2020版高考数学（江苏专用）一轮课件：第二十章§20.1 离散型随机变量及其分布列、均值和方差 .pptx

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1、第二十章 概率统计 20.1 离散型随机变量及其分布列、均值和方差,高考数学 (江苏省专用),五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,1.(2019江苏,23,10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An=(0,0),(1,0),(2,0),(n,0),Bn=(0,1), (n,1),Cn=(0,2),(1,2),(2,2),(n,2),nN*.令Mn=AnBnCn.从集合Mn中任取两个不同的点,用 随机变量X表示它们之间的距离. (1)当n=1时,求X的概率分布; (2)对给定的正整数n(n3),求概率P(Xn)(用n表示).,解析 本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识

2、,考查逻辑思 维能力和推理论证能力.满分10分. (1)当n=1时,X的所有可能取值是1, ,2, . X的概率分布为 P(X=1)= = ,P(X= )= = , P(X=2)= = ,P(X= )= = . (2)设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点. 因为P(Xn)=1-P(Xn),所以仅需考虑Xn的情况. 若b=d,则ABn,不存在Xn的取法; 若b=0,d=1,则AB= ,所以Xn当且仅当AB= ,此时a=0,c=n或a=n,c=0, 有2种取法; 若b=0,d=2,则AB= .因为当n3时, n,所以Xn当且仅当AB= ,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法

3、; 若b=1,d=2,则AB= ,所以Xn当且仅当AB= ,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法. 综上,当Xn时,X的所有可能取值是 和 ,且 P(X= )= ,P(X= )= . 因此,P(Xn)=1-P(X= )-P(X= )=1- .,2.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,nN*,n2),这些球除颜色外完 全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,m+n的抽屉内,其 中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,m+n).,(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P; (2)随机变量X表示最后一个取出的

4、黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X) .,解析 本题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其 性质,考查运算求解能力和推理论证能力. (1)解法一:若只考虑球的黑白差异(即同色球之间是不加区别的),编号为2的抽屉内放的是黑 球的概率P= = . 解法二:若将所有的球都看作不同的,则P= = . 解法三:若只考虑第二次放球,则P= . (2)随机变量X的概率分布为:,随机变量X的期望为: E(X)= = . 所以E(X) = = (1+ + + ) = ( + + + ) = ( + + ) = ( + ) = = , 即E(X) .,B组

5、 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 随机变量及其分布列、超几何分布,1.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分 层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检 查. (i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; (ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概 率.,解析 本题主要考查随机抽样、离散型随机变

6、量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加 法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽 取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3). 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = . (ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取 的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=

7、BC,且B与C互斥. 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)= . 所以,事件A发生的概率为 .,名师点睛 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分 布的特点: (1)考察对象分两类; (2)已知各类对象的个体数; (3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布. 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.,2.(2017课标全国理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每

8、瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经 验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最 高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月 份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位: 瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?,解析 本题考查随机变量的分布列,数学

9、期望. (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 P(X=200)= =0.2,P(X=300)= =0.4,P(X=500)= =0.4. 因此X的分布列为,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n500. 当300n500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=6

10、40-0.4n. 当200n300时, 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.,3.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影 响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙 种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6名男志愿者A1,A2,A3

11、,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另 5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.,解析 本题考查离散型随机变量的分布列,期望. (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M, 则P(M)= = . (2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = , P(X=4)= = . 因此X的分布列为,X的数学期望是 E

12、X=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1 +2 +3 +4 =2.,解后反思 (1)求离散型随机变量X的分布列的步骤: 理解X的含义,写出X所有可能的取值. 求X取每个值时的概率; 写出X的分布列. (2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意 应用计数原理,古典概型概率公式等知识.,考点二 离散型随机变量的均值与方差,1.(2019浙江改编,7,4分)设0a1.随机变量X的分布列是,则当a在(0,1)内增大时, . D(X)增大;D(X)减小; D(X)先增大后减小;D(X)先减小后增大.,答案 ,解

13、析 本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差,考查了学生的运算求解能力 及逻辑推理能力,考查了数学运算的核心素养. 随机变量X的期望E(X)=0 +a +1 = , D(X)= = (a2-a+1)= + , 当a 时,D(X)单调递减,当x 时,D(X)单调递增.,易错警示 本题易出错的地方有两个:方差公式记忆错误致错; 计算方差时,运算过程出错.,2.(2018浙江改编,7,4分)设0p1,随机变量的分布列是,则当p在(0,1)内增大时,下列说法正确的是 . D()减小 D()增大 D()先减小后增大 D()先增大后减小,答案 ,解析 本题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函

