《2019秋 金版学案 数学·选修4-4（人教A版）练习：第二讲四渐开线与摆线 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019秋 金版学案 数学·选修4-4（人教A版）练习：第二讲四渐开线与摆线 Word版含解析.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 四、渐开线与摆线四、渐开线与摆线 A 级 基础巩固级 基础巩固 一、选择题一、选择题 1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A只有圆才有渐开线只有圆才有渐开线 B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以 才能得到不同的图形 渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以 才能得到不同的图形 C正方形也可以有渐开线正方形也可以有渐开线 D对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出 的渐开线形状就不同 对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出 的渐开线形状就不同 解析 ：解析 ： 本
2、题容易错选本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的， 其他图形， 例如椭圆、 正方形也有渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它 们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同对于同一个圆， 不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一 样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同 渐开线不是圆独有的， 其他图形， 例如椭圆、 正方形也有渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它 们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同对于同一个圆， 不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一 样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同 答案：答
3、案：C 2直径为直径为 12 的圆的摆线的参数方程是的圆的摆线的参数方程是( ) A.( 为参数为参数) x66sin ， y66cos ) B.( 为参数为参数) x6sin ， y6cos ) C.( 为参数为参数) x66cos ， y66sin ) D.( 为参数为参数) x6cos ， y6sin ) 解析：解析：因为因为 2r12.所以所以 r6.所以该圆的摆线的参数方程为所以该圆的摆线的参数方程为 ( 为参数为参数)故选故选 A. x66sin ， y66cos ) 答案：答案：A 3已知一个圆的摆线过点已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为，则摆线的参数方程为( )
4、 A.B. x 1 2k（ （sin ）， y 1 2k（ （1cos ）) x 1 k（ （sin ）， y 1 k（ （1cos ）) C.D. x 1 2k（ （sin ）， y 1 2k（ （1cos ）) x 1 k（ （sin ）， y 1 k（ （1cos ）) 解析：解析：圆的摆线的参数方程为圆的摆线的参数方程为x r（sin ）， yr（1cos ），) 令令 r(1cos )0，得，得 2k，代入，代入 xr(sin )， 得得 xr(2ksin 2k)，又过，又过(1，0)， 所以所以 r(2ksin 2k)1，所以，所以 r， 1 2k 又又 r0，所以，所以 kN*.
5、 答案：答案：A 4圆圆( 为参数为参数)的平摆线上一点的纵坐标为的平摆线上一点的纵坐标为 0，那，那 x x3c co os s ， y y3sin ) 么其横坐标可能是么其横坐标可能是( ) A B3 C6 D10 解析：解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为根据条件可知圆的平摆线的参数方程为 ( 为参数为参数)， 把， 把 y0 代入， 得代入， 得 cos 1， 所以， 所以 x x33s si in n ， y y33c co os s ) 2k(kZ)，故，故 x33sin 6k(kZ) 答案：答案：C 5已知一个圆的参数方程为已知一个圆的参数方程为( 为参数为参数)，那么圆的，
6、那么圆的 x x3c co os s ， y y3s si in n ) 摆线方程中与参数摆线方程中与参数 对应的点 对应的点A与点与点B之间的距离为之间的距离为( ) 2 2( 3 3 2 2 ，2 2) A. 1 B. C. D. 2 2 2 21 10 0 3 3 2 2 1 解析 ：解析 ： 根据圆的参数方程可知，圆的半径为根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参 数方程为 ，那么它的摆线的参 数方程为( 为参数为参数)， 把， 把 代入参数方程中可得 代入参数方程中可得 x x3（ （s si in n ） ）， y y3（ （1c co os s ） ）) 2 2 x
7、 x3( 2 2 1)， y y3， ) 即即 A， (3 3( 2 2 1)，3 3) 所以所以|AB| . 3 3( 2 2 1)3 2 2 2 2 （ （32） ）2 210 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 6我们知道关于直线我们知道关于直线 yx 对称的两个函数互为反函数，则圆的 摆线 对称的两个函数互为反函数，则圆的 摆线( 为参数为参数)关于直线关于直线 yx 对称的曲线的参数对称的曲线的参数 xr（sin ）， yr（1cos ）) 方程为方程为_ 解析：解析：关于直线关于直线 yx 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程 主要体现了 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程
