《2020版高考数学（江苏专用）一轮课件：第三章§3.1 导数的概念及导数的运算 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（江苏专用）一轮课件：第三章§3.1 导数的概念及导数的运算 .pptx（60页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及导数的运算,高考数学 (江苏省专用),(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过 点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .,五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,答案 (e,1),解析 本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数 学运算. 设A(x0,y0),由y= ,得k= , 所以在点A处的切线方程为y-ln x0= (x-x0). 因为切线经过点(-e,-1), 所以-1-ln x0= (-e-x0).所以ln x0= , 令g(x)
2、=ln x- (x0), 则g(x)= + ,则g(x)0, g(x)在(0,+)上为增函数. 又g(e)=0,ln x= 有唯一解x=e.x0=e. 点A的坐标为(e,1).,方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: 设切点为(x0, f(x0); 求k=f (x0); 得出切线的方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0); 由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 导数的概念及几何意义,1.(2019课标全国文改编,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为 .,答案
3、 2x+y-2+1=0,解析 本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的 核心素养是数学运算. 由题意可知y=2cos x-sin x,则y|x=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y+1=-2 (x-),即2x+y+1-2=0.,2.(2019课标全国理改编,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a= ,b= .,答案 e-1;-1,解析 本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导数的 求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养. y
4、=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1, 2=ae+1,a=e-1.切点为(1,1), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,b=-1.,解题关键 正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.,3.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .,答案 x+2y-2=0,解析 本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算 法则、导数的几何意义的理解和掌握程度. y=cos x- ,y=-sin x- ,y|x=0=- ,即曲线在(0,1)处的切线斜率为- ,切线方程为y-1=- (x -0),即x+2y-2=0.,方法总
5、结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:求导函数;把该点横坐标代 入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;用点斜式写出切线方程.,4.(2019课标全国理,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .,答案 y=3x,解析 本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. y=3(x2+3x+1)ex,曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3,曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3 x.,解题关键 掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.,5.(2018课标全国文改编,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+
6、ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0, 0)处的切线方程为 .,答案 y=x,解析 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,得a=1,f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,则曲线y=f(x) 在点(0,0)处的切线方程为y=x.,解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标. (2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入解析式,从而建立方程(组). (3)在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件.,6.