14、数的单调性. 由题意得E()=0 +1 +2 = +p, D()= + + = (1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2p =-p2+p+ =- + . 由 得0p1, D()在 上单调递增,在 上单调递减.,3.(2017浙江改编,8,4分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0D(2); E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2).,答案 ,解析 本题考查随机变量的概念及其分布列,随机变量的期望、方差的计算,考查推理运算能 力,利用作差比较法比较两式的大小,构造函数,利用函数的单调性比较两式的大小. 解法一:E(1)=0(1

15、-p1)+1p1=p1, 同理,E(2)=p2,又00,(p1-p2)(1-p1-p2)0. D(1)D(2). 解法二:同解法一知E(1)E(2),D(1)=p1- ,D(2)=p2- , 令f(x)=x-x2,则f(x)在 上为增函数,0p1p2 ,f(p1)f(p2),即D(1)D(2).,4.(2017北京理,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一 组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中 “*”表示服药者,“+”表示未服药者. (1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的

16、概率; (2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分 布列和数学期望E(); (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需 写出结论),解析 本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识. (1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机 选出一人,此人指标y的值小于60的概率为 =0.3. (2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C. 所以的所有可能取值为0,1,2. P(=0)= = ,P(=1)

17、= = ,P(=2)= = . 所以的分布列为,故的期望E()=0 +1 +2 =1. (3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.,方法总结 在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个 取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;在比较数据的方差时,可以根据两组数据的 集中或分散程度进行比较.,5.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机 检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (

18、2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).,解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A, P(A)= = . (2)X的可能取值为200,300,400. P(X=200)= = , P(X=300)= = , P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1- - = . 故X的分布列为,EX=200 +300 +400 =350.,C组 教师专用题组,考点一 随机变量及其分布、超几何分布,1.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,

19、顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽 奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个 球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获 奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学 期望.,解析 (1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球, A2=从乙箱中摸出的1个球是红球, B1=顾客抽奖1次获一等奖, B2=顾客抽奖1次获二等奖, C=顾客抽奖1次能获奖. 由题意,得A1与A2相互独立,A1 与 A2互斥,B1与B2互

20、斥,且B1=A1A2,B2=A1 + A2,C=B1+B2. 因为P(A1)= = ,P(A2)= = , 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= = , P(B2)=P(A1 + A2)=P(A1 )+P( A2) =P(A1)P( )+P( )P(A2) =P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2) = + = . 故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= + = .,(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为 ,所以XB . 于是P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = ,

21、P(X=3)= = . 故X的分布列为,X的数学期望为E(X)=3 = .,2.(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女 生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相 当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布 列和数学期望.,解析 (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的

22、概率为 = . 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1- = . (2)根据题意,X的可能取值为1,2,3. P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = . 所以X的分布列为,因此,X的数学期望为 E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3) =1 +2 +3 =2.,评析 本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知 识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的 能力.,3.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关, 对其容量为1

23、00的样本进行统计,结果如下:,(1)求T的分布列与数学期望ET; (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘 教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.,解析 (1)由统计结果可得T的频率分布为,以频率估计概率得T的分布列为,从而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟). (2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同. 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于 “刘教授在路途中的时间不超过70分钟”. 解法一:P(

24、A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T235)+P(T1=40,T230) =0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91. 解法二:P( )=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09. 故P(A)=1-P( )=0.91.,4.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡 片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. (1)求所

25、取3张卡片上的数字完全相同的概率; (2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望. (注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数),解析 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为 P= = . (2)X的所有可能值为1,2,3,且 P(X=1)= = ,P(X=2)= = , P(X=3)= = , 故X的分布列为,从而E(X)=1 +2 +3 = .,评析 本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整 体难度不大,属中等偏易题.,5.(2014江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球

26、除颜色外完 全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P; (2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x 1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).,解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球, 所以P= = = . (2)随机变量X的所有可能取值为2,3,4. X=4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)= = ; X=3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他 颜色的球”,故P(X=3)= = = ; 于是

27、P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1- - = . 所以随机变量X的概率分布如下表:,因此随机变量X的数学期望 E(X)=2 +3 +4 = .,思路分析 (1)取出两个颜色相同的球:取出两个绿球,有 种情况,取出两个黄球,有 种情况, 取出两个红球,有 种情况,任取两个球有 种情况,根据概率公式求概率即可.(2)先确定X的 所有可能取值,然后分别求出每个取值情况下的概率,然后可得分布列,进而求得数学期望.,6.(2012江苏,22,10分)设为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交 时,=0;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,=1.

