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1、第 3 讲 圆周运动第 3 讲 圆周运动 一、匀速圆周运动及描述 1匀速圆周运动 (1)定义 ： 做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，那么物体所做的就 是匀速圆周运动 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动 (3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心 2描述匀速圆周运动的物理量 定义、意义公式、单位 线速度 描述做圆周运动的物体运动快 慢的物理量(v) (1)v s t 2r T (2)单位：m/s 角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物 理量() (1) t 2 T (2)单位：rad/s 周期物体沿圆周运动一圈的时间(T) (1)T，单
2、位：s 2r v 2 (2)频率f ，单位：Hz 1 T 向心加速度 (1)描述速度方向变化快慢的物 理量(an) (2)方向指向圆心 (1)anr2 v2 r (2)单位：m/s2 自测 1 (多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为 4m/s，转动周期为 2s，则( ) A角速度为 0.5rad/s B转速为 0.5 r/s C轨迹半径为mD加速度大小为 4m/s2 4 答案 BCD 二、匀速圆周运动的向心力 1作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小 2大小 Fmmr2mrmv42mf2r. v2 r 42 T2 3方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即
3、向心力是一个变力 4来源 向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供 自测 2 (多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是( ) A因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 B因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小 C向心力就是物体所受的合外力 D向心力和向心加速度的方向都是不变的 答案 BC 三、离心运动和近心运动 1离心运动定义 ： 做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向 心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动 图 1 2受力特点(如图 1) (1)当Fmr2时，物体做匀速
4、圆周运动； (2)当F0 时，物体沿切线方向飞出； (3)当Fmr2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动 3本质 ： 离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是所受的力小于做匀速圆周运动需要 的向心力 命题点一 圆周运动的运动学问题命题点一 圆周运动的运动学问题 1对公式vr的理解 当r一定时，v与成正比 当一定时，v与r成正比 当v一定时，与r成反比 2对an2r的理解 v2 r 在v一定时，an与r成反比；在一定时，an与r成正比 3常见的传动方式及特点 (1)皮带传动 ： 如图 2 甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等， 即vAvB. 图 2 (2)摩擦传动和齿轮
5、传动 ： 如图 3 甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边 缘线速度大小相等，即vAvB. 图 3 (3)同轴转动 ： 如图 4 甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，AB，由vr 知v与r成正比 图 4 例 1 (多选)(2018江苏单科6)火车以 60m/s 的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌 面上的指南针在 10s 内匀速转过了约 10.在此 10s 时间内，火车( ) A运动路程为 600mB加速度为零 C角速度约为 1rad/sD转弯半径约为 3.4km 答案 AD 解析 由svt知，火车运动路程为s600m，A 对 ； 火车在弯道做圆周运动，故加速度不为 零
6、， B 错 ； 由 10s 内转过 10知， 角速度rad/srad/s0.017 rad/s， C 10 360 2 10 180 错；由vr知，火车转弯半径rm3.4km，D 对 v 60 180 变式 1 (多选)自行车的大齿轮、 小齿轮、 后轮的半径不一样， 它们的边缘有三个点A、B、C， 如图 5 所示正常骑行自行车时，下列说法正确的是( ) 图 5 AA、B两点的线速度大小相等，角速度大小也相等 BB、C两点的角速度大小相等，周期也相等 CA点的向心加速度小于B点的向心加速度 DB点的向心加速度大于C点的向心加速度 答案 BC 解析 设A、B、C三点到各自轴心的距离分别为RA、RB
