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1、复 习 课复 习 课 整合整合网络构建网络构建 警示警示易错提醒易错提醒 1不等式性质的两个易错点不等式性质的两个易错点 (1)忽略不等式乘法中“大于忽略不等式乘法中“大于 0”这一条件”这一条件 (2)求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误 2应用基本不等式求最值的三个注意点应用基本不等式求最值的三个注意点 (1)“一正”：各项或各因数都是正数“一正”：各项或各因数都是正数 (2)“二定”：积“二定”：积(或和或和)为定值为定值 (3)“三等”：等号成立的条件“三等”：等号成立的条件 3绝对值不等式的两个注意点绝对值不等式的两个注意点
2、 (1)解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉 绝对值符号 解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉 绝对值符号 (2)在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分 类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形 在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分 类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形 专题一 基本不等式的应用专题一 基本不等式的应用 在用基本不等式求最值时， “正数”“相等”等条件往往容易从题 设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法常用的方法 有“加项、减项” “配系数” “拆项法” “ 在用基本
3、不等式求最值时， “正数”“相等”等条件往往容易从题 设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法常用的方法 有“加项、减项” “配系数” “拆项法” “1 的代换”等的代换”等 例例 1 已知 已知 x1，求函数，求函数 y的最小值的最小值 x x2 22x2 2x 2 解：解：y1， x x2 22x2 2x 2 （ （x1） ）2 21 2（ （x1） ） 1 1 2 2（ （x 1） ） 1 x 1 当且仅当当且仅当 x1，即，即 x2 时，等号成立，时，等号成立， 1 1 x x1 所以当所以当 x2 时，时，y 有最小值，最小值为有最小值，最小值为 1. 归纳升华归纳升华 1利
4、用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等” ， “一 正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若 和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件， 若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值 利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等” ， “一 正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若 和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件， 若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值 2基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本 不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需 基本不
5、等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本 不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需 要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不 等式的形式再进行求解 要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不 等式的形式再进行求解 变式训练变式训练 已知 已知 abcd，求证：，求证：. 1 ab 1 bc 1 ca 9 ad 证明：证明：因为因为 abcd， 所以所以 ab0，bc0，cd0，ad0， 所以所以(ad) ( 1 ab 1 bc 1 ca)( 1 ab 1 bc 1 ca) (ab)(bc)(cd)33 3 1 ab 1 bc
6、 1 ca 9. 3 （ab）（bc）（cd） 所以所以. 1 ab 1 bc 1 ca 9 ad 专题二 绝对值三角不等式的应用专题二 绝对值三角不等式的应用 绝对值三角不等式指的是绝对值三角不等式指的是|a|b|ab|a|b|.这是一类特殊 的不等式，它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关 系，常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明 这是一类特殊 的不等式，它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关 系，常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明 例例 2 求函数 求函数 y|x2|x5|的最小值的最小值 解：解：y|x2|x5|(x2)(x5)|7
7、. 当且仅当当且仅当(x2)(x5)0，即，即5x2 时等号成立，时等号成立， 故函数的最小值为故函数的最小值为 7. 归纳升华归纳升华 绝对值三角不等式体现了 “放缩法” 的一种形式， 但放缩的 “尺度” 还要仔细把握，如下面的式子： 绝对值三角不等式体现了 “放缩法” 的一种形式， 但放缩的 “尺度” 还要仔细把握，如下面的式子： |a|b|a|b|ab|ab|. 我们较为常用的形式是我们较为常用的形式是|a|b|ab|a|b|，但不要认为只能 如此，事实上， ，但不要认为只能 如此，事实上，|ab|是不小于是不小于|a|b|的的 变式训练变式训练 设函数 设函数 f(x)|x1|x4|a
8、. (1)当当 a1 时，求函数时，求函数 f(x)的最小值；的最小值； (2)若若 f(x) 1 对任意的实数对任意的实数 x 恒成立，求实数恒成立，求实数 a 的取值范围的取值范围 4 a 解：解：(1)当当 a1 时，时， f(x)|x1|x4|1|x14x|14， 所以所以 f(x)min4. (2)f(x) 1 对任意的实数对任意的实数 x 恒成立，恒成立， 4 a 等价于等价于|x1|x4|1a 对任意的实数 对任意的实数 x 恒成立， 所以恒成立， 所以 a 4 a 4 a 4. 当当 a0 时，时，a 2 4， 4 a a4 a 当且仅当当且仅当 a ，即 ，即 a2 时上式取
