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1、课时跟踪练(五十二)课时跟踪练(五十二) A 组 基础巩固 1直线ykxk1 与椭圆1 的位置关系为( ) x2 9 y2 4 A相交 B相切 C相离 D不确定 解析 ： 由于直线ykxk1k(x1)1 过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线 与椭圆相交 答案：A 2已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标 x2 a2 y2 b2 是M(4，1)，则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 1 2 2 2 3 2 5 5 解析 ： 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 分别代入椭圆方程， 由点差法可知yM xM，代入k1，M(4，1)，解
2、得 ，e ， b2 a2k b2 a2 1 4 1(b a) 2 3 2 故选 C. 答案：C 3 (2019吕梁模拟)设F1，F2分别是椭圆y21 的左、 右焦点， 若椭圆上存在一点P， x2 4 使得()0(O为坐标原点，则F1PF2的面积是( )OP OF2 PF2 A4 B3 C2 D1 解析：因为()()0，所以PF1PF2，F1PF2OP OF2 PF2 OP F1O PF2 F1P PF2 90.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212，2mn4，所以SF1PF2mn1.故 1 2 选 D. 答案：D 4 若直线axby30 与圆x2y23 没有公共点， 设点P的坐标
3、为(a，b)， 则过点P 的一条直线与椭圆1 的公共点的个数为( ) x2 4 y2 3 A0 B1 C2 D1 或 2 解析 ： 由题意得，圆心(0，0)到直线axby30 的距离为 ，所以a2 3 a2b2 3 b20，即t2b0)的右顶点为A(1， 0)， 过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1， y2 a2 x2 b2 则椭圆方程为_ 解析：因为椭圆1 的右顶点为A(1，0)，所以b1，焦点坐标为(0，c)，因为 y2 a2 x2 b2 过焦点且垂直于长轴的弦长为 1，所以1，a2，所以椭圆方程为x21. 2b2 a y2 4 答案：x21 y2 4 7(2019赣南五校联考)椭圆E：1(a
4、b0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距 x2 a2 y2 b2 为 2c.若直线y(xc)与椭圆E的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心3 率等于_ 解析 ： 由已知得直线y(xc)过M、F1两点， 所以直线MF1的斜率为， 所以MF1F233 60，则MF2F130，F1MF290，则MF1c，MF2c，由点M在椭圆E上知，c3 c2a，故e 1.3 c a 3 答案：13 8已知直线l过点P(2，1)且与椭圆1 交于A，B两点，当P为AB中点时，直 x2 9 y2 4 线AB的方程为_ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B两点在椭圆上，所以 1， x 9
5、 y 4 1， x 9 y 4 得， 0， 又AB的中点为P(2， 1)， 所以x1x2 （x1x2）（x1x2） 9 （y1y2）（y1y2） 4 4，y1y22， 即0， 所以kAB ， 故AB的方程为y1 4（x1x2） 9 2（y1y2） 4 y1y2 x1x2 8 9 (x2)，即 8x9y250. 8 9 答案：8x9y250 9已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，其中左焦点为F(2，0) x2 a2 y2 b2 2 2 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线yxm与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2y21 上，求m的值 解：(1)由题意，得 c a 2 2 ，
6、c2， a2b2c2，) 解得a2 2， b2.) 所以椭圆C的方程为1. x2 8 y2 4 (2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 线段AB的中点为M(x0，y0)， 由消去y得，3x24mx2m280， x2 8 y 2 4 1， yxm，) 968m20，所以2b0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心 x2 a2 y2 b2 率为 ，直线y1 与C的两个交点间的距离为. 1 2 4 6 3 (1)求椭圆C的方程； (2)分别过F1、F2作l1、l2满足l1l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点， 求四边形ABF2F1面积的最大值 解：(1)易知椭圆过点
7、，所以1， ( 2 6 3 ，1) 8 3a2 1 b2 又 ， c a 1 2 a2b2c2， 由得a24，b23， 所以椭圆C的方程为1. x2 4 y2 3 (2)设直线l1的方程为xmy1，它与C的另一个交点为D. 将直线l1与椭圆C的方程联立，消去x， 得(3m24)y26my90， 144(m21)0. |AD|，1m2 12 1m2 3m24 又F2到l1的距离d， 2 1m2 所以SADF2. 12 1m2 3m24 令t，t1，则SADF2，1m2 12 3t1 t 当t1 时，SADF2取得最大值，为 3. 又S四边形ABF2F1 (|BF2|AF1|)d (|AF1|DF
8、1|)d |AD|dSADF2， 1 2 1 2 1 2 所以四边形ABF2F1面积的最大值为 3. B 组 素养提升 11已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为 2 的直线交椭圆E于P，Q 两点，若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为( ) A. B. C. D. 5 3 2 3 2 3 1 3 解析：由题意可知，F1PF2是直角，且 tan PF1F22， 所以2， |PF2| |PF1| 又|PF1|PF2|2a， 所以|PF1|，|PF2|. 2a 3 4a 3 根据勾股定理得(2c)2， ( 2a 3) 2 ( 4a 3) 2 所以离心率e . c a 5 3
9、答案：A 12过椭圆1 内的一点P(2，1)的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在的直 x2 6 y2 5 线方程是( ) A5x3y130 B5x3y130 C5x3y130 D5x3y130 解析：设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 故 0， x 6 y 51， x 6 y 51，) 1 6 x1x2 y1y2 1 5 y1y2 x1x2 又x1x24，y1y22，故斜率k . 5 3 故这条弦所在直线方程为y1 (x2)，即 5x3y130. 5 3 答案：A 13 已知直线l：ykx2过椭圆1(ab0)的上顶点B和左焦点F， 且被圆x2y2 x2 a2 y2 b2 4 截得
10、的弦长为L，若L，则椭圆离心率e的取值范围是_ 4 5 5 解析：依题意，知b2，kc2. 设圆心到直线l的距离为d，则L2，4d2 4 5 5 解得d2. 16 5 又因为d，所以 ，解得k2 . 2 1k2 1 1k2 4 5 1 4 于是e2，所以 0b0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的 x2 a2 y2 b2 离心率为，|AB|. 5 3 13 (1)求椭圆的方程； (2)设直线l：ykx(kx10，点Q的坐标为(x1，y1) 由BPM的面积是BPQ面积的 2 倍，可得|PM|2|PQ|， 从而x2x12x1(x1)，即x25x1. 易知直线AB的方程为 2x3y6， 由方程组消去y，可得x2. 2x3y6， ykx，) 6 3k2 由方程组消去y， x2 9 y 2 4 1， ykx， ) 可得x1. 6 9k24 由x25x1， 可得 5(3k2)， 两边平方， 整理得 18k225k80， 解得k9k24 或k . 8 9 1 2 当k 时，x290，不合题意，舍去； 8 9 当k 时，x212，x1，符合题意 1 2 12 5 所以k的值为 . 1 2