7、(2018课标全国理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .,答案 y=2x,解析 本题主要考查导数的几何意义. 因为y= ,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点, 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.,7.(2018课标全国理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .,答案 -3,解析 本题考查导数的综合应用. 设f(x)=(ax+1)ex,则f (x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f (0)=a+1=-2,解得a=- 3.,8.(2017天津文,10,5分)已知aR,设函数
8、f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴 上的截距为 .,答案 1,解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距. 由题意可知f (x)=a- ,所以f (1)=a-1, 因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a), 所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1), 即y=(a-1)x+1. 令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.,易错警示 不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.,9.(2017课标全国文,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .,答案 x-y+1=0,解析 本题考查导数的几何意义. y=x
9、2+ ,y=2x- , y|x=1=2-1=1, 所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.,10.(2016课标全国理,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,- 3)处的切线方程是 .,答案 y=-2x-1,解析 令x0,则-x0),则f (x)= -3(x0),f (1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y= -2x-1.,11.(2016课标全国,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线, 则b= .,答案 1-ln 2,解析 直线y=
10、kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得 y= ,由y=ln(x+1)得y= ,k= = ,x1= ,x2= -1,y1=-ln k+2,y2=-ln k.即A ,B ,A、B在直线y=kx+b上, ,思路分析 先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切 点在切线上列方程组,进而求解.,12.(2016课标全国文,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处 的切线方程是 .,答案 y=2x,解析 当x0时,-x0)
11、,又点(1,2)在曲线y=f(x)上,且易 知f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x.,13.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P 的坐标为 .,答案 (1,1),解析 函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00), 函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- , 由题意知k1k2=-1,即1 =-1, 解得 =1,又x00,x0=1. 又点P在曲线
12、y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,14.(2019课标全国理,20,12分)已知函数f(x)=ln x- . (1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点; (2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.,解析 本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数零点以及导数的几何意义.考查学生分 析、解决问题的能力,考查逻辑推理能力和运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心 素养. (1)f(x)的定义域为(0,1)(1,+). 因为f (x)= + 0,所以f(x)在(0,1),(1,+)单调递
