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1、课时跟踪练(五十三)课时跟踪练(五十三) A 组 基础巩固 1(2019石家庄一模)已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲 线的方程为( ) A.1 B.1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C.1 D.1 x2 10 y2 6 x2 6 y2 10 解析：已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4，0)，(4，0)，则c4，a2，b212， 双曲线方程为1，故选 A. x2 4 y2 12 答案：A 2(2019郴州模拟)已知双曲线1(m0)的一个焦点在直线xy5 上，则双 y2 m x2 9 曲线的渐近线方程为( ) Ayx Byx 3 4 4 3 Cyx Dy
2、x 2 2 3 3 2 4 解析：由双曲线1(m0)的焦点在y轴上，且在直线xy5 上，直线xy5 y2 m x2 9 与y轴的交点为(0，5)， 有c5，则m925，则m16， 则双曲线的方程为1， y2 16 x2 9 则双曲线的渐近线方程为yx.故选 B. 4 3 答案：B 3已知点F1(3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为 4，则点P的轨迹方 程为( ) A.1(y0) B.1(x0) x2 4 y2 5 x2 4 y2 5 C.1(y0) D.1(x0) y2 4 x2 5 y2 4 x2 5 解析：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为
3、x2 a2 y2 b2 1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945. 所以点P的轨迹方程为1(x0) x2 4 y2 5 答案：B 4 (2019开封模拟)已知l是双曲线C：1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2 x2 2 y2 4 是C的两个焦点，若0，则P到x轴的距离为( )PF1 PF2 A. B. 2 3 3 2 C2 D. 2 6 3 解析 ： 由题意知F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，则可设P(x0，6622 x0)由(x0，x0)(x0，x0)3x60，PF1 PF2 6262 2 0 得x0，故P到x轴的距离为|x0|2，故选 C.22 答案：C
4、 5(2019深圳模拟)已知椭圆1 与双曲线1(a0，b0)有共同的焦 x2 4m2 y2 m2 x2 a2 y2 b2 点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为 2，则双曲线的离心率为3 ( ) A2 B3 C. D. 2 3 3 3 解析：因为椭圆1 与双曲线1 有共同的焦点， x2 4m2 y2 m2 x2 a2 y2 b2 所以 4m2m2a2b2，所以a2b24， 所以双曲线的焦点坐标为(2，0)，(2，0) 设F(2，0)， 双曲线的渐近线方程为yx， b a 因为焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为 2，3 所以 22， 2b a2b2 3 所以， 2b c 3
5、所以b，3 所以a2c2b21， 所以e 2，故选 A. c a 答案：A 6(2019安阳模拟)已知方程1 表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取 x2 8m y2 4m 值范围是_ 解析：因为方程1 表示焦点在x轴上的双曲线， x2 8m y2 4m 所以有解得 4 0， 4m0)的右顶点为A， x2 a2 y2 b2 以A为圆心，b为半径作圆A， 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点 若MAN60， 则C的离心率为_ 解析 ： 法一 不妨设点M、N在渐近线yx上， 如图， AMN为等边三角形， 且|AM|b， b a 则A点到渐近线yx的距离为b， 将yx变形为一般形式为bxay0， 则
6、A(a， 0) b a 3 2 b a 到渐近线bxay0 的距离d，所以b，即 ，所以双曲线离心 |ba| a2b2 |ab| c |ab| c 3 2 a c 3 2 率e . c a 2 3 3 法二 不妨设点M、N在渐近线yx上，如图，作AC垂直于MN，垂足为C， b a 据题意知点A的坐标为(a， 0)， 则|AC|， 在ACN中， CAN MAN b b2 a21 ab a2b2 1 2 30， |AN|b， 所以 cos CANcos 30 ， 所以离心率e |AC| |AN| ab a2b2 b a a2b2 a c 3 2 . c a 2 3 3 答案： 2 3 3 9已知椭