7、、RC，由题图可知RCRARB.A、B两点 通过链条相连，线速度大小相等，由vr知，A、B两点的角速度不相等，选项 A 错误； 由题图知，B、C两点绕同一轴转动，角速度相等，由T知周期也相等，选项 B 正确； 2 由an知，A点的向心加速度小于B点的向心加速度，选项 C 正确；由an2r知，B点 v2 r 的向心加速度小于C点的向心加速度，选项 D 错误 命题点二 水平面内的圆周运动命题点二 水平面内的圆周运动 1向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的 合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力 2几种典型运动模型 运
8、动模型向心力的来源图示 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆 飞车走壁 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 3.“一、二、三、四”求解圆周运动问题 例 2 (2018南京市、盐城市一模)如图 6 所示，质量相等的A、B两个小球，在光滑玻璃 漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，A在B的上方则它们运动的( ) 图 6 A向心力FAFB B线速度vAvB C角速度AB D向心加速度anAanB 答案 B 解析 对A、B两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力FN.如图所示 设漏斗顶角的一半为， 则F向， 由于两球质量相等， 所以A、B两球的向心力相等， mg tan 故 A 错误；由公式F向可得：
9、v，由于A球做匀速圆周运动的半径 mv2 r mg tan g tan r 比B球大，所以vAvB，故 B 正确；由公式F向m2r可得：，由于A mg tan g rtan 球做匀速圆周运动的半径比B球大， 所以AB， 故C错误 ； 由公式F向man可得 ：an mg tan ，所以anAanB，故 D 错误 g tan 变式 2 (多选)(2018如东县调研)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图 7 所 示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小 为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为，则( ) 图 7 A该弯道的半径r v2 gtan B当火
10、车质量改变时，规定的行驶速度大小不变 C当火车速度大小大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D当火车速度大小小于v时，外轨将受到轮缘的挤压 答案 AB 解析 火车转弯不侧向挤压车轮轮缘时，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定 律得：mgtan m，解得：r，故 A 正确；v，可知火车规定的行驶 v2 r v2 gtan grtan 速度与质量无关，故 B 正确；当火车速度大小大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向 心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故 C 错误；当火车速度大小小于v时，重 力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，故 D 错误 拓展点
11、 水平面内圆周运动的临界问题 1与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm，静摩擦力的方向一定指向圆心 mv2 r (2)如果除摩擦力以外还有其他力， 如绳两端连接物体随水平面转动， 其中一个物体存在一个 恰好不向内滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且方向沿半径背离圆心)和一个恰好不向外滑 动的临界条件(静摩擦力达到最大且方向沿半径指向圆心)，分别为静摩擦力达到最大且静摩 擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心 2与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零 (
12、2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等 例 3 (2018南京市期中)如图 8 所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L2m 的细绳悬一质量 为m1kg 的小球(可视为质点)， 圆锥顶角为 274.当小球以5rad/s 的角速度随圆 锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小为(sin370.6，cos370.8)( ) 图 8 A50NB40N C20ND38.5N 答案 A 变式 3 (2018扬州中学月考)如图 9 叠放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角 速度匀速转动，物体A、B、C的质量分别为 3m、2m、m，物体B与转台、物体C与转台间 的动摩擦因数