13、增. 因为f(e)=1- 0,所以f(x)在(1,+)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0 1,f =-ln x1+ =-f(x1)=0,故f(x)在(0,1)有唯一零点 . 综上, f(x)有且仅有两个零点. (2)因为 = ,故点B 在曲线y=ex上. 由题设知f(x0)=0,即ln x0= , 故直线AB的斜率k= = = .,曲线y=ex在点B 处切线的斜率是 ,曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是 , 所以曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.,解后反思 (1)先判断函数的单调性,然后结合零点存在性定理证明函数f(x)有且仅
14、有两个零 点. (2)要证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线,首先求得这条切线的斜率k= ,所以必须在曲线y=ex上找一点B(x1, ),使 = ,从而求得B点的坐标为 ,然后证 明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率等于曲线y=ex在点B 处的切线斜率即可.,考点二 导数的运算,1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为 .,答案 e,解析 本题主要考查导数的计算. f(x)=exln x,f (x)=ex , f (1)=e1(ln 1+1)=e.,2.(20
15、16天津改编,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为 .,答案 3,解析 f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex, f (0)=3.,3.(2017浙江,20,15分)已知函数f(x)=(x- )e-x . (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间 上的取值范围.,解析 本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题 的能力. (1)因为(x- )=1- ,(e-x)=-e-x, 所以f (x)= e-x-(x- )e-x = . (2)由f (x)= =0,解得x=1或x=
16、. 因为,又f(x)= ( -1)2e-x0, 所以f(x)在区间 上的取值范围是 .,解后反思 1.在导数大题中,求函数的导数至关重要,因此,必须熟练掌握求导公式和求导法则.,2.利用导数求函数的值域的一般步骤: (1)求函数f(x)的导函数f (x); (2)解方程f (x)=0; (3)用f (x)=0的根把函数的定义域分成若干个区间; (4)判断每个区间上f (x)的符号,得函数的单调性; (5)求函数在各个区间上的值域,再求并集.,3.在求函数f(x)在区间(a,+)或(-,a)上的值域时,一定要观察f(x)图象的趋势,或先判断f(x)何 时为正,何时为负(通常是求出函数f(x)的零
17、点).,评析 本题主要考查导数两大方面的应用:(1)复合函数单调性的讨论:运用导数知识来讨论函 数f(x)的单调性时,首先考虑函数的定义域,再求出f (x),由f (x)的正负得出函数f(x)的单调区间; (2)函数的最值(极值)的求法:由确认的单调区间,结合极值点的定义及自变量的取值范围,得出 函数f(x)的极值或最值.,1.(2014课标全国改编,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= .,C组 教师专用题组,答案 3,解析 y=a- ,当x=0时,y=a-1=2,a=3.,思路分析 函数图象在(0,0)处切线的斜率为2,即导函数在x=0时的值
18、为2,从而得关于a的方程, 求解即可.,2.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 .,答案 (-ln 2,2),解析 令f(x)=e-x,则f (x)=-e-x.设P(x0,y0),则f (x0)=- =-2,解得x0=-ln 2,所以y0= =eln 2=2,所以点P 的坐标为(-ln 2,2).,评析 本题主要考查导数的几何意义及导数的运算,把复合函数y=e-x的导数求错是失分的主 要原因.,3.(2011江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=ex(x0)的图象上的动点,该图 象在点P处的切线l交y
19、轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t,则 t的最大值是 .,答案 +,解析 设P(x0, )(x00), f (x)=(ex)=ex, 点P处的切线l,其斜率为f (x0)= ,过点P作l的垂线l,其斜率为- . 直线l的方程为y- = (x-x0), 令x=0,得yM= -x0 . 直线l的方程为y- =- (x-x0), 令x=0,得yN= + . 由题意t= = . 令t=g(x0)= , g(x0)=,= . x00时, + 0, 当x00,函数g(x0)为增函数. 当x01时, g (x0)0时t取最大值. tmax=g(1)= = + .,评析 本题
20、考查导数的几何意义、直线方程、导数的应用等相关知识,知识点较多,难度偏大, 考查学生的运算求解能力、分析问题、解决问题的综合能力.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 导数的概念及几何意义,1.(2019盐城期中,7)在平面直角坐标系中,曲线y=ex+2x+1在x=0处的切线方程是 .,答案 y=3x+2,解析 y=ex+2,则k=3,切点为(0,2),故切线方程为y-2=3x,即y=3x+2.,评析 本题考查导数的几何意义,是容易题.,2.(2019如皋期中,6)设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线斜率为2,则实数a的值为 .,答案 3
