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1、第五讲 数列与不等式,高考预测:数列与不等式都属于高考必考的重点与热点,数列命题与解三角形命题形成互补关系,试题中等偏易,侧重等差、等比数列的基本运算与数列求和问题;不等式的命题多为线性规划问题,不等式的求解多与集合的基本运算相结合,多属于易题或中等题目,难度不大.,一、数列的概念与性质 1.已知Sn,求an的步骤 (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n2时,an=Sn-Sn-1. (3)对n=1时的情况进行检验,若适合n2的通项则可以合并;若不适合则写成分段函数形式. 2.解决数列单调性问题的三种方法 (1)作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列.
2、 (2)作商比较法,根据 (an0或an0)与1的大小关系进行判断. (3)函数法,结合相应函数的图象直观判断.,二、等差数列与等比数列 1.等差数列运算问题的一般方法 (1)等差数列运算问题的一般解法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题. 2.等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2. (3)通项公式法:得出
3、an=pn+q后,再根据定义判定数列an为等差数列. (4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列an为等差数列.,3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*). (2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an. (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d. (4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn也是等差数列. (5)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为md的等差数列. (6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m
4、,为等差数列.,5.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN*). (2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman. (3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则,(4)若公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn. 6.与等比数列有关的问题要注意对公比q的讨论,若等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,则当q=1时,an=a1,Sn=na1;当,三、数列求和的常用方法 1.公式法:直接利用等差、等比数列的求和公式求和. 2.分组求和法:把数列转化为几个
5、等差、等比数列,再求解.常见类型: (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组求和法求an的前n项和. (2)通项公式为an= 的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.,3.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. 常见的裂项公式:,4.错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和. 错位相减法求和时的注意点: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式; (3
6、)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 5.并项求和法:先将数列中的某些项合并后再求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.,四、不等式 1.比较大小的常用方法 (1)作差法,作差后与0比较得出结论; (2)作商法,作商后与1比较得出结论; (3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系. 2.求代数式的取值范围 利用不等式的性质求某些代数式的取值范围时,一般利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,进而得解.,3.含有参数的一元二次不等式的求解,往往需要对参数进行分
7、类讨论. (1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论. (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是一元二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.,4.不等式恒成立求参数问题 (1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒
8、成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.,5.线性规划问题的求解数形结合 (1)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. (2)当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义,(3)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件.,6.利用均值不等式求解最值问题 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提是“一正”“二定”“三相等”. (2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积或和为常数的形式,再利用基本不等式求最值. (3)条件最值的求解通常有两种方法,一是消元法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求最值.,1.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中,a10,d0,则Sn存在最小值. 2.等比数列an的单调性,(4)当qb0,m0,则,