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1、最新精品数学资料教学设计2三角形中的几何计算教学分析本节课是继学习了正弦定理、余弦定理之后安排的一节课，可以说是对正弦定理、余弦定理的应用进行的小结课或习题课，为后面的实际应用举例奠定基础，因此本节课的学习具有承上启下的桥梁作用在本节课的教学中，要用方程的思想作统帅，具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题在本节课中，首先帮助学生回忆并用文字语言复述出正弦定理和余弦定理，并指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然但解题的时候，应有最佳选择教学过程中，我们应指导学生结合利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题进行归纳剖析，以提高
2、学生的思维层次本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题的状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理在教学中还要让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路在练习与变式例题中同样牢牢抓住正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，用方程的思想指导思路正弦定理、余弦定理可以解决四类有关三角形的问题为了把它们融入到学生的认知结构中，设计了变式例题，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理进行边角
3、转化，转化的主要途径有两条：(1)化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；(2)化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便总之，关键在于根据条件，结合图形，准确判断解的情况、灵活选用定理及公式三维目标1通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式及文字语言的叙述，进一步熟悉正、余弦定理的内容、作用及所解三角形的类型，能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形问题灵活地解三角形2善于利用分类讨论的思想，先易
4、后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题，把对学生的思维训练贯穿整节课的始终3通过本节课的探究，培养学生勇于探索、勇于创新、善于分析以及具体问题具体分析的科学精神和良好的学习习惯，并对正弦定理、余弦定理的反射美产生愉悦感，从而激发学生热爱数学，热爱科学的追求精神重点难点教学重点：灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算教学难点：利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用课时安排1课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾正弦定理、余弦定理的内容及表达式，回顾上两节课所解决的解三角形问题，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并结合三角、向量
5、、几何等知识，我们会探究出什么样的解题规律呢？由此展开新课思路2.(直接导入)正弦定理、余弦定理是两个重要定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用由此直接导入新课推进新课回忆正弦定理、余弦定理的表达式，并用文字语言叙述其内容.你能写出定理的哪些变式？解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些？活动：结合课件、幻灯等，教师可把学生分成几组互相提问正弦定理、余弦定理的内容是什么？各式中有几个量？有什么作用？用方程的思想写出所有的变形(包括文字叙述)，让学生回答正、余弦定理各适合解决的解三角形类型问题、三角形内角和定理、三角形面积定理等可让学生填写下表中的相关内容：解斜三角形时可用的
6、定理和公式适用类型备注余弦定理a2b2c22bccos Ab2a2c22accos Bc2b2a22bacos C(1)已知三边来源:Z,xx,k.Com(2)已知两边及其夹角类型(1)(2)有解时只有一解正弦定理2R(3)已知两角和一边(4)已知两边及其中一边的对角类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解或无解三角形面积公式Sbcsin Aacsin Babsin C(5)已知两边及其夹角讨论结果：略来源:学科网ZXXK思路1例1 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bacos C且ABC的最大边长为12，最小内角的正弦值为.(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的
7、面积活动：教师与学生一起共同探究本例，通过本例带动正弦定理、余弦定理的知识串联，引导学生观察条件bacos C，这是本例中的关键条件很显然，如果利用正弦定理实现边角转化，则有2Rsin B2Rsin Acos C若利用余弦定理实现边角转化，则有ba，两种转化策略都是我们常用的常用的角的变换有，2A2B2C2，sin Asin(BC)，cos Acos (BC)，sin cos ，cos sin 等，三个内角的大小范围都不能超出(0，180)解：(1)方法一：bacos C，由正弦定理，得sin Bsin Acos C.又sin Bsin(AC)，sin(AC)sin Acos C，即cos A
8、sin C0.又A，C(0，)，cos A0，即A.ABC是A90的直角三角形方法二：bacos C，由余弦定理，得ba，2b2a2b2c2，即a2b2c2.由勾股定理的逆定理，知ABC是A90的直角三角形(2)ABC的最大边长为12，由(1)知斜边a12.又ABC最小内角的正弦值为，RtABC的最短直角边长为124.另一条直角边长为8，SABC4816.点评：以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向因此要特别关注三角函数在解三角形时的灵活运用，及正、余弦定理的灵活运用1利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三
