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1、课时跟踪检测（四十三） 直线与方程课时跟踪检测（四十三） 直线与方程 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 (2019南通模拟)将直线y2x绕原点逆时针旋转， 则所得直线的斜率为_ 4 解析 ： 设直线y2x的倾斜角是， 则 tan 2， 将直线y2x绕原点逆时针旋转 ， 则倾斜角变为， 4 4 所得直线的斜率ktan3. ( 4) 21 12 1 答案：3 2(2018南通中学月考)过点P(2,4)且斜率k3 的直线l的方程为_ 解析：由题意得，直线l的方程为y43x(2)，即 3xy100. 答案：3xy100 3 若直线y2x3k14 与直线x4y3k2 的交点位于第四象限， 则实数k的
2、取值范围是_ 解析：解方程组Error!得Error! 因为直线y2x3k14 与直线x4y3k2 的交点位于第四象限， 所以k60 且k20，所以6k2. 答案：(6，2) 4(2018南京名校联考)曲线yx3x5 上各点处的切线的倾斜角的取值范围为 _ 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为(0，)， 因为y3x211，所以 tan 1， 结合正切函数的图象可知，的取值范围为. 0， 2) 3 4 ，) 答案： 0， 2) 3 4 ，) 5(2019无锡模拟)已知直线(a2)y(3a1)x1，若这条直线不经过第二象限， 则实数a的取值范围是_ 解析：若a20，即a2 时，直线方程可化为x
3、 ，此时直线不经过第二象限，满 1 5 足条件；若a20，直线方程可化为yx，此时若直线不经过第二象限， 3a1 a2 1 a2 则0，0，解得a2. 3a1 a2 1 a2 综上，满足条件的实数a的取值范围是2，) 答案：2，) 6 (2018南京调研)已知函数f(x)asin xbcos x， 若ff， 则直线ax ( 4 x) ( 4 x) byc0 的倾斜角为_ 解析 ： 由ff知函数f(x)的图象关于直线x对称， 所以f(0)f， ( 4 x) ( 4 x) 4( 2) 所以ba，则直线axbyc0 的斜率为 1，故其倾斜角为. a b 3 4 答案：3 4 二保高考，全练题型做到高
4、考达标 1(2019泰州模拟)倾斜角为 120，在x轴上的截距为1 的直线方程是_ 解析：由于倾斜角为 120，故斜率k.又直线过点(1,0)，3 所以直线方程为y(x1)，即xy0.333 答案：xy033 2(2018泗阳中学检测)若直线l与直线y1，x7 分别交于点P，Q，且线段PQ 的 中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_ 解析 ： 设P(x,1)， Q(7，y)， 则1，1， 所以x5，y3， 即P(5,1)， x7 2 y1 2 Q(7，3)，故直线l的斜率k . 31 75 1 3 答案：1 3 3(2019苏州调研)已知R，则直线xsin y10 的倾斜角的取值范围是3 _
5、 解析：设直线的倾斜角为 ，则 tan sin ， 3 3 1sin 1，tan ， 3 3 3 3 又0，)，0或. 6 5 6 答案： 0， 6 5 6 ，) 4已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线yk(x1)与线段AB总有公共点，则实数k的 取值范围是_ 解析 ：yk(x1)是过定点P(1,0)的直线，kPB0，kPA1，所以实数k 10 01 的取值范围是0,1 答案：0,1 5已知点P(x，y)在直线xy40 上，则x2y2的最小值是_ 解析 ： 因为点P(x，y)在直线xy40 上， 所以y4x， 所以x2y2x2(4x)2 2(x2)28，当x2 时，x2y2取得最小值 8
6、. 答案：8 6 (2019南京模 拟 )过 点P(2,3)且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 _ 解析 ： 若直线的截距不为 0，可设为 1，把P(2,3)代入，得 1，a5，直线 x a y a 2 a 3 a 方程为xy50. 若直线的截距为 0， 可设为ykx， 把P(2,3)代入， 得 32k，k ， 直线方程为 3x2y0. 3 2 综上，所求直线方程为xy50 或 3x2y0. 答案：xy50 或 3x2y0 7已知直线l：ykx1 与两点A(1,5)，B(4，2)，若直线l与线段AB相交，则 实数k的取值范围是_ 解析：易知直线l：ykx1
7、的方程恒过点P(0,1)， 如图，kPA4，kPB ， 3 4 实数k的取值范围是(，4. 3 4，) 答案：(，43 4，) 8若直线l： 1(a0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之 x a y b 和的最小值是_ 解析 ： 由直线l： 1(a0，b0)可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距 x a y b 为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值， 即求ab的最小值 由直线经过点(1,2) 得 1.于 是ab (ab) 3， 因 为2 2 1 a 2 b( 1 a 2 b) b a 2a b b a 2a b b a 2a b 2 ，所以ab32，故直线l在x
