16m216t0.(*) 设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1y24m，y1y24t. (x14，y14)(x24，y24)MD ME x1x2
8、4(x1x2)16y1y24(y1y2)16 416y1y24(y1y2)16 y2 1 4 y2 2 4( y2 1 4 y 2 2 4) (y1y2)23y1y24(y1y2)32 y1y22 16 t216m212t16m320， 即t212t3216m216m，得(t6)24(2m1)2， t62(2m1)，即t4m8 或t4m4， 代入(*)式检验知t4m8 满足0， 当t4m4 时，直线DE过点M，不合题意，舍去 直线DE的方程为xmy4m8m(y4)8. 直线过定点(8，4) B 组 能力提升练 1 (2017高考浙江卷)如图， 已知抛物线x2y， 点A，B， 抛物线上的点P(x
9、，y) ( 1 2， 1 4) ( 3 2， 9 4) ，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. ( 1 2 b0)， x2 a2 y2 b2 则e ，c1，故a22，b21， c a 2 2 椭圆C的标准方程为y21. x2 2 (2)由(1)知A(0,1)， 当直线BC的斜率不存在时，设BC：xx0， 设B(x0，y0)，则C(x0，y0)， kABkAC ， 不合题意， 故直线BC的斜率存在 设直线BC y01 x0 y01 x0 1y2 0 x2 0 1 2x 2 0 x2 0 1 2 1 4 的方程为ykxm(m1)，并代入椭圆方程， 得(12k2)x24kmx2(m21)0， 由(4k
10、m)28(12k2)(m21)0， 得 2k2m210. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得， x1x2，x1x2， 4km 12k2 2m21 12k2 由kABkAC ， y11 x1 y21 x2 1 4 得 4y1y24(y1y2)4x1x2， 即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因为m1， 所以m3，此时直线BC的方程为ykx3. 所以直线BC恒过一定点(0,3) 3(2017湘中名校联考)如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛 y2 a2 x2 b2 物线C2：yx
11、21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. 3 2 (1)求a，b的值； (2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ 为直径的圆恰好过点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 解析：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1， 且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点 设C1的半焦距为c，由 及a2c2b21， c a 3 2 得a2，a2，b1. (2)存在由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也 y2 4 不垂直， 设其方程为yk(x1)(k0)，代入
12、C1的方程， 整理得(k24)x22k2xk240.(*) 设点P的坐标为(xP，yP)， 直线l过点B，x1 是方程(*)的一个根 由根与系数的关系，得xp，从而yp， 点P的坐标为. k24 k24 8k k24( k24 k24， 8k k24) 同理，由Error! 得点Q的坐标为(k1，k22k) 以PQ为直径的圆恰好过点A，APAQ， 0，即k4(k2)0.AP AQ 2k2 k24 k0，k4(k2)0，解得k . 8 3 经检验，k 符合题意 8 3 故直线l的方程为 8x3y80. 4已知焦距为 2的椭圆C：1(ab0)的左焦点为F1，上顶点为D，直线DF1与3 x2 a2
13、y2 b2 椭圆C的另一个交点为H，且|DF1|7|F1H|. (1)求椭圆的方程； (2)点A是椭圆C的右顶点， 过点B(1,0)且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两 点， 直线AE，AF分别交直线x3 于M，N两点， 线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k， 求证：kk为定值 解析：(1)椭圆C的焦距为 2，F1(，0)，又D(0，b)，|DF1|7|F1H|，33 点H的坐标为， ( 8 3 7 ，b 7) 则1，解得a24，则b2a231， 64 3 49a2 1 49 椭圆C的方程为y21. x2 4 (2)证明：根据已知可设直线l的方程为yk(x1) 由Error!得(4k21)x28k2x4k240. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1x2，x1x2.直线AE，AF的方程分别为 8k2 4k21 4k24 4k21 y(x2)，y(x2)， y1 x12 y2 x22 令x3，则M，N， (3， y1 x12)(3， y2 x22) P. (3， y1x22y2x12 2x12x22) kk k 4 kx11x22kx21x12 x12x22 k2 4 2x1x23x1x24 x1x22x1x24 k2 4 8k2824k216k24 4k21 4k2416k216k24 4k21 k2 4 4 4k2 . 1 4