13、都为，物体A与物体B间的动摩擦因数也为，物体B、C离转台中心的距 离分别为r、1.5r.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( ) 图 9 A物体B对物体A的摩擦力有可能为 3mg B物体C与转台间的摩擦力大于物体A与物体B间的摩擦力 C转台的角速度有可能恰好等于 2g 3r D若角速度缓慢增大，物体A与物体B将最先发生相对滑动 答案 C 解析 对物体A、B整体有： (3m2m)2r(3m2m)g 对物体C有：m2(1.5r)mg 对物体A有：3m2r(3m)g 联立解得：，即不发生相对滑动时，转台的角速度，可知物体A 2g 3r 2g 3r 与物体B间的静摩擦力最大值Ffm3mr2
14、3mr2mg，故 A 错误，C 正确；由 2g 3r 于物体A与物体C转动的角速度相同， 由摩擦力提供向心力有m1.5r23mr2， 即物体C 与转台间的摩擦力小于物体A与物体B间的摩擦力，故 B 错误；由 A 选项分析可知，最先发 生相对滑动的是物体C，故 D 错误 命题点三 竖直面内的圆周运动命题点三 竖直面内的圆周运动 拱桥模型绳球模型杆球模型 实例汽车过拱形桥绳球，过山车等杆球，管形圆轨道 图示 特征下有支撑，上无约束下无支撑，上有约束下有支撑，上有约束 过最高点条件vgrvgrv0 不同速度时受 力及运动情况 v时：gr mgFNmv 2 r FNmgm时：到达最高点前gr 做斜上抛
15、运动飞离桥面 能过最高点时，v ，FNmgm， 绳、gr v2 r 轨道对球产生弹力FN 不能过最高点时，v时，FNmggr m，FN指向圆心并 v2 r 随v的增大而增大 例 4 (多选)(2018泰州中学月考)如图 10 所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木 板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地面上，B不能左右运动，在环的最低 点静放一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧 做圆周运动， 为保证小球能通过环的最高点， 且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的 摩擦阻力)，瞬时速度必须满足( ) 图 10 A最小值为B最大值为4g
16、r6gr C最小值为D最大值为5gr7gr 答案 CD 变式 4 (多选)如图 11 甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面 内做半径为R的圆周运动小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点 的速度大小为v，FNv2图象如图乙所示下列说法正确的是( ) 图 11 A当地的重力加速度大小为b R B小球的质量为R b a C若c2b，则杆对小球拉力的大小为a D若c2b，则杆对小球支持力的大小为 2a 答案 AC 解析 由题意可知，当v2gR时，FN0，结合题图乙可知gRb，g ；当v2gR时，杆 b R 对小球的弹力方向向上，根据mgFN，可得FNmg，当v
17、20 时，amg，m mv2 R mv2 R a g R； 当v2gR时， 杆对小球弹力方向向下， 根据mgFN， 可得FNmg， 若v2c2b a b mv2 R mv2 R 2gR，则FNmga，故选项 A、C 正确 变式 5 (多选)(2018海安中学开学考)如图 12， 在竖直平面内光滑圆轨道外侧， 有一小球 以某一水平速度v0从A点出发沿圆轨道运动， 至B点时脱离轨道， 最终落在水平面上的C点， 不计空气阻力下列说法中正确的是( ) 图 12 A在B点时，小球向心加速度大小为g BB到C过程，小球做匀变速运动 C在A点时，小球对圆轨道压力大于其重力 DA到B过程，小球水平方向的加速度
18、先增加后减小 答案 BD 1.(2018泰州中学期中)如图 13 所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮上 质量相等的两个质点，则偏心轮转动的过程中a、b两质点( ) 图 13 A线速度大小相同 B角速度大小相同 C向心力大小相同 D向心加速度大小相同 答案 B 解析 偏心轮上各处角速度相等，故 B 正确；根据vr，可知到圆心距离不同的点，线速 度不同， 故 A 错误 ； 根据Fm2r可知到圆心距离不同的点， 向心力不同， 故 C 错误 ； 根据a 2r可知到圆心距离不同的点，向心加速度不同，故 D 错误 2.(多选)(2017南通中学期中)如图 14 所示， 绳子的一端固定在O点
19、， 另一端拴一重物在光 滑水平面上做匀速圆周运动( ) 图 14 A转速相同时，绳长的容易断 B周期相同时，绳短的容易断 C线速度大小相等时，绳短的容易断 D线速度大小相等时，绳长的容易断 答案 AC 解析 根据牛顿第二定律得：Fm(2n)2r，m一定，当转速n相同时，绳长r越长，绳子 拉力F越大，绳子越容易断，故 A 正确根据牛顿第二定律得 ：Fm，m一定，当周期T 42r T2 相同时， 绳长r越长， 绳子拉力F越大， 绳子越容易断， 故 B 错误 根据牛顿第二定律得 ：Fm ，m一定， 线速度v大小相等时， 绳长r越短， 绳子拉力F越大， 绳子越容易断， 故 C 正确， D v2 r 错