8、轴和y轴上的截距之和的最 (当且仅当 b a 2a b 时取等号)2 小值为 32.2 答案：32 2 9已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线l的 方程： (1)过定点A(3,4)； (2)斜率为 . 1 6 解 ： (1)设直线l的方程为yk(x3)4， 它在x轴，y轴上的截距分别是 3,3k4， 4 k 由已知，得(3k4)6， ( 4 k3) 解得k1 或k2 . 2 3 8 3 故直线l的方程为 2x3y60 或 8x3y120. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb， 1 6 它在x轴上的截距是6b， 由已知，得|6bb|6，所以
9、b1. 所以直线l的方程为x6y60 或x6y60. 10已知直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0. (1)求实数m的取值范围； (2)若直线l的斜率不存在，求实数m的值； (3)若直线l在x轴上的截距为3，求实数m的值； (4)若直线l的倾斜角是 45，求实数m的值 解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m22m30，解得m1 或m3； 令 2m2m10，解得m1 或m . 1 2 所以实数m的取值范围是(，1)(1，) (2)由(1)易知，当m 时，方程表示的直线的斜率不存在 1 2 (3)依题意，有3，所以 3m24m150， 2m6 m22m3
10、所以m3 或m ，由(1)知所求m . 5 3 5 3 (4)因为直线l的倾斜角是 45，所以斜率为 1. 由1，解得m 或m1(舍去) m22m3 2m2m1 4 3 所以直线l的倾斜角为 45时，m . 4 3 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1 (2018无锡期末)过点(2,3)的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B 两点，当AOB(O为坐标原点)面积最小时，直线l的方程为_ 解析 ： 设直线l的斜率为k， 且k0， 所以直线l的方程为y3k(x2)， 即kxy3 2k0.令x0，得y32k，所以B(0，32k)；令y0，得x2 ，所以A. 3 k(2 3 k，0) 则AOB
11、的面积为S (32k)12， 当 1 2(2 3 k) 1 2(66 9 k4k) 1 2122 9 k4k 且仅当 4k，即k 时等号成立，所以直线l的方程为 3x2y120. 9 k 3 2 答案：3x2y120 2已知曲线y，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的 1 ex1 面积为_ 解析 ：y， 因为ex0， 所以ex22(当且仅当ex ex ex12 1 ex 1 ex2 1 ex ex 1 ex ，即x0 时取等号)，所以 ex24，故y (当且仅当x0 时取 1 ex 1 ex 1 ex 1 ex2 1 4 等号) 所以当x0 时，曲线的切线斜率取得最小值，此时
12、切点的坐标为，切线的方程 (0， 1 2) 为y (x0)，即x4y20.该切线在x轴上的截距为 2，在y轴上的截距为 ， 1 2 1 4 1 2 所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S 2 . 1 2 1 2 1 2 答案：1 2 3已知直线l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面 积为S，求S的最小值及此时直线l的方程 解：(1)证明：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定 点 (2,1) (2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为 2k1，要使直线l不 经过第四象限，则Error!解得k0，故k的取值范围是.0，) (3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为 12k， 12k k 所以A，B(0,12k) ( 12k k ，0) 又0 且 12k0，所以k0. 12k k 故S |OA|OB| (12k) 1 2 1 2 12k k (44)4， 1 2(4k 1 k4) 1 2 当且仅当 4k ，即k 时，取等号 1 k 1 2 故S的最小值为 4，此时直线l的方程为x2y40.