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1、课时跟踪检测（六） 函数的奇偶性及周期性课时跟踪检测（六） 函数的奇偶性及周期性 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1(2019南通中学高三测试)已知函数f(x)是定义域为 R 的奇函数，且f(1)2， 那么f(0)f(1)_. 解析：因为函数f(x)是 R 上的奇函数， 所以f(x)f(x)， f(1)f(1)2，f(0)0， 所以f(0)f(1)2. 答案：2 2(2018南京三模)已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，当x0 时，f(x)2x2，则 不等式f(x1)2 的解集是_ 解析：偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(2)2. 所以f(x1)2，即f(|x1|)f(2)，即|x1|
2、2，所以1x3. 答案：1,3 3函数f(x)x 1，f(a)3，则f(a)_. 1 x 解析：由题意得f(a)f(a)a 1(a)12. 1 a 1 a 所以f(a)2f(a)1. 答案：1 4 函数f(x)在 R 上为奇函数， 且x0 时，f(x)1， 则当x0 时，f(x)_.x 解析：因为f(x)为奇函数，x0 时，f(x)1，x 所以当x0 时，x0， f(x)f(x)(1)，x 即x0 时，f(x)(1)1.xx 答案：1x 5 (2019连云港高三测试)已知函数f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且当x0 时，f(x) x，则f(2log35)_. ( 1 3) 解析：由f(x)
3、是定义在 R 上的奇函数，得f(2log35)f(2log35)， 由于当x0 时，f(x) x， ( 1 3) 故f(2log35)f . (log 39 5)( 1 3) 3 9 log 5 5 9 答案：5 9 6(2018南通一调)若函数f(x)Error!(a，bR)为奇函数，则f(ab)_. 解析：法一：因为函数f(x)为奇函数， 所以Error!即Error! 解得Error!经验证a1，b2 满足题设条件， 所以f(ab)f(1)1. 法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，由题意知， 当x0，二次函数的图象顶点坐标为， ( b 2， b2 4) 当x0
4、，二次函数的图象顶点坐标为(1，a)， 所以Error!解得a1，b2， 经验证a1，b2 满足题设条件， 所以f(ab)f(1)1. 答案：1 二保高考，全练题型做到高考达标 1(2018抚顺期末)设f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，且在2b,0上为增 函数，则f(x1)f(3)的解集为_ 解析：f(x)是定义在2b,3b上的偶函数， 2b3b0， b3， f(x)是定义在6,6上的偶函数，且在6,0上为增函数， f(x)在0,6上为减函数， 由f(x1)f(3)，得|x1|3， 解得2x4， f(x1)f(3)的解集为x|2x4 答案：x|2x4 2 (2019常州一中模拟)设定义在
5、R 上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)1， 且当x 1,2时，f(x)2x，则f(2 018.5)_. 解析 ： 由f(x1)f(x)1在R上恒成立， 得f(x1)f(x)1， 两式相减得f(x1) f(x1)0，即f(x1)f(x1)恒成立，故函数f(x)的周期是 2， f(2 018.5)f(0.5)f(1.5)， 又当x1,2时，f(x)2x， f(2 018.5)f(1.5)21.50.5. 答案：0.5 3 已知函数f(x)是定义在2,2上的奇函数， 且在区间0,2上是单调减函数 若f(2x 1)f(1)0，则x的取值范围是_ 解析：函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在区
6、间0,2上是单调减函数， 函数f(x)在区间2,2上是单调减函数 f(2x1)f(1)0，即f(2x1)f(1)， f(2x1)f(1) 则Error!解得1x . 1 2 x的取值范围是. (1， 1 2 答案：(1，1 2 4 (2018泰州期末)设f(x)是 R 上的奇函数， 当x0 时，f(x)2xln ， 记anf(n x 4 5)，则数列an的前 8 项和为_ 解析 ： 数列an的前 8 项和为f(4)f(3)f(3)f(4)(f(3)f(3) (f(2)f(2)(f(1)f(1)f(0)f(4)f(4)16. (2 4ln4 4) 答案：16 5 (2018徐州期中)已知函数f(
7、x)exex1(e 为自然对数的底数)， 若f(2x1) f(4x2)2，则实数x的取值范围为_ 解析 ： 令g(x)f(x)1exex， 则g(x)为奇函数， 且在 R 上单调递增 因为f(2x1) f(4x2)2， 所以f(2x1)1f(4x2)10， 即g(2x1)g(4x2)0， 所以g(2x 1)g(x24)，即 2x1x24，解得x(1,3) 答案：(1,3) 6(2019镇江中学测试)已知奇函数f(x)在定义域 R 上是单调减函数，若实数a满足 f(2|2a1|)f(2)0，则a的取值范围是_2 解析 ： 由f(2|2a1|)f(2)0， 可得f(2|2a1|)f(2) 因为f(