9、角形问题已知两角和任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)2正弦定理可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化例如：在判断三角形形状时，经常把a，b，c分别用2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C来代替3余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化(1)已知三边，求三个角(2)已知两边和夹角，求第三边和其他两角4用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式a2b2c22bccos A中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c
10、或cos A.变式训练在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos A.(1)求sin 2cos 2A的值；(2)若b2，ABC的面积S3，求a.解：(1)sin 2cos 2Acos 2A2cos 2A1.(2)cos A，sin A.由SABCbcsin A得32c，解得c5.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得a242522513，a.例2 如图1所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45.求BD的长图1活动：教师与学生一起探究，点拨学生找出相关的三角形解：在ABC中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理，得，sin ABC.因为AD
11、BC，所以BAD180ABC，于是sin BADsin ABC.同理，在ABD中，AB5，sin BAD，ADB45，解得BD.答：BD的长为.点评：找出相关的三角形后，关键要根据题目的条件与所求，选定运用哪个定理，达到优化解题过程，灵活解题的目的.变式训练在ABC中，若B30，AB2，AC2，则ABC的面积是_解析：由，知sin C.若C60，则ABC是直角三角形，SABCABAC2；若C120，则A30，SABCACABsin 30.答案：2或例3 一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动如图2所示，
12、已知AB4 dm，AD17 dm，BAC45.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？图2活动：机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方，设为C点利用速度建立AC与BC之间的关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题解：设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上设BCx dm，由题意，CD2x dm.ACADCD(172x)(dm)在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A，来源:学科网ZXXK即x2(4)2(172x)224(172x)cos 45.解得x15 dm ，x2 dm.所以AC172x7 dm或AC dm(不合题意
13、，舍去)答：该机器人最快可在线段AD上离点A7 dm的点C处截住足球点评：解完本例后，要让学生反思体会本例中的方程思想思路2例1 如图3，已知ABC, BD为角B的平分线，求证： ABBCADDC.图3活动：教师与学生一起探究角B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式ABBCADDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角的正弦值相等，互补角的正弦值也相等即可证明结论证明：在ABD内，利用正弦定理得，即.在BCD内，利用正弦定理得，即.BD是角B的平分线，ABDDB
14、C.sin ABDsin DBC.ADBBDC180，sin ADBsin(180BDC)sin BDC.点评：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.变式训练如图4，在ABC中，AC2，BC1，cos C，图4(1)求AB的值；(2)求sin(2AC)的值解：(1)由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C412212，AB.(2)由cos C且0C，得sin C.由正弦定理，得，解得sin A.cos A.由倍角公式得sin 2A2sin Acos A，且cos 2A12sin 2A，故sin(2AC)sin 2Aco
15、s Ccos 2Asin C.例2 如图5所示，已知O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC1，点P是O上半圆弧上的一个动点，以PC为边作等边PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧图5(1)若POB，试将四边形OPDC的面积y表示成的函数；来源:学&科&网(2)求四边形OPDC面积的最大值活动：四边形OPDC可以分成OPC与PCD.SOPC可用OPOCsin 表示；而求PCD的面积关键在于求出边长PC，在POC中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决解：(1)在POC中，由余弦定理，得PC2OP2OC22OPOCcos 54cos ，所以ySOPCSPCD12si
16、n (54cos )2sin.(2)当，即时，ymax2.答：四边形OPDC面积的最大值为2.点评：解决本例的关键是利用余弦定理建立三角函数模型让学生解后反思，在读懂题意的基础上，认真观察图形，从图形中找出数量关系例3 如图6，在四边形ABCD中，ADBBCD75，ACBBDC45，DC，求：图6(1)AB的长；(2)四边形ABCD的面积活动：本例是正弦定理、余弦定理的灵活应用，结合三角形面积求解，难度不大，可让学生自己独立解决，体会正、余弦定理结合三角形面积的综合应用解：(1)因为BCD75，ACB45，所以ACD30.又因为BDC45，所以DAC180(75 45 30)30.所以ADDC
