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1、复 习 课复 习 课 整合整合网络构建网络构建 警示警示易错提醒易错提醒 1柯西不等式的易错点柯西不等式的易错点 在应用柯西不等式求最值时，易忽视等号成立的条件在应用柯西不等式求最值时，易忽视等号成立的条件 2排序不等式的易错点排序不等式的易错点 不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用 传递性来解决的，由 不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用 传递性来解决的，由 am，bm，推出，推出 ab 是错误的是错误的 专题一 柯西不等式的应用专题一 柯西不等式的应用 柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形 式
2、 包括向量形式、三角形 式)和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来求最值，还可以用来证明 不等式 和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来求最值，还可以用来证明 不等式 例例 已知实数 已知实数 x， y， z 满足满足 x22y23z23， 求， 求 ux2y3z 的最小值和最大值的最小值和最大值 解：解：因为因为(x2y3z)2(x1yz)2x2(y)2(22332 z)212()2()2(x22y23z2)(123)18.323 当且仅当 ，即当且仅当 ，即 xyz 时，等号成立时，等号成立 x 1 2y 2 3z 3 所以所以3x2y3z3，22 即即 u 的最小值为的最小值为3，最大值为，
3、最大值为 3.22 归纳升华归纳升华 柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关 键在于构造两个适当的数组，并且要注意等号成立的条件 柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关 键在于构造两个适当的数组，并且要注意等号成立的条件 变式训练变式训练 设 设 a，b，c，d 为不全相等的正数为不全相等的正数 求证：求证： 1 abc 1 bcd 1 cda 1 dab . 16 3（abcd） 解：解：记记 sabcd， 则原不等式等价于则原不等式等价于. s sd s sa s sb s sc 16 3 构 造 两 组 数，；，构 造 两 组 数，；，sdsasbsc
4、 1 sd 1 sa 1 sb ，由柯西不等式得，由柯西不等式得 1 sc ()2()2()2()2sdsasbsc (1111)2. 1 （ sd）2 1 （ sa）2 1 （ sb）2 1 （ sc）2 即即4s(abcd)16， ( 1 sd 1 sa 1 sb 1 sc) 于是，于是， s sd s sa s sb s sc 16 3 等号成立等号成立sdsasbscabcd. 因题设因题设 a，b，c，d 不全相等，故取不到等号，不全相等，故取不到等号， 即即. 1 abc 1 bcd 1 cda 1 dab 16 3（abcd） 专题二 排序不等式的应用专题二 排序不等式的应用 1
5、 用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造 恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在 用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造 恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在 2注意等号成立的条件注意等号成立的条件 例例 在 在ABC 中，试证：中，试证：. 3 aAbBcC abc 2 证明：证明：不妨设不妨设 abc，于是，于是 ABC. 由排序不等式，得由排序不等式，得 aAbBcCaAbBcC， aAbBcCbAcBaC， aAbBcCcAaBbC. 相加， 得相加， 得 3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)， 得 ， ， 得 ， aAbBcC abc 3
6、 又由又由 0bca，0abc，0acb， 有有 0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(A CB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(ab c)2(aAbBcC) 得得. aAbBcC abc 2 由得原不等式成立由得原不等式成立 归纳升华归纳升华 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明 的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的 两个数组 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明 的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的 两个数组 变式训练变式训练 已知正实数 已知正实数 x1， x2， xn满足
7、满足 x1x2xnP， P 为定值，求为定值，求 F的最小值的最小值 x x2 x x3 x xn x x1 解：解：不妨设不妨设 00， 1 x1 1 x2 1 xn 且且 0x x x . 2 12 22 n 因为， ， ，为序列因为， ， ，为序列(i1，2，3，n)的一个排列，的一个排列， 1 x2 1 x3 1 xn 1 x1 1 xi 根据排序不等式，得根据排序不等式，得 Fx x x x x2 x x3 x xn x x1 2 1 1 x1 2 2 1 x2 2 n 1 xn x1x2xnP(定值定值)， 当且仅当当且仅当 x1x2xn时等号成立，时等号成立， 所以所以 F的最小
8、值为的最小值为 P. x x2 x x3 x xn x x1 专题三 转化与化归思想专题三 转化与化归思想 转化与化归思想是指在解决问题时，将问题通过变换使之化繁为 简，化难为易的一种解决问题的思想 转化与化归思想是指在解决问题时，将问题通过变换使之化繁为 简，化难为易的一种解决问题的思想 例例3 求使 求使lg(xy)lg a对大于对大于1的任意的任意x与与y恒成恒成l lg g2 2x xl lg g2 2y y 立的立的 a 的取值范围的取值范围 解：解：因为因为0，且，且 x1，y1，l lg g2 2x xl lg g2 2y y 所以原不等式等价于所以原不等式等价于 lg a. (
9、 l lg g x xlg y y l lg g2 2x xl lg g2 2y y) m ma ax x 令令 f(x，y) l lg g x xl lg g y y l lg g2 2x xl lg g2 2y y （ （l lg g x xl lg g y y） ）2 2 l lg g2 2x xl lg g2 2y y (lg x0，lg y0) 1 1 2l lg g x xl lg g y y l lg g2 2x xl lg g2 2y y 因为因为 lg2xlg2y2lg xlg y0， 所以所以 01， 2 2l lg g x xl lg g y y l lg g2 2x x
10、l lg g2 2y y 所以所以 1f(x，y)，即，即 lg a，2 22 2 所以所以 a10. 2 2 归纳升华归纳升华 解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观 察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原 问题转化为一个新问题(相对来说自己较熟悉的问题)，通过求解新问 题，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“化归与转化的 思想” 本讲常见的化归与转化的问题是通过换元或恒等变形把命题的 表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式 解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观 察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原 问题转化为一个新问题(相对来说自己较熟悉的问题)，通过求解新问 题，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“化归与转化的 思想” 本讲常见的化归与转化的问题是通过换元或恒等变形把命题的 表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式 变式训练变式训练 已知 已知|x|1， |y|1， 试求， 试求 xy的最大值的最大值1y21x2 解：解：由柯西不等式，得由柯西不等式，得 x y 1y21x2 1， x2（ 1x2）2y2（ 1y2）2 当且仅当当且仅当 xy，即，即 x2y21 时，等号成立，时，等号成立，1x21y2 所以所以 x y 的最大值为的最大值为 1.1y21x2