9、等号，此时时上式取等号，此时 a 4 成立成立 4 a 4 a 综上，实数综上，实数 a 的取值范围为的取值范围为(，0)2 专题三 绝对值不等式的解法专题三 绝对值不等式的解法 解不等式的基本思想是转化、化归，不等式的性质是实现“转化” 的基本依据，高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、含有字母系 数的不等式等， 一般都转化为最简单的一元一次不等式 解不等式的基本思想是转化、化归，不等式的性质是实现“转化” 的基本依据，高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、含有字母系 数的不等式等， 一般都转化为最简单的一元一次不等式(组组)或一元二次 不等式 或一元二次 不等式(组组)来求解来求解.而解绝
10、对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的 常用方法有： 而解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的 常用方法有：(1)几何意义，几何意义，(2)两端平方，两端平方，(3)零点分段法，零点分段法，(4)绝对值定 义 绝对值定 义. 例例 (2017全国卷全国卷)已知函数已知函数 f(x)|x1|x2|. (1)求不等式求不等式 f(x)1 的解集；的解集； (2)若不等式若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求的解集非空，求 m 的取值范围的取值范围. 解：解：(1)f(x) 3，x1， 2x1，1 x 2， 3，x2.) 当当 x1 时，时，f(x)1 无解；无解； 当当1x2 时，由时，由
11、 f(x)1，得，得 2x11， 解得解得 1x2； 当当 x2 时，由时，由 f(x)1，解得，解得 x2. 所以所以 f(x)1 的解集为的解集为x|x1. (2)由由 f(x)x2xm，得，得 m|x1|x2|x2x. 而而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x| (|x| 3 2) 2 5 4 ， ， 5 4 且当且当 x 时， 时，|x1|x2|x2x ， ， 3 2 5 4 故故 m 的取值范围为的取值范围为. ( ，5 4 归纳升华归纳升华 对于形如对于形如|xa|xb|c，|xa|xb|c 的不等式，可用零 点分段法求解，其操作方法是，可先求出使每个含绝对值符号的代数 式
12、值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把 数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区 间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解 的不等式，可用零 点分段法求解，其操作方法是，可先求出使每个含绝对值符号的代数 式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把 数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区 间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解. 变式训练变式训练 解下列关于 解下列关于 x 的不等式：的不等式： (1)|x2|2x5|2x； (2)|2x1|2x， 5 2 解得解得 x2x，解得，解得 x2 时，原不等式变形为时，
13、原不等式变形为 x22x52x， 解得解得 x0， 又因为又因为 x0， 1 2 又因为又因为 0x ，所以，所以 0x ； 1 2 1 2 当当 x 时，原不等式可化为 时，原不等式可化为 2x1x1，即，即 x2， 1 2 所以 所以 x2. 1 2 综上，原不等式的解集为综上，原不等式的解集为x|0x2 专题四 数形结合思想专题四 数形结合思想 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分 为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分 为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作 为手段
14、，数为目的；或者是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些 属性，即以数作为手段，形作为目的 为手段，数为目的；或者是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些 属性，即以数作为手段，形作为目的 例例 4 解不等式 解不等式|x1|x|2. 解：解：法一：由绝对值的几何意义知，法一：由绝对值的几何意义知， |x1|表示数轴上点表示数轴上点 P(x)到点到点 A(1)的距离，的距离， |x|表示数轴上点表示数轴上点 P(x) 到点到点 O(0)的距离的距离 由条件知这两个距离之和小于由条件知这两个距离之和小于 2. 由数轴由数轴(如图所示如图所示)可知原不等式的解集为可知原不等式的解集为 . x x| 3
15、 2 x1 2)| 图 图图 图 法二：令法二：令 f(x)|x1|x|2， 则则 f(x) 2 2x x1（ （x 0） ）， 1（ （1x0） ）， 2x3（ （x 1） ）.) 作函数作函数 f(x)的图象的图象(如图所示如图所示)， 由图象可知，当由图象可知，当 f(x)0 时， 时， x . 3 3 2 2 1 1 2 2 故原不等式的解集为故原不等式的解集为. x x| 3 2 x1 2) 归纳升华归纳升华 1利用函数图象解题，可化抽象为直观利用函数图象解题，可化抽象为直观.但应注意作图的准确性但应注意作图的准确性. 2 在解决数学问题时， 将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，
16、使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和 在解决数学问题时， 将抽象的数学语言与直观的图象结合起来， 使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和 转化，即把数量关系转化为图象的性质来确定或者把图象的性质转化 为数量关系的问题来研究 转化，即把数量关系转化为图象的性质来确定或者把图象的性质转化 为数量关系的问题来研究 变式训练变式训练 已知关于 已知关于 x 的不等式的不等式|x|ax1 的解集为的解集为x|x0的 子集，求 的 子集，求 a 的取值范围的取值范围 解：解：设设 y1|x|，y2ax1， 则则 y1x x， ，x x 0 0， x，x x0.) 在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示 |x|ax1，只需考虑函数，只需考虑函数 y1|x|的图象位于的图象位于 y2ax1 的图象上 方的部分，可知 的图象上 方的部分，可知 a1，即，即 a 的取值范围是的取值范围是1，)