17、.在BCD中，CBD180(75 45)60，所以，BD .在ABD中，AB2AD2 BD22ADBDcos 75 5，所以AB.(2)SABDADBDsin 75.同理， SBCD.所以四边形ABCD的面积S.来源:Zxxk.Com点评：本例解答对运算能力提出了较高要求，教师应要求学生“列式工整、算法简洁、运算正确”，养成规范答题的良好习惯课本本节练习教师与学生一起回顾本节课我们共同探究的三角形中的几何计算问题，通过例题及变式训练，掌握了三角形中边角互化的问题以及联系其他知识的小综合问题养成具体问题具体分析地解决问题的良好思维习惯教师进一步点出，解三角形问题是确定线段的长度和角度的大小，解三
18、角形需要利用边角关系，三角形中，有六个元素：三条边、三个角；解三角形通常是给出三个独立的条件(元素)，求出其他元素正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，正弦定理适用于已知两角一边，求其他要素；余弦定理适用于已知两边和夹角，或者已知三边求其他要素课本本节习题22A组3,4,5,6，B组2,3.本教案设计的思路是：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法，具体解三角形时，所选例题突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系；由于解三角形的内容具有丰富的现实背景，来源于测量等实践活动，因此突出了几何的作用将几何图形、三角函数
19、、向量等旧知识作为解斜三角形这一新知识、方法的生长点，让学生尽快进入“知识临近发展区”，提高了学生的探究能力本教案设计的教法是：活动、探究、发现、应用、再提高的探究式发现教学法，因为观察与实验是科学探究的基本技能之一，“探索是教学的生命线”，给学生提供探究的空间，设置恰当的问题背景，让学生成为真理的探索者和追求者，从而让课堂教学成为点燃学生智慧的火把，成为发现新事物，体验再发现、再创造的过程本教案设计重视与现代信息技术的有机结合，恰当地使用现代信息技术，发挥现代信息技术的优势，能帮助学生更好地认识和理解基本概念和基础知识的本质；通过现代信息技术，让学生从杂乱的静态中很快理出主线，从烦琐的运算中
20、解脱出来，把更多的时间与精力放在探索、归纳与发现上一、正弦定理、余弦定理的课外探究1正、余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它，其实，在涉及三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决【例1】 已知a、b为ABC的边，A，B分别是a，b的对角，且，求的值解：，.又，.于是，由合比定理得.【例2】 已知ABC中三边a，b，c所对的角分别是A，B，C，且2bac.求证：sin Asin C2sin B.证明：ac2b，又，a，c.将代入
21、，得2b.整理，得sin Asin C2sin B.2正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：【例3】 求sin 220cos 280sin 20cos 80的值解：原式sin 220sin 2102sin 20sin 10cos 150，2010150180，20，10，150可看作一个三角形的三个内角设这三个内角所对的边依次是a，b，c，由余弦定理得a2b22abcos 150c2.(*)而由正弦定理知a2Rsin 20，b2Rsin 10，c2Rsin 150，代入(*)式得sin 220sin
22、 2102sin 20sin 10cos 150sin 2150.原式.3构造正三角形通常，我们使用标尺作正三角形以标尺作正三角形，只需相异两点A，B，再配合工具即可分别以A，B点为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于C点，ABC就是正三角形了因为圆A中，ABAC(半径)；而且圆B中，BABC(半径)，所以ABBAAC(参见图7)图7如果没了圆规，我们要如何作出正三角形呢？再者连标尺也没了，那么如何作出正三角形呢？这时我们可以考虑折纸来协助完成取适当大小的矩形纸张，先对折，取得一边的中垂线；再以A点为基点，将此边向内翻折，并使得顶点落在中垂线上B点；最后再将B点和A，C点连成三角形(参见图8)，
23、就是正三角形了因为ACAB，又B点在中垂线上，所以BABC.因此，ABBCCA.图8二、备用习题1在ABC中，已知a11，b20，A130，则此三角形()A无解 B只有一解C有两解 D解的个数不确定2ABC中，已知(ac)(ac)b2bc，则A等于()A30 B60C120 D1503ABC中，已知A60，b19，S399，则a等于()A84 BC48 D4ABC中，若，则该三角形一定是()A等腰三角形但不是直角三角形B直角三角形但不是等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形5ABC中，tan Atan B1，则该三角形一定是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上都有可能6钝
24、角三角形的三边为a，a1，a2，其最大角不超过120，则a的取值范围是()A0a3Ba3C2a3D1a7在ABC中，已知A120，b3，c5，求：(1)sin Bsin C；(2)sin Bsin C.8在ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且cos ，.(1)求sin 2cos 2A的值；(2)若a4，bc6，且bc，求b，c的值参考答案：1.A2.C3.D4.D5.B6.B7解法一：(1)b3，c5，A120，由余弦定理得a2b2c22bccos A92523549.a7.由正弦定理得，sin B，sin C，sin Bsin C.(2)由(1)知，sin Bsin C.解法二：(1)由余弦定理，得a7，由正弦定理得a2Rsin A(其中R为ABC的外接圆半径)，得R，sin B，sin C.sin Bsin C.(2)由(1)知，sin Bsin C.8解：(1)由cos，得cos A.sin 2cos 2A1cos (BC)(2cos 2A1)(1cos A)(2cos 2A1).(2)由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即a2(bc)22bc2bccos A，即1636bc.bc8.由(设计者：李艳)最新精品数学资料