20、误 3.(2018盐城中学质检)如图 15 所示，一内壁光滑、质量为m、半径为r的环形细圆管(管 的内径相对于环半径可忽略不计)用硬杆竖直固定在地面上 有一质量为m的小球可在圆管中 运动(球直径略小于圆管直径，可看做质点)，小球以速率v0经过圆管最高点时，恰好对管壁 无压力，当球运动到最低点时，硬杆对圆管的作用力大小为( ) 图 15 AmB2mgm v02 r v02 r C6mgD7mg 答案 D 4(多选)(2018红桥中学一调)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水 平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v.下列说法中正确的是 ( ) A当v时，轻杆对
21、小球的弹力为零gL B当v由逐渐增大时，轻杆对小球的拉力逐渐增大gL C当v由逐渐减小时，轻杆对小球的支持力逐渐减小gL D不管v多大，小球在最低点时，都处于超重状态 答案 ABD 解析 设杆对小球的弹力为FN， 根据牛顿第二定律 ：mgFNm， 当v时， 解得弹力FN v2 L gL 0，故 A 正确；在最高点，若速度v时，轻杆的作用力为零，当v时，轻杆表现为gLgL 拉力，由mgFTm知，速度增大时，向心力增大，则轻杆对小球的拉力增大，故 B 正确； v2 L 当v时，轻杆表现为支持力，由mgFNm知，速度减小时，向心力减小，则轻杆对gL v2 L 小球的支持力增大，故 C 错误；在最低点
22、由牛顿第二定律：FTmgm知，轻杆的拉力总大 v2 L 于重力，所以总处于超重状态，故 D 正确 5.(多选)(2018盐城市期中)公路转弯处通常是交通事故多发地带 如图 16 所示， 某公路转 弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势则在 该弯道处( ) 图 16 A路面外侧一定高于内侧 B车速只能为v0，否则将发生交通事故 C只要车速小于v0，车辆便会向内侧滑动 D车速大于v0，车辆也不一定会向外侧滑动 答案 AD 解析 路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供做圆周运动的向 心力，故 A 正确；当汽车行驶的速率为v0时，摩擦力为零，
23、靠重力和支持力的合力提供向心 力，当车速大于v0时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，车辆会受到沿路面指向公路 内侧的摩擦力，当车速小于v0，重力和支持力的合力大于所需要的向心力，车辆会受到沿路 面指向公路外侧的摩擦力，不一定发生滑动，故 B、C 错误，D 正确 1.(多选)(2018响水中学模拟)电风扇的扇叶的重心如果不在转轴上， 转动时会使风扇抖动， 并加速转轴磨损调整时，可在扇叶的一区域通过固定小金属块的办法改变其重心位置如 图 1 所示，A、B是两调整重心的金属块(可视为质点)， 其质量相等， 它们到转轴O的距离rArB. 扇叶转动后，它们的( ) 图 1 A向心力FAFBB线速度大
24、小相等 C向心加速度相等D角速度大小相等 答案 AD 解析 由于同轴转动，风扇上各个点的角速度相同(圆心除外)，故A、B两点的角速度相同； 根据线速度与角速度的关系式vr和rArB，知vAvB，故 B 错误，D 正确根据向心加速 度和角速度的关系式a2r和rArB，知aAaB；再根据向心力Fnma得，向心力FAFB， 故 A 正确，C 错误 2.如图 2 所示，杂技演员在表演“水流星”节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动， 当杯子经过最高点时，里面的水也不会流出来，这是因为( ) 图 2 A水处于失重状态，不受重力的作用 B水受的合力为零 C水受的合力提供向心力，使水做圆周运动 D杯子特殊
25、，杯底对水有吸引力 答案 C 3 (多选)(2019运河中学高三初考)如图 3 所示有关圆周运动的基本模型， 下列说法正确的 是( ) 图 3 A如图(a)，汽车通过拱形桥的最高点处于超重状态 B如图(b)所示是一圆锥摆，增大，若保持圆锥摆的高不变，则圆锥摆的角速度不变 C 如图(c)， 同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动， 则在A、B 两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等 D火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对火车轮缘会有挤压作用 答案 BD 解析 汽车在最高点由牛顿第二定律得mgFN，知FNmg，处于失重状态，故 A 错误； mv2 r 如题图(b)所示
26、是一圆锥摆， 重力和拉力的合力提供向心力，Fnmgtanm2r， 运动半径r Lsin，知，故增大，若保持圆锥摆的高h不变，圆锥摆的角速度不变， g Lcos g h 故 B 正确 ； 题图(c)中， 根据受力分析知小球在两位置的受力情况相同， 即向心力相同， 由Fn m2r知r不同，角速度不同，故 C 错误；火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的 合力不足以提供向心力，则外轨对火车轮缘会有挤压作用，故 D 正确 4 (多选)(2018淮安中学期中)某同学为体会与向心力相关的因素， 做了如图 4 所示的小实 验：手通过细绳使小球在水平面内做匀速圆周运动下列说法正确的是( ) 图 4 A若保