28、(1)求概率P(=0); (2)求的分布列,并求其数学期望E().,解析 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以 共有8 对相交棱,因此P(=0)= = = . (2)若两条棱平行,则它们的距离为1或 ,其中距离为 的共有6对, 故P(= )= = , 于是P(=1)=1-P(=0)-P(= )=1- - = , 所以随机变量的分布列是,因此E()=1 + = .,评析 本题主要考查概率分布、数学期望等基础知识,考查运算求解能力.,考点二 离散型随机变量的均值与方差,1.(2014浙江,12,5分)随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)= ,E(

29、)=1,则D()= .,答案,解析 设P(=1)=p,则P(=2)= -p,从而由E()=0 +1p+2 =1,得p= .故D()=(0-1)2 +(1-1)2 +(2-1)2 = .,2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将 被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码 是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝 试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列

30、和数学期望.,解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, 则P(A)= = . (2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3. 又P(X=1)= ,P(X=2)= = ,P(X=3)= 1= , 所以X的分布列为,所以E(X)=1 +2 +3 = .,评析 本题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基 础知识,考查运算求解能力、应用意识.,3.(2015北京,16,13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如 下: A组:10,11,12,13,14,15,16; B组:12,13,15,16,17,14,a. 假设所有

31、病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的 人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率; (2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明),解析 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”, 事件Bj为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,7. 由题意可知P(Ai)=P(Bj)= ,i,j=1,2,7. (1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第 7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5A6A7)=P(A5)+

32、P(A6)+P(A7)= . (2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”. 由题意知,C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6. 因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6) =10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)= . (3)a=11或a=18.,4.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2 个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取

33、3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率; (2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.,解析 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)= = . (2)X的所有可能值为0,1,2,且 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = . 综上知,X的分布列为,故E(X)=0 +1 +2 = (个).,5.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来 自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随 机选取3名同学,到希望小学进行支教活动

34、(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则 P(A)= = . 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 . (2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3). 所以随机变量X的分布列是,随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = .,评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数 学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实

35、际问题的能力.,6.(2013重庆理,18,13分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先 从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出 1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:,其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).,解析 设Ai表示摸到i个红球,Bj表示摸到j个蓝球,则Ai(i=0,1,2,3)与Bj(j=0,1)独立. (1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)= = . (2)X的所有可能的

36、值为0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= = , P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)= = , P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= = = , P(X=0)=1- - - = . 综上知X的分布列为,从而有E(X)=0 +10 +50 +200 =4(元).,7.(2013天津理,16,13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色 卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率

37、; (2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析 (1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)= = . 所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为 . (2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=1)= = ,P(X=2)= = , P(X=3)= = ,P(X=4)= = . 所以随机变量X的分布列是,随机变量X的数学期望EX=1 +2 +3 +4 = .,评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学 期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.,三

38、年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019扬州中学3月检测,22)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活 动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩,并规定X85为考核优秀.为 了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如 下茎叶图: (1)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率; (2)从图中考核成绩满足X70,79的学生中任取3人,设Y表示这3人中成绩满足|X-85|10的 人数,求Y的分布列和数学期望.,解析 (1)设“该名学生考核成绩优秀”为事件A

39、. 由茎叶图中的数据可以知道,30名学生中,有7名学生考核优秀,所以所求概率约为 . (2)因为成绩X70,79的学生共有8人,其中满足|X-85|10的学生有5人,所以Y的所有可能取 值为0,1,2,3. 所以P(Y=0)= = ,P(Y=1)= = , P(Y=2)= = ,P(Y=3)= = . 则随机变量Y的分布列为,故E(Y)=0 +1 +2 +3 = .,2.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,22)某物理老师准备从3道经典题和5道 原创题中随机选择4道题组成一份物理竞赛试卷. (1)求该试卷至少有1道经典题的概率; (2)根据以往对试卷的评价分析,经典题评价指数一

40、般为a(a为常数),原创题评价指数一般为2a. 试卷的评价指数为每道题的评价指数之和,求这份物理竞赛试卷评价指数的概率分布及数学 期望.,解析 (1)设“至少有1道经典题”为事件A, (1分) 则事件A的对立事件 为“没有经典题”. 所以P(A)=1-P( )=1- = . (2分) 答:该试卷至少有1道经典题的概率为 . (3分) (2)设表示选用经典题的道数,则的所有可能取值为0,1,2,3.设X为试卷的评价指数,依题意,得 X=a+2a(4-), 故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a. (4分) 则P(X=8a)=P(=0)= = , P(X=7a)=P(=1)= = , P(X

41、=6a)=P(=2)= = , P(X=5a)=P(=3)= = . (8分) (每算对一个得1分),从而X的概率分布为,所以E(X)=8a +7a +6a +5a = a. (10分),3.(2019海安期末,22)从集合P=x|1x9,xN*中等可能地取出m个不同元素,记所取元素之 和为. (1)若m=2,求为偶数的概率; (2)若m=3,表示被3整除的余数,求的概率分布及数学期望E().,解析 (1)当m=2时,为偶数的概率P= = . (2分) (2)当m=3时,因为表示被3整除的余数,所以的所有可能取值为0,1,2. 记集合A=1,4,7,B=2,5,8,C=3,6,9. 则“=0”

