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1、课时跟踪练(三十二)课时跟踪练(三十二) A 组 基础巩固 1一题多解已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d等 于( ) A1 B2 C3 D4 解析：法一 由题意可得a 1（a16d）8， a1d2，) 解得a15，d3. 法二 a1a72a48，所以a44， 所以a4a2422d，所以d3. 答案：C 2一题多解(2016全国卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则a100 ( ) A100 B99 C98 D97 解析：法一 因为an是等差数列，设其公差为d， 所以S9 (a1a9)9a527，所以a53. 9 2 又因为a108，所以所以 a14
2、d3， a19d8，) a11， d1.) 所以a100a199d199198.故选 C. 法二 因为an是等差数列， 所以S9 (a1a9)9a527，所以a53. 9 2 在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835. 故a100a5(201)598.故选 C. 答案：C 3(2019太原模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2a3a109，则S9 ( ) A3 B9 C18 D27 解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d. 因为a2a3a109， 所以 3a112d9，即a14d3， 所以a53， 所以S927.故选 D. 9 （a1a9
3、） 2 9 2a5 2 答案：D 4(2019汕头模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a19，4，则Sn S9 9 S5 5 取最大值时的n为( ) A4 B5 C6 D4 或 5 解析：由an为等差数列，得a5a32d4，即d2， S9 9 S5 5 由于a19，所以an2n11，令an2n11，又因为nN*， 11 2 所以Sn取最大值时的n为 5，故选 B. 答案：B 5(2019合肥质量检测)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九 十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” 题意是：把 996 斤绵分 给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分
4、绵，年龄小的比年龄大的多 17 斤绵， 那么第 8 个儿子分到的绵是( ) A174 斤 B184 斤 C191 斤 D201 斤 解析：用a1，a2，a8表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a1，a2，a8是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996， 所以 8a117996， 8 7 2 解得a165. 所以a865717184，即第 8 个儿子分到的绵是 184 斤故选 B. 答案：B 6在等差数列an中，公差d ，前 100 项的和S10045，则a1a3a5a99 1 2 _ 解析：因为S100(a1a100)45，所以a1a1000.9.a1a99a
5、1a100d0.4， 100 2 则a1a3a5a99(a1a99)0.410. 50 2 50 2 答案：10 7 (2019莆田质量检测)已知数列an满足a11，anan12anan1， 则a6_ 解析：将anan12anan1两边同时除以anan1可得2. 1 an1 1 an 所以是以1 为首项，2 为公差的等差数列， 1 an 1 a1 所以5211，即a6. 1 a6 1 a1 1 11 答案： 1 11 8设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_ 解析：依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等差数列 的公
6、差为d.又S1016，S100S9024， 因此S100S902416(101)d169d， 解得d ，因此S10010S10d1016 200. 8 9 10 9 2 10 9 2 8 9 答案：200 9在等差数列an中，a11，a33. (1)求数列an的通项公式； (2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值 解：(1)设等差数列an的公差为d， 则ana1(n1)d. 由a11，a33，可得 12d3， 解得d2. 从而an1(n1)(2)32n. (2)由(1)可知an32n， 所以Sn2nn2. n1（32n） 2 由Sk35，可得 2kk235， 即k22k350，解得k7 或
7、k5. 又kN*，故k7. 10已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk110. (1)求a及k的值； (2)设数列bn的通项公式bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn. Sn n (1)解：设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a， 由已知有a3a8，得a1a2，公差d422， 所以Skka1d2k2k2k. k（k1） 2 k（k1） 2 由Sk110，得k2k1100， 解得k10 或k11(舍去)，故a2，k10. (2)证明：由(1)得Snn(n1)， n（22n） 2 则bnn1， Sn n 故bn1bn(n2)(n1)1， 即数列bn是首项
8、为 2，公差为 1 的等差数列， 所以Tn. n（2n1） 2 n（n3） 2 B 组 素养提升 11 (2019河南普通高中毕业班高考适应性考试)已知等差数列an的前n项和为Sn(n N*)， 且an2n， 若数列Sn(n5，nN*)为递增数列， 则实数的取值范围为( ) A(3，) B(10，) C(11，) D(12，) 解析 ： 在等差数列an中， 由an2n， 得a12，d2， 所以Snna1d n（n1） 2 n(2)n2(1)n，其图象的对称轴方程为n，要使数列 2n（n1） 2 1 2 Sn在n|n5，nN*内为递增数列，则12，故选 D. 1 2 11 2 答案：D 12设数
9、列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列” 已知等 Sn S2n 差数列bn的首项为 1，公差不为 0，若数列bn为“吉祥数列” ，则数列bn的通项公式为 ( ) Abnn1 Bbn2n1 Cbnn1 Dbn2n1 解析：设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk Sn S2n 1 2 ， 2n 1 2 2n（2n1）d 即 2(n1)d4k2k(2n1)d， 整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0. 因为对任意的正整数n上式均成立， 所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0， 解得d2，k ， 1 4 所以数列bn的通项公式为bn2n1. 答案：
10、B 13(2019中山一中统测)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1， 则Sn_ 解析：因为an1Sn1Sn，an1SnSn1， 所以Sn1SnSnSn1. 因为Sn0，所以1，即1. 1 Sn 1 Sn1 1 Sn1 1 Sn 又1，所以是首项为1，公差为1 的等差数列 1 S1 1 Sn 所以1(n1)(1)n，所以Sn . 1 Sn 1 n 答案：1 n 14(2019北京海淀区模拟)已知an是各项为正数的等差数列，Sn为其前n项和， 且 4Sn(an1)2. (1)求a1，a2的值及an的通项公式； (2)求数列的最小值 S n7 2a n 解：(1)因为 4Sn(an1)2， 所以当n1 时，4a1(a11)2，解得a11， 所以当n2 时 4(1a2)(a21)2， 解得a21 或a23， 因为an是各项为正数的等差数列，所以a23. 所以an的公差da2a12， 所以an的通项公式为ana1(n1)d2n1. (2)因为 4Sn(an1)2，所以Snn2， （2n11）2 4 所以Snann2 (2n1)n27n ， 7 2 7 2 7 2(n 7 2) 2 35 4 所以当n3 或n4 时，Snan取得最小值. 7 2 17 2