8、x)为奇函数，22 所以f(2|2a1|)f(2) 因为f(x)在定义域 R 上是单调减函数， 所以 2|2a1|2， 即|2a22 1| ，解得 a . 3 2 1 4 5 4 答案：(1 4， 5 4) 7(2019苏州调研)已知奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，则不等式 0 的解集为_ fx x1 解析：由0，可得Error!或Error!因为奇函数f(x)在(，0)上单调递减，所 fx x1 以f(x)在(0， )上单调递减， 且f(2)f(2)0， 所以当x1时，f(x)0的解集为(1,2) ； 当x1 时，f(x)0 的解集为(2,0) 所以不等式0 的解集为(2,
9、0)(1,2) fx x1 答案：(2,0)(1,2) 8函数f(x)在 R 上满足f(x)f(x)，当x0 时，f(x)ex1mcos(x)， 记af()，bf，cef(e)，则a，b，c的大小关系为_ 13 4( 13 4) 解析：函数f(x)为 R 上的奇函数，且当x0 时，f(x)ex1mcos(x)， f(0)11m0，即m0， f(x)ex1(x0) 令g(x)xf(x)， 有g(x)(x)f(x)xf(x)g(x)， 函数g(x)为偶函数， 当x0 时，g(x)xf(x)x(1ex)，g(x)f(x)xf(x)1(1x)ex0， 函数g(x)在0，)上为减函数， af()g()g
10、()，bfgg，cef(e) 13 4( 13 4)( 13 4)( 13 4) g(e)， 又 e，bac. 13 4 答案：bac 9已知函数f(x)Error!是奇函数 (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围 解：(1)设x0，则x0， 所以f(x)(x)22(x)x22x. 又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)， 于是x0 时，f(x)x22xx2mx，所以m2. (2)要使f(x)在1，a2上单调递增， 结合f(x)的图象(如图所示)知Error! 所以 1a3，故实数a的取值范围是(1,3 10 (2018大同期末)已知函数f(x
11、)loga(x1)，g(x)loga(1x)， 其中a0，a1. (1)求函数F(x)f(x)g(x)的定义域； (2)判断F(x)f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)当a1 时，求使F(x)0 成立的x的取值范围 解：(1)F(x)f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)， Error!解得1x1， 函数F(x)的定义域为(1,1) (2)F(x)为(1,1)上的奇函数理由如下： 由(1)知F(x)的定义域为(1,1)， 关于原点对称，F(x)loga(x1)loga(1x) loga(x1)loga(1x)F(x)， 函数F(x)为(1,1)上的奇函数 (3)根据题意，F
12、(x)loga(x1)loga(1x)， 当a1 时，由F(x)0，得 loga(x1)loga(1x)， 即Error! 解得 0x1， 故x的取值范围为(0,1) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1(2019南通模拟)已知定义在 R 上的奇函数yf(x)满足f(2x)f(2x)，当 2x0 时，f(x)2x，若anf(n)(nN*)，则a2 018_. 解析：f(2x)f(2x)，以 2x代替上式中的x，得f(4x)f(x)， 又函数yf(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x)f(x)， f(4x)f(x)f(x)， 再以 4x代替上式中的x，得f(8x)f(4x)f(x)，函数f(x)
13、的周期为 8. a2 018f(2 018)f(25282)f(2)， 而f(2)f(2) ， 1 4 a2 018 . 1 4 答案：1 4 2设函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数x有ff成立 ( 3 2x)( 3 2x) (1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值； (3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值 解：(1)由f f ， ( 3 2x)( 3 2x) 且f(x)f(x)，知f(3x)f 3 2( 3 2x) f f(x)f(x)， 3 2( 3 2x) 所以yf(x)是周期函数，且T3 是其一个周期 (2)因为f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以f(0)0， 且f(1)f(1)2， 又T3 是yf(x)的一个周期， 所以f(2)f(3)f(1) f(0)202. (3)因为y|f(x)|g(x)是偶函数， 且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数 故g(x)x2ax3 为偶函数， 即g(x)g(x)恒成立， 于是(x)2a(x)3x2ax3 恒成立 于是 2ax0 恒成立，所以a0.