8、 主要体现了 x 与与 y 的互换，所以要写出摆线方程关于的互换，所以要写出摆线方程关于 yx 对称的曲线 方程，只需把其中的 对称的曲线 方程，只需把其中的 x，y 互换互换 答案：答案：( 为参数为参数) xr（1cos ）， yr（sin ）) 7已知圆的渐开线的参数方程是已知圆的渐开线的参数方程是( 为参为参 xcos sin ， ysin cos ) 数数)，则此渐开线对应的基圆的直径是，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时对应，当参数时对应 4 的曲线上的点的坐标为的曲线上的点的坐标为_ 解析：解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难 看出基圆的半径为 圆的渐开
9、线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难 看出基圆的半径为 1， 故直径为， 故直径为 2.把把 代入曲线的参数方程， 得代入曲线的参数方程， 得 x 4 ， y， 由 此 可 得 对 应 的 坐 标 为， 由 此 可 得 对 应 的 坐 标 为 2 2 2 8 2 2 2 8 . ( 2 2 2 8 ， 2 2 2 8 ) 答案：答案：2 ( 2 2 2 8 ， 2 2 2 8 ) 8已知圆的方程为已知圆的方程为 x2y24，点，点 P 为其渐开线上的一点，对应 的参数 为其渐开线上的一点，对应 的参数 ，则点，则点 P 的坐标为的坐标为_ 2 2 解析：解析：由题意，圆的半径由题意，圆的
10、半径 r2，其渐开线的参数方程为，其渐开线的参数方程为 ( 为参数为参数) x x2（ （c co os s s si in n ） ）， y y2（ （s si in n c co os s ） ）) 当当 时，时，x，y2，故点，故点 P 的坐标为的坐标为 P(，2) 2 2 答案：答案：(，2) 三、解答题三、解答题 9已知渐开线的参数方程是已知渐开线的参数方程是( 为参为参 x2（cos sin ）， y2（sin cos ）) 数数)， 求当参数， 求当参数 为和时对应的渐开线上的两点为和时对应的渐开线上的两点 A、 B 之间的距离之间的距离 2 解：解：当当 时，当时，当 时，时，
11、 2 x， y2，) x2， y2，) 所以所以 A(，2)，B(2，2)， 所以所以|AB|.（2）2（22）25248 10渐开线方程为渐开线方程为( 为参数为参数)的基圆的的基圆的 x6（cos sin ）， y6（sin cos ）) 圆心在原点， 把基圆的横坐标伸长为原来的圆心在原点， 把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍得到曲线倍得到曲线 C， 求曲线， 求曲线 C 的方程，及焦点坐标的方程，及焦点坐标 解 ：解 ： 由渐开线方程可知， 基圆的半径为由渐开线方程可知， 基圆的半径为 6， 则圆的方程为， 则圆的方程为 x2y236. 把横坐标伸长到原来的把横坐标伸长到原来的 2 倍，
12、 得到椭圆方程倍， 得到椭圆方程y236， 即， 即 x2 4 x2 144 y2 36 1， 对应的焦点坐标为对应的焦点坐标为(6，0)和和(6，0)33 B 级 能力提升级 能力提升 1.如图，如图，ABCD 是边长为是边长为 1 的正方形，曲线的正方形，曲线 AEFGH叫作“正方 形的渐开线” ，其中 叫作“正方 形的渐开线” ，其中 AE、EF、FG、GH的圆心依次按的圆心依次按 B、C、D、A 循环，它们依次相连接，则曲线循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 长是长是( ) A3 B4 C5 D6 解析：解析：根据渐开线的定义可知，是半径为根据渐开线的定义可知，是半径为 1 的
13、圆周长，长度为的 圆周长，长度为 A AE E 1 1 4 4 ，继续旋转可得是半径为，继续旋转可得是半径为 2 的 圆周长，长度为的 圆周长，长度为 ；是半径为；是半径为 3 2 2 E EF F 1 1 4 4 F FG G 的 圆周长，长度为；是半径为的 圆周长，长度为；是半径为 4 的 圆周长，长度为的 圆周长，长度为 2.所以曲线所以曲线 1 1 4 4 3 3 2 2 G GH H 1 1 4 4 AEFGH 的长是的长是 5. 答案：答案：C 2摆线摆线(t 为参数，为参数，0t2)与直线与直线 y4 的交的交 x x4（ （ts si in n t t） ）， y y4（ （1
14、c co os s t t） ）) 点的直角坐标为点的直角坐标为_ 解析：解析：由题设得由题设得 44(1cos t)得得 cos t0. 因为因为 t0，2)，所以，所以 t1 ， ，t2，代入参数方程得到对应的，代入参数方程得到对应的 2 2 3 3 2 2 交点的坐标为交点的坐标为(24，4)，(64，4) 答案：答案：(24，4)，(64，4) 3 已知圆 已知圆 C 的参数方程的参数方程( 为参数为参数)和直线和直线 l 的普的普 x x16c co os s ， y y26s si in n ) 通方程通方程 xy60.2 2 (1)如果把圆心平移到原点如果把圆心平移到原点 O，那么平移后圆和直线满足什么关 系？ ，那么平移后圆和直线满足什么关 系？ (2)根据根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程中的条件，写出平移后的圆的摆线方程 解：解：(1)圆圆 C 平移后圆心为平移后圆心为 O(0，0)，它到直线，它到直线 xy60 的距的距2 2 离离 d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的 6 6 2 2 2 2 (2)由于圆的半径是由于圆的半径是 6，所以可得摆线的方程是，所以可得摆线的方程是 ( 为参数为参数) x x6（ （s si in n ） ）， y y6（ （1c co os s ） ）)