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1、课时跟踪练课时跟踪练(四十六四十六) A 组 基础巩固组 基础巩固 1(2019黄山模拟黄山模拟)如图，四棱锥如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面中，底面 ABCD 是矩 形， 平面 是矩 形， 平面PAD底面底面ABCD， 且， 且PAD是边长的是边长的2的等边三角形，的等边三角形， PC ， ，M 在在 PC 上，且上，且 PA平面平面 MBD.13 (1)求证：求证：M 是是 PC 的中点；的中点； (2)求多面体求多面体 PABMD 的体积的体积 (1)证明：证明：连接连接 AC 交交 BD 于点于点 E，连接，连接 ME. 因为四边形因为四边形 ABCD 是矩形，所以是矩形，所以 E
2、 是是 AC 的中点的中点 又又 PA平面平面 MBD，且，且 ME 是平面是平面 PAC 与平面与平面 MDB 的交线，的交线， 所以所以 PAME，所以，所以 M 是是 PC 的中点的中点 (2)解：解：取取 AD 中点中点 O，连接，连接 OC，PO，则，则 POAD， 又平面又平面 PAD底面底面 ABCD， 平面， 平面 PAD平面平面 ABCDAD， PO 平面 平面 PAD，所以，所以 PO平面平面 ABCD， 因为因为 OC平面平面 ABCD， 所以， 所以 POOC， 在， 在 RtPOC 中，中， PO，3 PC，则，则 OC，所以，所以 CD3，1313310101 所以
3、所以 VP-ABCD 232， 1 3 33 由由(1)知知 M 到平面到平面 ABCD 的距离等于点的距离等于点 P 到平面到平面 ABCD 的距离的距离 的一半，为，所以的一半，为，所以 VMBCD 23， 3 2 1 3 1 2 3 2 3 2 所以所以 V多面体 多面体 PABMD 2.3 3 2 3 3 2 2如图，直角三角形如图，直角三角形 ABC 中，中，A60，沿斜边，沿斜边 AC 上的高上的高 BD 将将ABD 折起到折起到PBD 的位置，点的位置，点 E 在线段在线段 CD 上上 (1)求证：求证：PEBD； (2)过点过点D作作DMBC交交BC于点于点M， 点， 点N为为
4、PB的中点， 若的中点， 若PE 平面 平面 DMN，求的值，求的值 DE DC (1)证明 ：证明 ： 因为因为 BDPD，BDCD，且，且 PDCDD，PD，CD 平面 平面 PCD， 所以所以 BD平面平面 PCD. 又又 PE平面平面 PCD， 所以所以 BDPE. (2)解：解：由题意，得由题意，得 BM BC. 1 4 取取 BC 的中点的中点 F，连接，连接 PF、EF， 则则 PFMN. 又又 PF平面平面 DMN，MN平面平面 DMN， 所以所以 PF平面平面 DMN. 由条件由条件 PE平面平面 DMN，PEPFP， 所以平面所以平面 PEF平面平面 DMN，所以，所以 E
5、FDM， 所以所以 . DE DC MF MC 1 3 3.(2017全国卷全国卷)如图，四面体如图，四面体 ABCD 中，中，ABC 是正三角形，是正三角形， ADCD. (1)证明：证明：ACBD； (2)已知已知ACD 是直角三角形，是直角三角形，ABBD，若，若 E 为棱为棱 BD 上与上与 D 不重合的点， 且不重合的点， 且 AEEC， 求四面体， 求四面体 ABCE 与四面体与四面体 ACDE 的体积比的体积比 (1)证明：证明：取取 AC 的中点的中点 O， 连接连接 DO，BO. 因为因为 ADCD，所以，所以 ACDO. 又由于又由于ABC 是正三角形，所以是正三角形，所以
6、 ACBO. 从而从而 AC平面平面 DOB， 故故 ACBD. (2)解：解：如图所示，连接如图所示，连接 EO， 由由(1)及题设知及题设知ADC90，所以，所以 DOAO. 在在 RtAOB 中，中，BO2AO2AB2. 又又 ABBD，所以，所以 BO2DO2BO2AO2AB2BD2， 故故DOB90. 由题设知由题设知AEC 为直角三角形，所以为直角三角形，所以 EO AC. 1 2 又又ABC 是正三角形，且是正三角形，且 ABBD，所以，所以 EO BD. 1 2 故故 E 为为 BD 的中点， 从而的中点， 从而 E 到平面到平面 ABC 的距离为的距离为 D 到平面到平面 A
7、BC 的距离的 ，四面体的距离的 ，四面体 ABCE 的体积为四面体的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，即四的体积的 ，即四 1 2 1 2 面体面体 ABCE 与四面体与四面体 ACDE 的体积之比为的体积之比为 11. 4(2019北京模拟北京模拟)如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面中，底面 ABCD 是 矩形， 是 矩形，PAPD，PAAB，N 是棱是棱 AD 的中点的中点 (1)求证：平面求证：平面 PAB平面平面 PAD. (2)求证：求证：PN平面平面 ABCD. (3)在棱在棱 BC 上是否存在动点上是否存在动点 E， 使得， 使得 BN平面平面 DEP？并说