42、表示从A,B,C中各取1个或从A中取3个或从B中取3个或从C中取3个,所以P(=0)= = ; (4分) “=1”表示从A中取1个、C中取2个或从A中取2个、B中取1个或从B中取2个、C中取1个,所 以P(=1)= = ; (6分) “=2”表示从A中取2个,C中取1个或从B中取1个,C中取2个或从A中取1个,B中取2个,所以P (=2)= = . (8分) 所以的概率分布为,所以E()=0 +1 +2 = . (10分),4.(2019苏州期末,22)已知正四棱锥S-ABCD的底面边长和高均为2,从其五个顶点中任取三个, 记这三个顶点围成的三角形的面积为. (1)求概率P(=2); (2)求

43、的分布列和数学期望.,解析 (1)=2时,所取三点是底面ABCD的四个顶点中的任三个, 所以P(=2)= = = . (2分) (直接列举同样给2分,不做任何说明直接给结果的扣1分) (2)的可能取值为2, ,2 , 则P(=2)= ; P(= )= = ; P(=2 )= = . (6分) 所以的分布列为,(8分) 故的数学期望为E()=2 + +2 = . (10分) (的取值有错误的该条不给分,后续期望也不给分;概率分布列正确,没有列表的不扣分),5.(2018常州期末,22)已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱 中任取两条,按下列方式定义随机变量的值:

44、若这两条棱所在的直线相交,则的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制); 若这两条棱所在的直线平行,则=0; 若这两条棱所在的直线异面,则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). (1)求=0的概率; (2)求随机变量的分布列及数学期望E().,解析 根据题意知四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到PAC,PBD 为等腰直角三角形.的可能取值为0, , ,共 =28种情况,其中: =0时,有2种;= 时,有34+24=20种;= 时,有2+4=6种. (1)P(=0)= = . (2)P = = ,P = = . 随机变量的分布列如下表:,故E()=0 + + = .,评

45、析 理解随机变量的含义,按照变量的取值分类,求出分布列,进而求得期望,难度适中.,6.(2017苏州高三调研测试)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数 字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第 一次与第二次取到卡片上数字之和为. (1)为何值时,其发生的概率最大?说明理由; (2)求随机变量的数学期望E().,解析 (1)依题意,随机变量的取值是2,3,4,5,6. 因为P(=2)= = ; P(=3)= = ; P(=4)= = ; P(=5)= = ; P(=6)= = . 所以,当=4时,其发生的概率最大,最大值为P(

46、=4)= . (2)E()=2 +3 +4 +5 +6 = , 所以,随机变量的数学期望E()= .,解答题(共40分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：30分钟 分值：40分),1.(2019如东中学、栟茶中学期末,23)为了丰富学生的课余生活,某校决定在每周的同一时间 开设舞蹈、美术、声乐、棋类四门校本活动课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本活 动课程中随机选一门进行学习,假设三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等 可能的. (1)求甲、乙、丙三人均不选择舞蹈课程的概率; (2)设X为甲、乙、丙三人中选择舞蹈课程的人数,求X的概率分布和数学期望E(X)

47、.,解析 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门,共有43=64种不同的选法,记“甲、乙、 丙三人均不选择舞蹈课程”为事件A,事件A共包含33=27个基本事件,则P(A)= . 所以甲、乙、丙三人均不选择舞蹈课程的概率为 . (2)解法一:X可能的取值为0,1,2,3. P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = . 所以X的概率分布为,所以E(X)=0 +1 +2 +3 = . 解法二:甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验,X为甲、乙、丙 三人中选舞蹈课程的人数,则XB , 所以P(X=k)= ,k=0,1,2,3, 所以

48、X的概率分布列为,所以X的数学期望E(X)=3 = .,2.(2019金陵中学调研,22)某小组共10人,利用暑期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2, 3的人数分别为3,3,4,现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A,求事件A发生的概率; (2)设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析 (1)从10人中选出2人共有 =45种选法. 事件A:选出的2人参加次数的和为4, 则有以下两种情况: 1人参加1次,1人参加3次,共 =12种; 2人都参加2次,共 =3种. 所以事件A发生的基本事件总数为15种, 所以事件A发生的概率P(A)= = . (2)由(1)知从10人中选出2人共有 =45种选法, 故基本事件总数为45. 设选出2人参加义工活动次数之差的绝对值为X. 故X可能的取值是0,1,2. 当X=0,即2人参加义工活动的次数相同时, 有三种情况:2