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1、课时跟踪练(二十五)课时跟踪练(二十五) A 组 基础巩固 1在相距 2 km 的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C 两点之间的距离为( ) A. km B. km62 C. km D2 km3 解析：如图，在ABC中，由已知可得ACB45，所以， AC sin 60 2 sin 45 所以AC2 (km)2 3 2 6 答案：A 2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线 的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案： 测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距
2、离的所有方案 的序号为( ) A B C D 解析：对于可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于直接利用余 弦定理即可确定A，B两点间的距离 答案：D 3一艘海轮从A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是( ) A10 海里 B10 海里23 C20 海里 D20 海里32 解析 ： 如图所示，易知，在ABC中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据 正弦定理得， BC sin 30 AB sin 45 解得
3、BC10(海里)2 答案：A 4.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D， 测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为 60，则塔高AB 等于( ) A5 B1563 C5 D1526 解析：在BCD中，CBD1801530135. 由正弦定理得， BC sin 30 30 sin 135 所以BC15.2 在 RtABC中，ABBCtan ACB1515.236 答案：D 5 (2019广州模拟)如图， 从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75， 30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度BC等于( ) A240(1)m
4、 B180(1)m32 C120(1)m D30(1)m33 解析：如图，作ADBC，垂足为D. 由题意， 得DC60tan 6060(m)，DB60tan 1560tan(4530)3 606012060(m) tan 45tan 30 1tan 45tan 30 1 3 3 1 3 3 3 所以BCDCDB60(12060)120120120(1)(m)3333 答案：C 6江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶 部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距 _m. 解析：由题意画示意图，如图， OMAOtan 4
5、530(m)， ONAOtan 303010(m)， 3 3 3 在MON中，由余弦定理得 MN 9003002 30 10 3 3 2 10 (m)3003 答案：10 3 7.(2019哈尔滨模拟)如图， 某工程中要将一长为 100 m， 倾斜角为 75的斜坡改造成 倾斜角为 30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m. 解析：设坡底需加长x m， 由正弦定理得，解得x100. 100 sin 30 x sin 45 2 答案：100 2 8.(2019泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB，C是该 小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人
6、从O沿OD走到D用了 2 分钟，从D沿DC走到C用了 3 分钟若此人进行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为 _米 解析 ： 如图， 连接OC， 在OCD中，OD100，CD150， CDO60.由余弦定理得OC2 100215022100150cos 6017 500，解得OC50.7 答案：50 7 9如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45，则山顶的海拔高度为多少米？(取1.4，1.7)23 解：如图，作CD垂直于直线AB于点D， 因为A
7、15，DBC45，所以ACB30， 在ABC中，由正弦定理得，AB5042021 000. BC sin A AB sin ACB 所以BCsin 1510 500() 21 000 1 2 62 因为CDAD， 所以CDBCsin DBC10 500()10 500(1)7 62 2 2 3 350. 故山顶的海拔高度为h10 0007 3502 650 m. 10.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60方向的B处，且与岛屿A相距 12 海里，渔 船乙以 10 海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行， 若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 (1)求渔船甲的速
8、度； (2)求 sin 的值 解：(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA. 在ABC中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos BAC12220221220cos 120784，解得 BC28. 所以渔船甲的速度为14 海里/时 BC 2 (2)在ABC中， 因为AB12， BAC120，BC28， BCA， 由正弦定理， 得 AB sin ， BC sin 120 所以 sin . ABsin 120 BC 12 3 2 28 3 3 14 B 组 素养提升 11某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度： 在C处(点C在水平地
9、面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水 平地面上两个观察点A，B两地相距 100 m，BAC60，其中A到C的距离比B到C的距 离远 40 mA地测得该仪器在C处的俯角为OAC15，A地测得最高点H的仰角为HAO 30，则该仪器的垂直弹射高度CH为( ) A210() m B140 m626 C210 m D20() m262 解析 ： 由题意，设ACx m，则BC(x40) m，在ABC内，由余弦定理得，BC2BA2CA2 2BACAcos BAC， 即(x40)2x210 000100x，解得x420(m) 在ACH中，AC420 m，CAH301545， CHA
10、903060， 由正弦定理， CH sin CAH AC sin AHC 可得CHAC140(m) sin CAH sin AHC 6 答案：B 12(2019泉州质检)ABC中，D是BC上的点，DADB2，DC1，则ABAC的最 大值是_ 解析：因为 cos ADBcos ADC0， 所以0AB22AC218， 44AB2 2 2 2 41AC2 2 2 1 AB22AC21822ABAC，AB22AC22 即ABAC，当且仅当ABAC时取等号， 9 2 2 2 所以ABAC的最大值是. 9 2 2 答案： 9 2 2 13.校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一
11、列的正前 方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后 一排的距离为 10 m(如图所示)， 旗杆底部与第一排在一个水平面上 若国歌时长为 50 s，6 升旗手应以_m/s 的速度匀升旗 解析 ： 依题意可知AEC45， ACE1806015105， 所以EAC180 4510530. 由正弦定理可知， CE sin EAC AC sin AEC 所以ACsin AEC20 m. CE sin EAC 3 所以在 Rt ABC中，ABACsin ACB2030 m.3 3 2 因为国歌时长为 50 s，所以升旗速度为0.6 m/s. 30 50 答案：0.
12、6 14.(2019成都诊断)如图，在平面四边形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB 2 2 3 边上取点E，使得BE1，连接EC，ED.若CED，EC. 2 3 7 (1)求 sin BCE的值； (2)求CD的长 解：(1)在BEC中，由正弦定理，知因为B，BE1，CE， BE sin BCE CE sin B 2 3 7 所以 sin BCE. BEsin B CE 3 2 7 21 14 (2)因为CEDB，所以DEABCE， 2 3 所以 cos DEA.1sin2 DEA1sin2 BCE1 3 28 5 7 14 因为A，所以AED为直角三角形，又AE5，所以ED2. 2 AE cos DEA 5 5 7 14 7 在CED中，CD2CE2DE22CEDEcos CED7282249.77 ( 1 2) 所以CD7.