《2019秋 金版学案 数学·选修4-5（人教A版）练习：第四讲4.2用数学归纳法证明不等式 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019秋 金版学案 数学·选修4-5（人教A版）练习：第四讲4.2用数学归纳法证明不等式 Word版含解析.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四讲第四讲 数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 A 级 基础巩固级 基础巩固 一、选择题一、选择题 1用数学归纳法证明用数学归纳法证明 3nn3(n3，nN)，第一步应验证，第一步应验证( ) An1 Bn2 Cn3 Dn4 解析：解析：由题意由题意 n3 知应验证知应验证 n3. 答案：答案：C 2用数学归纳法证明“用数学归纳法证明“1 n，(nN ， ，n1)” 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2n n1 时，由时，由 nk(k1)不等式成立，推证不等式成立，推证 nk1 时，左边应增加的项数 是 时，左边应增加的项
2、数 是( ) A2k 1 B2k1 C2k D2k1 解析：解析：增加的项数为增加的项数为(2k 1 1)(2k1)2k 1 2k2k.故选故选 C. 答案：答案：C 3 设 设 n 为正整数，为正整数， f(n)1 ， 计算得 ， 计算得 f(2) ， ， f(4)2， 1 2 1 3 1 n 3 2 f(8) ， ，f(16)3，f(32) ，观察上述结果，可推测出的一般结论为 ，观察上述结果，可推测出的一般结论为 5 2 7 2 ( ) Af(2n)(n1，nN*) 2n1 2 Bf(n2)(n1，nN*) n2 2 Cf(2n)(n1，nN*) n2 2 D以上都不对以上都不对 解析：
3、解析：f(2) ， ，f(4)f(22)， 3 2 22 2 f(8)f(23)，f(16)f(24)， 32 2 42 2 f(32)f(25)， 52 2 依此类推可知依此类推可知 f(2n)(n1，nN*) n2 2 答案：答案：C 4设设 f(x)是定义在正整数集上的函数，有是定义在正整数集上的函数，有 f(k)满足：当“满足：当“f(k)k2 成立时，总可推出成立时，总可推出 f(k1)(k1)2成立” 那么下列命题总成立的是成立” 那么下列命题总成立的是 ( ) A若若 f(3)9 成立，则当成立，则当 k1 时，均有时，均有 f(k)k2成立成立 B若若 f(5)25 成立，则当
4、成立，则当 k5 时，均有时，均有 f(k)k2成立成立 C若若 f(7)49 成立，则当成立，则当 k8 时，均有时，均有 f(k)k2成立成立 D若若 f(4)25 成立，则当成立，则当 k4 时，均有时，均有 f(k)k2成立成立 解析：解析：由“由“f(k)k2成立时，总可推出成立时，总可推出 f(k1)(k1)2成立” ，因 此，对于 成立” ，因 此，对于 A，k1，2 时不一定成立，对于时不一定成立，对于 B，C，显然错误对于，显然错误对于 D， 因为 ， 因为 f(4)2542，因此对于任意的，因此对于任意的 k4，均有，均有 f(k)k2成立成立 答案：答案：D 5 若不等式
5、对大于 若不等式对大于 1 的一切自然数的一切自然数 n 都都 1 1 n n1 1 1 n n2 1 1 2 2n n m m 2 24 4 成立，则自然数成立，则自然数 m 的最大值为的最大值为( ) A12 B13 C14 D不存在不存在 解析：解析：令令 f(n)，取，取 n2，3，4，5 等值发等值发 1 1 n n1 1 1 n n2 1 1 2 2n n 现现 f(n)是单调递减的，所以是单调递减的，所以f(n)max， m m 2 24 4 所以由所以由 f(2)，求得，求得 m 的值故应选的值故应选 B. m m 2 24 4 答案：答案：B 二、填空题二、填空题 6用数学归
6、纳法证明用数学归纳法证明 2n 1 n2n2(nN )时，第一步的验证 为 时，第一步的验证 为_ 解析：解析：当当 n1 时，时，21 1 1212，即，即 44 成立成立 答案：答案：21 1 1212 7在在ABC 中，不等式 成立；在四边形中，不等式 成立；在四边形 ABCD 中，中， 1 1 A A 1 1 B B 1 1 C C 9 9 不等式 成立 ； 在五边形不等式 成立 ； 在五边形 ABCDE 中， 不等式 中， 不等式 1 1 A A 1 1 B B 1 1 C C 1 1 D D 1 16 6 2 2 1 A 1 1 B B 1 1 C C 成立猜想在 成立猜想在 n
7、边形边形 A1A2An中，类似成立的不等式为中，类似成立的不等式为 1 1 D D 1 1 E E 2 25 5 3 3 _ 解析：解析：由题中已知不等式可猜想：由题中已知不等式可猜想： (n3 且且 nN*) 1 1 A A1 1 1 1 A A2 2 1 1 A An n n n2 2 （ （n2） ） 答案：答案：(n3 且且 nN*) 1 1 A A1 1 1 1 A A2 2 1 1 A An n n n2 2 （ （n2） ） 8在应用数学归纳法证明“在应用数学归纳法证明“1 1 1 2 22 2 1 1 3 32 2 1 1 （ （n1） ）2 2 2 2n n1 n 1 (nN
8、*)”时，从”时，从 nk 到到 nk1，不等式左边增加的项是，不等式左边增加的项是_ 解析：解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化， 一看 “头” ， 从 解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化， 一看 “头” ， 从 12开始 ； 二看 “尾” ， 当开始 ； 二看 “尾” ， 当 nk 时， 尾项的分母为时， 尾项的分母为(k1)2， nk 1时尾项的分母为时尾项的分母为(k2)2； 三看中间， 如果忽略平方，； 三看中间， 如果忽略平方， 1， 2， 3， (n 1)这些数都是连续相差这些数都是连续相差 1 时 因此， 从时 因此， 从 nk 到到 nk1
9、 只增加了一项， 即 只增加了一项， 即(kN ) 1 1 （ （k2） ）2 2 答案：答案： 1 1 （ （k2） ）2 2 三、解答题三、解答题 9设设 a 为有理数，为有理数，x1.如果如果 00， （3xk 1） ）（1xk 1） ） 2xk 1 即即 xk 1xk2. 所以所以 2xk 1xk23，即当 ，即当 nk1 时，结论成立时，结论成立 由知对任意的正整数由知对任意的正整数 n，2xnxn 13. (2)解：解：由由(1)及题意得及题意得 xn 1 . 34xn 2xn 设设 bnxn3，则，则1， 1 bn 1 5 bn 5， 1 bn 1 1 4 ( 1 bn 1 4) 数列是首项为 ，公比为数列是首项为 ，公比为 5 的等比数列的等比数列 1 bn 1 4 3 4 因此 因此 5n 1， ， 1 bn 1 4 3 4 即即 bn， 4 35n 1 1 所以数列所以数列xn的通项公式为的通项公式为 xn3. 4 35n 1 1