27、持周期不变，减小绳长，则细绳的拉力将增大 B若保持周期不变，增大绳长，则细绳的拉力将增大 C若保持绳长不变，增大小球的角速度，则细绳的拉力将增大 D若保持绳长不变，增大小球的周期，则细绳的拉力将增大 答案 BC 5.(多选)(2018程桥高中月考)公园里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊 在半空秋千匀速转动时，钢丝绳与竖直方向成某一角度，其简化模型如图 5 所示若要 使夹角变大，可( ) 图 5 A增大钢丝绳长度B减小秋千半径 C减小座椅质量D增大角速度 答案 AD 解析 对座椅受力分析如图所示， 设座椅质量为m，根据座椅所受重力和拉力的合力提供向心力，有： mgtan m(lsi
28、n r)m2(lsin r)，解得：l 42 T2 gT2 42cos r sin 则要使夹角变大，可减小周期T，即增大角速度，或增大钢丝绳的长度，或增大秋千半径， 与座椅的质量无关，故 A、D 正确，B、C 错误 6(多选)(2018徐州三中月考)如图 6 所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端 用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，然后释放，摆球运动过程中，支架始 终不动以下说法正确的应是(不计空气阻力)( ) 图 6 A在摆球释放瞬间，支架对地面压力为(mM)g B在摆球释放瞬间，支架对地面压力为Mg C摆球到达最低点时，支架对地面压力为(mM)g D摆球到达最低点时，
29、支架对地面压力为(3mM)g 答案 BD 解析 在摆球释放的瞬间， 支架竖直方向受到重力Mg和地面的支持力FN1， 由平衡条件知，FN1 Mg，根据牛顿第三定律得知，支架对地面的压力FN1FN1Mg，故 A 错误，B 正确；设摆 球到达最低点时速度大小为v，摆长为L，由机械能守恒定律得：mgLmv2， 1 2 摆球到达最低点时，由牛顿第二定律得：FTmgm， v2 L 联立解得细线的拉力：FT3mg 结合牛顿第三定律， 得支架对地面的压力大小为 ：FN2MgFT(3mM)g， 故 C 错误， D 正确 7 (2018徐州市考前模拟)如图 7， C919 大型客机是我国具有自主知识产权的大型喷气
30、式民 用飞机如果客机绕地球做匀速圆周运动，空气阻力大小不变，不考虑油料消耗导致客机质 量变化关于客机，下列说法正确的是( ) 图 7 A处于平衡状态 B速度变化率为零 C发动机的功率不变 D向心力完全由地球引力提供 答案 C 8.(多选)(2017南京外国语学校等四模)如图 8 所示， 光滑的轻杆OA可绕竖直轴OO旋转， 且OA与OO轴间夹角始终保持不变，质量为m的小球套在OA杆上，可在杆适当位置处 随杆做水平面内的匀速圆周运动，下列说法正确的有( ) 图 8 A小球在任何两位置随杆在水平面内做匀速圆周运动的加速度大小都相等 B杆的转速越大，小球随杆做水平面内的匀速圆周运动的位置越高 C小球在
31、某一位置随杆在水平面内匀速转动，只要受到微小的扰动，就会远离该位置 D 小球在某一位置随杆在水平面内匀速转动， 若杆转速突然增大， 由于杆对球弹力垂直于杆， 杆不会对小球做功 答案 AC 9 (2018泰州中学期中)如图 9 甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落， 好像轨道对 它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺” ，该玩具深受孩子们的喜爱其物理原理可等效为如 图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球(视为质点)在轨道外 侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高点、最低点小铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心 且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(
32、) 图 9 A小铁球可能做匀速圆周运动 B小铁球绕轨道转动时机械能不守恒 C小铁球在A点的速度的最小值为gR D要使小铁球不脱轨，轨道对小铁球的磁性引力至少为 5mg 答案 D 10 (2018沛县中学调研)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点， 当轻杆绕轴AB以角速度匀速转动时， 小球在水平面内做匀速圆周运动， 其状态如图 10 所 示，轻绳a与水平方向成角，轻绳b在水平方向且长为l，则下列说法正确的是( ) 图 10 Aa绳张力不可能为零 Ba绳的张力随角速度的增大而增大 C当角速度，b绳将出现弹力 gcos l D若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 答案 A
33、解析 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所 以a绳的张力在竖直方向上的分力与重力相等， 可知a绳的张力不可能为零， 故 A 正确 ； 设a 绳的拉力为Fa，根据竖直方向上受力平衡得：Fasin mg，解得Fa，可知从此状 mg sin 态开始增大角速度时，a绳的拉力不变，故 B 错误 ； 当b绳拉力为零时，根据牛顿第二定律得 ： ml2，解得，可知当角速度时，b绳出现弹力，故 C mg tan g ltan g ltan 错误；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故 D 错误 11(2018南京市期中)如图 11 所示，质量为m0.