7、圆D：1 与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点， x2 50 y2 25 它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程 解：椭圆D的两个焦点为F1(5，0)，F2(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5. 设双曲线G的方程为1(a0，b0)， x2 a2 y2 b2 所以渐近线方程为bxay0 且a2b225， 又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r3. 所以3，得a3，b4， |5a| b2a2 所以双曲线G的方程为1. x2 9 y2 16 10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，210 )点M(3，m)在双曲线上 (
8、1)求双曲线的方程； (2)求证：0；MF1 MF2 (3)求F1MF2的面积 (1)解：因为e，则双曲线的实轴、虚轴相等2 所以设双曲线方程为x2y2(0) 因为过点(4，)，所以 1610，即6.10 所以双曲线方程为x2y26. (2)证明：因为(23，m)，MF1 3 (23，m)MF2 3 所以(23)(23)m23m2，MF1 MF2 33 因为M点在双曲线上，所以 9m26，即m23， 所以0.MF1 MF2 (3)解：F1MF2的底|F1F2|4.3 由(2)知m.3 所以F1MF2的高h|m|，3 所以SF1MF2 46. 1 2 33 B 组 素养提升 11(2019河南适
9、应性考试)设F1、F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右 x2 a2 y2 b2 焦点，P是C上一点， 若|PF1|PF2|6a， 且PF1F2的最小内角的大小为 30， 则双曲线C 的渐近线方程是( ) Axy0 B.xy022 Cx2y0 D2xy0 解析：假设点P在双曲线的右支上， 则|PF 1|PF2|6a， |PF1|PF2|2a，) 所以|PF1|4a，|PF2|2a. 因为|F1F2|2c2a， 所以PF1F2中最短的边是PF2， 所以PF1F2的最小内角为PF1F2. 在PF1F2中，由余弦定理得 4a216a24c224a2ccos 30， 所以c22ac3a20，3
10、所以e22e30，所以e，即 ，33 c a 3 所以c23a2，所以a2b23a2，所以b22a2， 所以 ， b a 2 所以双曲线的渐近线方程为xy0，故选 B.2 答案：B 12(2019黄冈模拟)已知双曲线x21 的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离 y2 3 心率为e，若双曲线上存在一点P使e，则的值为( ) sin PF2F1 sin PF1F2 F2P F2F1 A3 B2 C3 D2 解析：由题意及正弦定理得e2， sin PF2F1 sin PF1F2 |PF1| |PF2| 所以|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2，所以|PF1|4，|PF2|
11、2.又 |F1F2|4，由余弦定理可知 cos PF2F1|PF 2|2|F1F2|2|PF1|2 2|PF2|F1F2| ， 41616 2 2 4 1 4 所以|cos PF2F124 2.故选 B.F2P F2F1 F2P F2F1 1 4 答案：B 13设双曲线x21 的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为 y2 3 锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_ 解析：如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右3 支上， 设|PF2|m， 则|PF1|m2am2， 由于PF1F2为锐角三角形， 结合实际意义可知m需满足（m2） 2
12、 m242， 42 （m2）2m2，) 解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，7 所以 22m28.7 答案：(2，8)7 14已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为 2xy0，且顶点到渐近 y2 a2 x2 b2 线的距离为. 2 5 5 (1)求此双曲线的方程； (2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限， 若，求AOB的面积AP PB 解：(1)依题意得解得 a b2， |2 0a| 5 2 5 5 ，) a2， b1，) 故双曲线的方程为x21. y2 4 (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x， 设A(m，2m)，B(n，2n)，其中m0，n0， 由得点P的坐标为.AP PB ( mn 2 ，mn) 将点P的坐标代入x21， y2 4 整理得mn1.设AOB2，因为 tan2， ( 2 ) 则 tan ，从而 sin 2 . 1 2 4 5 又|OA|m，|OB|n，55 所以SAOB |OA|OB|sin 22mn2. 1 2