21、,解析 函数f(x)=ax-ln x,则f (x)=a- , 所以切线的斜率为k=f (1)=a-1=2,解得a=3.,3.(2019海安高级中学期中,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线C:y=ex上一点,直线l:x+2y+c=0 经过点P,且与曲线C在点P处的切线垂直,则实数c的值为 .,答案 -4-ln 2,解析 y=ex的导数为y=ex, 由题意知所求切线的斜率为2, 设切点P的坐标为(x0,y0),则 =2, 所以x0=ln 2,y0=eln 2=2. 因为直线x+2y+c=0经过点P(ln 2,2), 所以c=-4-ln 2.,解题关键 本题考查曲线的切线问题,设切点,利用条件
22、求出切点坐标是解题关键.,4.(2019常州期末,10)若直线kx-y-k=0与曲线y=ex(e是自然对数的底数)相切,则实数k= .,答案 e2,解析 根据直线kx-y-k=0与曲线y=ex相切,设切点坐标为(m,em). 对于y=ex,其导数为y=ex,则切线的斜率k=em, 则切线方程为y-em=em(x-m), 又k=em,则切线方程为y-k=k(x-m),即kx-y-mk+k=0, 又因为切线方程为kx-y-k=0,所以-m+1=-1,解得m=2, 则k=em=e2.,5.(2019南京六校联合体联考,8)设直线l是曲线y=2x2+ln x的切线,则直线l的斜率的最小值是 .,答案
23、4,解析 y=2x2+ln x的定义域为(0,+), y=4x+ 2 =4,当且仅当x= 时取等号. 直线l的斜率的最小值是4.,6.(2019无锡期末,12)已知直线y=a(x+2)(a0)与函数y=|cos x|的图象恰有四个公共点A(x1,y1),B(x 2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中x1x2x3x4,则x4+ = .,答案 -2,解析 直线y=a(x+2)过定点(-2,0),作出y=a(x+2)与y=|cos x|的图象如图所示. 由图可知,两函数图象在点D处相切,且x4 , 即a(x4+2)=-cos x4,所以a= . 又y=(-cos x)=sin x,所以
24、切线的斜率为a=sin x4, 因此a= =sin x4,即 =-x4-2. 则x4+ =x4+ =x4-x4-2=-2.,思路点拨 本题考查导数的几何意义.直线y=a(x+2)(a0)经过定点(-2,0),若满足条件,则直线 与曲线相切在 内,得到x4满足的条件.,7.(2018南京、盐城二模,11)在平面直角坐标系xOy中,曲线y= (m0)在x=1处的切线为l,则 点(2,-1)到直线l的距离的最大值为 .,答案,解析 把x=1代入y= 得y= ,则切线l过点 . 求导得y=- ,切线的斜率k=y|x=1=- . 切线l的方程为y- =- (x-1),即mx+4y-3m=0. 点(2,-
25、1)到直线l的距离d= = , m0, d= = = = = = . 当且仅当m= ,即m=4时取“=”, 故所求最大值为 .,8.(2019苏州期初,20)若对任意的实数k,b,函数y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切,则称函数f(x)为 “恒切函数”. (1)判断函数f(x)=x2是不是“恒切函数”; (2)若函数f(x)=mln x+nx(m0)是“恒切函数”,求实数m,n满足的关系式; (3)若函数f(x)=(ex-x-1)ex+m是“恒切函数”,求证:- m0.,解析 (1)函数f(x)=x2为“恒切函数”.设切点为(x0,y0). 则 (2分) 对于函数f(x)=x2,
26、f (x)=2x. 设切点为(x0,y0), (3分) 解得x0=0.f(x)=x2是“恒切函数”. (4分) (2)若函数f(x)=mln x+nx(m0)是“恒切函数”,设切点为(x0,y0), f (x)= +n, (5分) 解得ln x0=1,即x0=e. (7分) 实数m,n满足的关系式为m+ne=0. (8分) (3)证明:函数f(x)=(ex-x-1)ex+m是“恒切函数”,设切点为(x0,y0). f (x)=(2ex-x-2)ex, (10分) 求方程2ex=x+2的解,设g(x)=2ex-x-2. g(x)=2ex-1,令g(x)=0,解得x=-ln 2. 当x(-,-ln
27、 2)时,g(x)0,g(x)单调递增. g(x)min=g(-ln 2)=ln 2-10,g(-1)= -10, g(x)=2ex-x-2在(-,-ln 2)上有唯一零点x0(-2,-1). 又m=-( -x0-1) = x0(x0+2),m . (14分) 当x(-ln 2,+)时, g(0)=0,g(x)=2ex-x-2在(-ln 2,+)上有唯一零点0,m=0. (15分) 综上可知,- m0. (16分),考点二 导数的运算,1.(2018丹阳高级中学期中,11)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1, f(x1)处的切线与该曲线 交于另一点Q(x2, f(x2),记
28、f (x)为函数f(x)的导数,则 的值为 .,答案,解析 f(x)=x3,f (x)=3x2. 则曲线y=f(x)在点P(x1, f(x1)处的切线斜率为f (x1)=3 ,则曲线y=f(x)在点P(x1, f(x1)处的切线方 程为y- =3 (x-x1), 与y=x3联立得x3-3x +2 =(x-x1)2(x+2x1)=0, x2=-2x1.f (x2)=3 =12 . = .,2.(2018常州武进期中,20)已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-ln x,aR. (1)若函数y=f(x)的图象在点(1, f(1)处的切线经过点(2,11),求实数a的值; (2)若函数y=f(x