8、明理 由 ？并说明理 由 (1)证明：证明：在矩形在矩形 ABCD 中，中，ABAD. 又因为又因为 ABPA 且且 PAADA， 所以所以 AB平面平面 PAD. 又因为又因为 AB平面平面 PAB， 所以平面所以平面 PAB平面平面 PAD. (2)证明 ：证明 ： 在在PAD 中，中， PAPD， N 是棱是棱 AD 的中点， 所以的中点， 所以 PNAD. 由由(1)知知 AB平面平面 PAD，所以，所以 ABPN. 又因为又因为 ABADA，所以，所以 PN平面平面 ABCD. (3)解 ：解 ： 在棱在棱 BC 上存在点上存在点 E， 使得， 使得 BN平面平面 DEP， 此时，
9、此时 E 为为 BC 的中点的中点 证明如下：证明如下： 取取 BC 中点中点 E，连接，连接 PE，DE. 在矩形在矩形 ABCD 中，中，NDBE，NDBE. 所以四边形所以四边形 BNDE 是平行四边形，则是平行四边形，则 BNDE. 又因为又因为 BN平面平面 DEP，DE平面平面 DEP. 所以所以 BN平面平面 DEP. B 组 素养提升组 素养提升 5(2019郑州模拟郑州模拟)在如图所示的五面体在如图所示的五面体 ABCDEF 中，四边形中，四边形 ABCD 为菱形， 且为菱形， 且DAB60， EAEDAB2EF2， EFAB， M 为为 BC 中点中点 (1)求证：求证：F
10、M平面平面 BDE； (2)若平面若平面 ADE平面平面 ABCD，求，求 F 到平面到平面 BDE 的距离的距离 (1)证明：证明：取取 BD 中点中点 O，连接，连接 OM，OE， 因为因为 O，M 分别为分别为 BD，BC 中点，中点， 所以所以 OMCD，且，且 OM CD， 1 2 因为四边形因为四边形 ABCD 为菱形，为菱形， 所以所以 CDAB，因为，因为 EFAB， 所以所以 CDEF，又，又 ABCD2EF2，所以，所以 EF CD. 1 2 所以所以 OMEF，且，且 OMEF， 所以四边形所以四边形 OMFE 为平行四边形，为平行四边形， 所以所以 FMOE. 又又 O
11、E平面平面 BDE 且且 FM平面平面 BDE，所以，所以 FM平面平面 BDE. (2)解：解：由由(1)得得 FM平面平面 BDE， 所以所以 F 到平面到平面 BDE 的距离等于的距离等于 M 到平面到平面 BDE 的距离的距离 取取 AD 的中点的中点 H，连接，连接 EH，BH， 因为因为 EAED，所以，所以 EHAD， 因为平面因为平面 ADE平面平面 ABCD， 平面平面 ADE平面平面 ABCDAD， 所以所以 EH平面平面 ABCD，因为，因为 BH平面平面 ABCD，所以，所以 EHBH. 因为四边形因为四边形 ABCD 是菱形，所以是菱形，所以 ABAD2， 又又BAD
12、60， 所以， 所以ABD是等边三角形， 所以是等边三角形， 所以BH.易得易得EH3 . 3 在在 RtEHB 中，因为中，因为 EHBH，3 所以所以 BE，6 由已知，知由已知，知ABD 是等边三角形，所以是等边三角形，所以 BDABED2，所 以 ，所 以BDE 中斜边中斜边 BE 上的高为上的高为 ，22( 10 2) 2 所以所以 S BDE ， 1 2 622( 6 2) 2 15 2 设设 F 到平面到平面 BDE 的距离为的距离为 h， 连接连接 DM， 因为因为 S BDM 4， 1 2 3 4 3 2 所以由所以由 VEBDMVMBDE，得 ，得 h， 1 3 3 3 2
13、 1 3 15 2 解得解得 h. 15 5 即即 F 到平面到平面 BDE 的距离为的距离为. 15 5 6.(2018天津卷天津卷)如图， 在四面体如图， 在四面体 ABCD 中， 中， ABC 是等边三角形， 平面 是等边三角形， 平面 ABC平面平面 ABD， 点， 点 M 为棱为棱 AB 的中点，的中点， AB2， AD2， ， 3 BAD90. (1)求证：求证：ADBC； (2)求异面直线求异面直线 BC 与与 MD 所成角的余弦值；所成角的余弦值； (3)求直线求直线 CD 与平面与平面 ABD 所成角的正弦值所成角的正弦值 (1)证明 ：证明 ： 由平面由平面 ABC平面平面
14、 ABD，平面，平面 ABC平面平面 ABDAB， ADAB，可得，可得 AD平面平面 ABC，故，故 ADBC. (2)解：解：取棱取棱 AC 的中点的中点 N，连接，连接 MN，ND. 又因为又因为 M 为棱为棱 AB 的中点，所以的中点，所以 MNBC. 所以所以DMN(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线 BC 与与 MD 所成的角所成的角 在在 RtDAN 中，中，AM1，故，故 DM.AD2AM213 因为因为 AD平面平面 ABC，所以，所以 ADAC. 在在 RtDAM 中，中，AN1，故，故 DN.AD2AN213 在等腰三角形在等腰三角形 DMN 中，中，MN1， 可得可
15、得 cosDMN. 1 2MN DM 13 26 所以，异面直线所以，异面直线 BC 与与 MD 所成角的余弦值为所成角的余弦值为. 13 26 (3)解：解：连接连接 CM.因为因为ABC 为等边三角形，为等边三角形，M 为边为边 AB 的中点， 故 的中点， 故 CMAB，CM . 3 又因为平面又因为平面 ABC平面平面 ABD， 而而 CM平面平面 ABC，故，故 CM平面平面 ABD， 所以，所以，CDM 为直线为直线 CD 与平面与平面 ABD 所成的角所成的角 在在 RtCAD 中，中，CD4.AC2AD2 在在 RtCMD 中，中，sinCDM. CM CD 3 4 所以，直线所以，直线 CD 与平面与平面 ABD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为. 3 4