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1、9.3 抛物线,20102019年高考全国卷考情一览表,考点98,考点99,考点100,考点98抛物线的定义及标准方程 1.(2015浙江,理5,5分,难度)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是( A ),考点98,考点99,考点100,解析如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4. 过Q作QHl于H,则|QH|=|QF|.由题意,得PHQPMF,考点98,考点99,考点100,3.(2014全国1,文10,5分,难度)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是
2、C上一点,|AF|= x0,则x0=( A ) A.1 B.2 C.4 D.8,考点98,考点99,考点100,4.(2013全国2,理11,5分,难度)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( C ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x,所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.,考点98,考点99,考点100,考点98,考点99,考点100,6.(2013全国2,文10,5分,难度)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且
3、与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( C ) A.y=x-1或y=-x+1,考点98,考点99,考点100,解析由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1. 当直线l的斜率大于0时,如图所示,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|. 设|AM|=|AF|=3t(t0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,考点98,考点99,考点100,7.(2012四川,理8文9,5分,难度)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的
4、距离为3,则|OM|=( B ),考点98,考点99,考点100,8.(2011全国,文9,5分,难度)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为( C ) A.18 B.24 C.36 D.48,考点98,考点99,考点100,9.(2017全国2,理16,5分,难度)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|= 6 .,考点98,考点99,考点100,10.(2017山东,理14文15,5分,难度)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 =1(a0,b0)
5、的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 y= x .,考点98,考点99,考点100,11.(2016浙江,理9,5分,难度)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 9 . 解析设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.,考点98,考点99,考点100,12.(2012陕西,理13文14,5分,难度)下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽2 米.,解析建立如图所示的平面直角坐标系,
6、设抛物线方程为x2=-2py(p0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.,考点98,考点99,考点100,考点99抛物线的几何性质,1.(2016全国1,理10,5分,难度)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的距离为( B ) A.2 B.4 C.6 D.8,解析不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p0),圆的方程为x2+y2=R2.,故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.,考点98,考点99,考点100,2.(2016全国2,文5,5分,难度)设F为抛物线C:y2=4x的焦
7、点,曲线 y= (k0)与C交于点P,PFx轴,则k=( D ),解析因为F为抛物线y2=4x的焦点,所以F(1,0).,考点98,考点99,考点100,3.(2015全国1,文5,5分,难度)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( B ) A.3 B.6 C.9 D.12,解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0), E的右焦点的坐标为(2,0).,抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.,考点98,考点99,考点100,4.(2015陕西,文3
8、,5分,难度)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( B ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 解析抛物线的准线方程为x=-1, 则其焦点坐标为(1,0).,5.(2014安徽,文3,5分,难度)抛物线y= x2的准线方程是( A ) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 解析抛物线x2=4y的准线方程为y=-1.,本题中所给出的抛物线方程不是标准形式,需先变形.,考点98,考点99,考点100,6.(2013四川,文5,5分,难度)抛物线y2=8x的焦点到直线x- y=0的距离是( D ) A.2 B
9、.2 C. D.1,7.(2012全国,理8文10,5分,难度)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4 ,则C的实轴长为( C ),考点98,考点99,考点100,8.(2018北京,文10,5分,难度)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 (1,0) .,a=1.抛物线方程为y2=4x, 焦点坐标为(1,0).,考点98,考点99,考点100,9.(2017天津,文12,5分,难度)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于
10、点A,若FAC=120,则圆的方程为 (x+1)2+(y- )2=1 .,解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1, 由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b0),则C(-1,b),A(0,b).,考点98,考点99,考点100,10.(2014陕西,文11,5分,难度)抛物线y2=4x的准线方程为 x=-1 .,解析在抛物线y2=4x中,由2p=4,得 =1. 又因为其开口向右,故其准线方程为x=-1.,考点98,考点99,考点100,考点100直线和抛物线的位置关系,A.5 B.6 C.7 D.8,考点98,考点99,考点100,2.(2017全国1,
11、理10,5分,难度)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( A ) A.16 B.14 C.12 D.10,考点98,考点99,考点100,解析由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意. 设直线l1方程为y=k1(x-1),考点98,考点99,考点100,3.(2015四川,理10,5分,难度)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( D ) A.(1
12、,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4),考点98,考点99,考点100,解析如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). 当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.,考点98,考点99,考点100,4.(2014全国2,理10,5分,难度)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为( D ),考点98,考点99,考点100,设A(x1,y1),B(x2,y2),考点98,考点99,考点100,5.(2014全国2,文
13、10,5分,难度)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=( C ),考点98,考点99,考点100,6.(2018全国3,理16,5分,难度)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k= 2 .,设AB中点为M(x0,y0),抛物线的焦点为F,分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足为A,B,M(x0,y0)为AB中点,M为AB的中点, MM平行于x轴,y1+y2=2,k=2.,考点98,考点99,考点100,7.(2014湖南,文14,5分,难度)平面上一机器人在行进中始终保
14、持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 (-,-1)(1,+) .,解析由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4x.由题意知过点P的直线为y=kx+k(k0),要使机器人接触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得 y2-y+k=0,即=1-k21或k-1.,考点98,考点99,考点100,8.(2013浙江,理15,5分,难度)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于 1 .,考点98,考点99,考
15、点100,9.(2019全国1,理19,12分,难度)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;,考点98,考点99,考点100,考点98,考点99,考点100,10.(2019浙江,21,15分,难度)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记AFG,CQG的面积分别为S1,S2. (1)求p的值及抛物线的准线方程; (2)求 的最小值及此时点G的坐标.,考点98
16、,考点99,考点100,所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0). 由于Q在焦点F的右侧,故t22.从而,考点98,考点99,考点100,本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.,考点98,考点99,考点100,11.(2018全国2,理19文20,12分,难度)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程. (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.,考点98,考点99,考点100,解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(
17、x-1)(k0). 设A(x1,y1),B(x2,y2).,k=-1(舍去),k=1. 因此l的方程为y=x-1.,(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则,考点98,考点99,考点100,因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.,考点98,考点99,考点100,12.(2017全国3,理20,12分,难度)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (
18、2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.,考点98,考点99,考点100,解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.,故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.,考点98,考点99,考点100,考点98,考点99,考点100,13.(2017全国1,文20,12分,难度)设A,B为曲线C:y= 上两点,A与B的横坐标之和为4.
19、 (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.,考点98,考点99,考点100,考点98,考点99,考点100,14.(2016全国1,文20,12分,难度)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H. (1)求 ; (2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.,考点98,考点99,考点100,(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点. 理由如下:,代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t
20、,即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.,考点98,考点99,考点100,15.(2012全国,理20文20,12分,难度)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点. (1)若BFD=90,ABD的面积为4 ,求p的值及圆F的方程; (2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.,考点98,考点99,考点100,解得p=-2(舍去),p=2. 所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8. (2)因为A,B,F三点在同一直线m上, 所以AB为圆F的直径,ADB=90.,考点98,考点99,考点100,