29、)在区间(2,3)上单调,求实数a的取值范围.,解析 (1)由题意得f (x)=2ax+(2a-1)- = = , f (1)=2(2a-1),f(1)=3a-1, 曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=2(2a-1)(x-1)+3a-1. 代入点(2,11),得a=2. (2)f (x)= , 若函数f(x)在区间(2,3)上单调递增,则y=2ax-10在(2,3)上恒成立, 解得a ; 若函数f(x)在区间(2,3)上单调递减,则y=2ax-10在(2,3)上恒成立, 解得a . 综上,实数a的取值范围为 .,一、填空题(每小题5分,共35分),B组 20172019年高考
30、模拟专题综合题组 (时间：45分钟 分值：65分),1.(2019苏州期末,8)曲线y=x+2ex在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 .,答案,解析 切点为(0,2),求导得y=1+2ex,切线的斜率为k=3.切线方程为y=3x+2,求得切线与两坐标 轴交点坐标分别为(0,2), ,所以围成的三角形面积为S= 2 = .,2.(2019苏锡常镇四市教学情况调查(二),12)已知点P在曲线C:y= x2上,曲线C在点P处的切线 为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q,O为坐标原点,若OPOQ,则点P的纵 坐标为 .,答案 1,解析 设P ,t0.对y= x2求导得y=x
31、,则切线l的斜率k=t,则与切线垂直的直线PQ的斜率 为- . 则PQ:y- =- (x-t), 与曲线方程联立解得Q . 因为OPOQ,所以 =0,即t + =0,整理得 =1,解得t2=2,故P的纵坐标 为1.,3.(2019如皋检测,14)已知P,Q为曲线C:y=-x2+1上在y轴两侧的点,过P,Q分别作曲线C的切线,则 两条切线与x轴围成的三角形面积的最小值为 .,答案,解析 设两条切线的交点坐标为M(m,n),n1,切线方程为y=kx-km+n. 联立得 整理得x2+kx-km+n-1=0, =k2+4km-4n+4=0|k1-k2|=4 ,k1k2=-4n+4. 切线与x轴交点为
32、S= n2= . 显然S . 设t= ,t0,则n2=(t2+1)2. 令f(x)= = x3+x+ ,x0. f (x)= ,易知,当x 时, f (x)0, f(x) 单调递增,故f(x)在x= 处取极小值,即最小值, f(x)min=f = . 故Smin= .,一题多解 不妨设P,Q分别在y轴的左、右两侧,P(-x1,1- ),Q(x2,1- )(x1,x20). 过点P的切线方程为l1:y=2x1x+ +1,过点Q的切线方程为l2:y=-2x2x+ +1,则l1,l2的交点的纵坐标 为1+x1x2. l1,l2与x轴交点的横坐标的差的绝对值为 = . 于是过P,Q两点的切线与x轴围成
33、的三角形面积 S= = . 易知当x1= ,x2= 时,即P ,Q 时取等号. 所以过P,Q两点的切线与x轴围成的三角形面积的最小值为 .,4.(2018苏州期末,14)已知直线y=a分别与直线y=2x-2,曲线y=2ex+x交于点A,B,则线段AB长度的 最小值为 .,答案,解析 作曲线y=2ex+x的切线,使切线与直线y=2x-2平行, 设切点为M(x0,2 +x0),易得y=2ex+1, 则切线的斜率k=2 +1=2x0=ln , 故M , 故切线方程为y=2x+1+ln 2,切线与x轴的交点坐标为 . 已知直线y=2x-2与x轴的交点坐标为(1,0), 故AB长的最小值为1- = .,
34、思路点拨 要使得AB长度最小,只需研究曲线y=2ex+x平行于y=2x-2的切线与直线y=2x-2的距 离即可.,5.(2018如皋期中,14)若不等式2ex-nx+150在R上恒成立,则正整数n的最大值是 .,答案 14,解析 不等式2ex-nx+150在R上恒成立等价于y=2ex的图象恒在直线y=nx-15上方,直线y=nx-15 与y=2ex的图象相切时斜率n最大,设切点的横坐标为x0,由y=2ex得y=2ex,则n=2 ,故切线方程为 y-2 =2 (x-x0).易知直线y=nx-15恒过点(0,-15),将点(0,-15)代入切线方程可得2 (x0-1)-15=0. 令g(x)=2e
35、x(x-1)-15,易知g(x)在(1,+)上单调递增,易求得g(2)0,故x0(2,3),故n=2 (2e2,2e3),因为y=2ex的图象恒在直线y=nx-15上方,所以n=2 2e2,而2e2(14,15),所以正整数n 的最大值是14.,评析 本题主要考查利用导数求切线方程,数形结合思想的应用以及不等式恒成立问题,属于 难题.,6.(2018苏北四市开学考试,14)已知a,b,c,dR且满足 = =1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值 为 .,答案 (2-ln 3)2,解析 由 =1可知点(a,b)在曲线y=x+3ln x上, 由 =1可知点(c,d)在直线y=2x+3上, 作曲线
36、y=x+3ln x与直线y=2x+3平行的切线, 设切点为P(x0,x0+3ln x0), y=1+ ,则y =1+ =2,所以x0=3, 故切点为P(3,3+3ln 3). 的最小值为P到直线y=2x+3的距离,即 = , 则(a-c)2+(b-d)2的最小值为 .,思路点拨 由(a-c)2+(b-d)2联想到两点间距离的平方,这样由 = =1得到直线与曲线, 从而求直线上的点与曲线上的点的最小距离,从而找到解题思路.,7.(2017徐州月考,14)已知点P在曲线C:y=aex上,记曲线C在点P处的切线与坐标轴围成的三角 形的面积为S,若使得S=a2的点P有三个,则实数a的取值范围是 .,答