34、2kg 的小球(可视为质点)从水平桌面右 端点A以初速度v0水平抛出， 桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP， 其形状为半径R0.8m 的圆环剪去了左上角 135的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离为R.小球飞离 桌面后恰由P点无碰撞地落入圆轨道，取g10m/s2，不计空气阻力 图 11 (1)求小球在A点的初速度大小v0及A、P两点间的水平距离x； (2)求小球到达圆轨道最低点N时对轨道的压力； (3)判断小球能否到达圆轨道最高点M. 答案 (1)4m/s 1.6m (2)(142) N，方向竖直向下 (3)见解析2 解析 (1)小球由A点做平抛运动， 在P点恰好沿圆轨道的切线进入
35、轨道， 则小球在P点的竖 直分速度为vyv0tan 45v0，由平抛运动规律得，Rt，xv0t，vygt vy 2 解得v04 m/s, x1.6 m. (2)小球在P点的速度为v4 m/sv02vy22 设小球在N点速度为vN，从P点到N点，由动能定理得mgR(1cos 45)mvN2mv2 1 2 1 2 设小球在N点所受支持力为FN，由牛顿第二定律得 FNmgmv N2 R 解得FN(142) N2 由牛顿第三定律得，小球在N点对轨道的压力为FNFN(142) N，方向竖直向下2 (3) 假设小球能够到达M点且在M点速度为v，从P点到M点由动能定理得mgR(1cos 45)mv2mv2
36、1 2 1 2 解得v m/s168 2 若小球能够到达圆轨道最高点，在M点应有mgm，即vM m/s，由vvM知， vM2 R gR8 小球不能到达圆轨道最高点M. 12(2018徐州三中月考)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，轻绳的另一端 系有质量为m的小球(可视为质点)，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运 动到最低点时，轻绳突然断掉，球飞出水平距离d后落地，如图 12 所示已知握轻绳的手离 地面高度为d，手与球之间的轻绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力 3 4 图 12 (1)求轻绳断开时球的速度大小v1； (2)求轻绳能承受的最大拉力的大小； (
37、3)改变绳长，使球重复上述运动，若轻绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距 离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 答案 (1) (2)mg (3) d2gd 11 3 d 2 2 3 3 解析 (1)设轻绳断开后球做平抛运动的时间为t1， 竖直方向上：dgt12，水平方向上：dv1t1 1 4 1 2 解得：v1. d t1 d d 2g 2gd (2)设轻绳能承受的最大拉力为Fm，球做圆周运动的半径为：Rd，小球运动到最低点时由 3 4 牛顿第二定律有Fmmgmv 12 R 解得：Fmmgmmgmmg. v12 R 2gd 3 4d 11 3 (3)设轻绳长为l，轻绳断开时球的速度为v2.由牛顿第二定律有：Fmmgm， v22 l 解得：v2 8gl 3 轻绳断开后球做平抛运动，竖直位移为dl，水平位移为x，时间为t2. 竖直方向有：dlgt22 1 2 水平方向有：xv2t2. 得xv2t24 8gl 3 2 dl g ldl 3 根据数学关系知当l 时，x有最大值：xmaxd. d 2 2 3 3