37、案 ,解析 设P(x0,a ),则y =a , 故曲线在点P处的切线方程为y-a =a (x-x0), 令x=0,可得y=a (1-x0), 令y=0,可得x=-1+x0, 由题意得 |a (1-x0)|-1+x0|=a2, 即 (x0-1)2=2|a|. 令f(x)=ex(x-1)2, 则f (x)=ex(x+1)(x-1),可知函数f(x)在(-,-1),(1,+)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 故f(1)2|a|f(-1),即02|a| , 所以实数a的取值范围是 .,二、解答题(共30分) 8.(2019南京、盐城期末,19)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则
38、称x0为函数y=f(x)的 极值点.设函数f(x)=x3-tx2+1(tR). (1)若函数f(x)在(0,1)上无极值点,求t的取值范围; (2)求证:对任意实数t,在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行; (3)当t=3时,若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4,问这样的平行切线共有 几组?请说明理由.,解析 (1)由函数f(x)=x3-tx2+1,得f (x)=3x2-2tx. 由f (x)=0,得x=0或x= t. 因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以 t0或 t1, 解得t0或t . (4分) (2)证明:令f (x)=3x2-2tx=p,即3x2-2t
39、x-p=0,=4t2+12p. 当p- 时,0,此时3x2-2tx-p=0存在两个不同的解x1,x2. (8分) 易知这两条切线方程分别为y=(3 -2tx1)x-2 +t +1和y=(3 -2tx2)x-2 +t +1. 若两切线重合,则-2 +t +1=-2 +t +1, 即2( +x1x2+ )=t(x1+x2), 即2(x1+x2)2-x1x2=t(x1+x2). 而x1+x2= ,则x1x2= , 此时(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= - =0,与x1x2矛盾,所以,这两条切线不重合. 综上,对任意实数t,函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行. (10分) (3)
40、当t=3时, f(x)=x3-3x2+1, f (x)=3x2-6x. 由(2)知x1+x2=2时,两切线平行. 设A(x1, -3 +1),B(x2, -3 +1), 不妨设x1x2,则x11. 过点A的切线方程为y=(3 -6x1)x-2 +3 +1. (11分) 所以,两条平行线间的距离 d= = =4, (10分) 化简得(x1-1)6=1+9(x1-1)2-12, (13分) 令(x1-1)2=(0),则3-1=9(-1)2, 即(-1)(2+1)=9(-1)2,即(-1)(2-8+10)=0.,显然=1为一解,2-8+10=0有两个异于1的正根,所以这样的值有3个. 因为x1-10
41、,所以x1值有3个, 所以满足此条件的平行切线共有3组. (15分),9.(2019七大市第二次调研,19)已知函数f(x)=2ln x+ x2-ax,aR. (1)当a=3时,求函数f(x)的极值; (2)设函数f(x)在x=x0处的切线方程为y=g(x),若函数y=f(x)-g(x)是(0,+)上的单调增函数,求x0的 值; (3)是否存在一条直线与函数y=f(x)的图象相切于两个不同的点?并说明理由.,解析 (1)当a=3时,函数f(x)=2ln x+ x2-3x,定义域为(0,+). 则f (x)= +x-3= , 令f (x)=0,得x=1或x=2. (2分) 列表:,所以函数f(x
42、)的极大值为f(1)=- ;极小值为f(2)=2ln 2-4.(4分) (2)依题意,得切线方程为y=f (x0)(x-x0)+f(x0)(x00), 从而g(x)=f (x0)(x-x0)+f(x0)(x00), 记p(x)=f(x)-g(x), 则p(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0)在(0,+)上为单调增函数, 所以p(x)=f (x)-f (x0)0在(0,+)上恒成立, 即p(x)= - +x-x00在(0,+)上恒成立. (8分) 解法一:变形得 (x-x0)0在(0,+)上恒成立, 所以 =x0,又x00,所以x0= . (10分) 解法二:变形得x+ x0+
43、在(0,+)上恒成立, 因为x+ 2 =2 (当且仅当x= 时,等号成立),所以2 x0+ ,从而(x0- )20,所以x0= . (10分) (3)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),不妨设0x1x2, 则T1处切线l1的方程为y-f(x1)=f (x1)(x-x1), T2处切线l2的方程为y-f(x2)=f (x2)(x-x2), 因为l1,l2为同一条直线, 所以 (12分) 即 整理得 (14分) 消去x2,得2ln + - =0. 令t= ,由0x1x2与x1x2=2,得t(0,1),记p(t)=2ln t+ -t,则p(t)= - -1=- ,则p(t)p (1)=0. 从而式不可能成立,所以假设不成立,从而不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的 切点. (15分),