《2020版高考数学（江苏专用）一轮课件：第十九章§19.2 二项式定理 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（江苏专用）一轮课件：第十九章§19.2 二项式定理 .pptx（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、19.2 二项式定理,高考数学 (江苏省专用),五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,考点 二项式定理 (2019江苏,22,10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,n4,nN*,已知 =2a2a4. (1)求n的值; (2)设(1+ )n=a+b ,其中a,bN*,求a2-3b2的值.,解析 本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.满 分10分. (1)因为(1+x)n= + x+ x2+ xn,n4, 所以a2= = ,a3= = , a4= = . 因为 =2a2a4, 所以 =2 . 解得n=5. (2)由(1)知,n=5. (1+ )
2、n=(1+ )5 = + + ( )2+ ( )3+ ( )4+ ( )5 =a+b . 解法一:因为a,bN*,所以a= +3 +9 =76,b= +3 +9 =44,从而a2-3b2=762-3442=-32. 解法二:(1- )5= + (- )+ (- )2+ (- )3+ (- )4+ (- )5= - + ( )2- ( )3+ ( )4- ( )5. 因为a,bN*,所以(1- )5=a-b . 因此a2-3b2=(a+b )(a-b )=(1+ )5(1- )5=(-2)5=-32.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点 二项式定理,1.(2019课标全国理改编,4,5分)
3、(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 .,答案 12,解析 本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公式的 运用能力,考查了数学运算的核心素养. (1+x)4的二项展开式的通项为Tk+1= xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 +2 =12.,解题关键 掌握多项式乘法的展开式,熟记二项展开式的通项是解决本题的关键.,2.(2019天津理,10,5分) 的展开式中的常数项为 .,答案 28,解析 本题考查二项展开式的通项,通过二项展开式中指定项的求解考查学生的运算能力,从 而体现运算法则及运算对象选择的素养要素
4、. 二项展开式的通项公式为Tk+1= (2x)8-k =(-1)k 28-k2-3kx8-4k=(-1)k 28-4kx8-4k,令8-4k=0,得 k=2,即T3=(-1)2 20= =28,故常数项为28.,解题关键 熟记二项展开式的通项公式是求解本题的关键.,3.(2019浙江,13,6分)在二项式( +x)9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个 数是 .,答案 16 ;5,解析 本题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,通过通项公式的化简和运算确定其中 的特定项,以此考查学生数学运算的能力和核心素养,以及用方程思想解决求值问题的能力. ( +x)9展开式的通项Tr+1= ( )
5、9-rxr= xr(r=0,1,2,9), 令r=0,得常数项T1= x0= =16 , 要使系数为有理数,则只需 Z,则r必为奇数, 满足条件的r有1,3,5,7,9,共五种, 故系数为有理数的项的个数是5.,解后反思 二项式的展开式中特定项的确定需写出其通项公式,并化简整理,根据特定项的特 点列方程确定r的值,进而可求解特定项.,4.(2018课标全国理改编,5,5分) 的展开式中x4的系数为 .,答案 40,解析 本题考查二项式定理. 的展开式的通项Tr+1= (x2)5-r(2x-1)r=2r x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22 =4 0.,5.(2018天
6、津理,10,5分)在 的展开式中,x2的系数为 .,答案,解析 本题主要考查二项展开式特定项的系数. 由题意得Tr+1= x5-r = , 令5- =2,得r=2,所以 = = . 故x2的系数为 .,方法总结 求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1= an-rbr进行求解.,6.(2018浙江,14,4分)二项式 的展开式的常数项是 .,答案 7,解析 本题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算. 的展开式的通项Tk+1= x-k= ,要使Tk+1为常数,则 =0,k=2, 此时T3= =7,故展开式的常数项为7.,思路分析 (1)求出二项展开式的通项.(2)令通项
7、中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.,7.(2017课标全国理改编,6,5分) (1+x)6展开式中x2的系数为 .,答案 30,解析 本题考查二项展开式中的系数问题,考查学生应用二项式定理解决与展开式系数有关 问题的能力和运算求解能力. 解法一: (1+x)6=1(1+x)6+ (1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数为 =15, (1+x)6的展 开式中的x2的系数为 =15,所以所求展开式中x2的系数为15+15=30. 解法二:因为 (1+x)6= ,所以 (1+x)6展开式中x2的系数等于(1+x2)(1+x)6 展开式中x4的系数,而(1+x2)(1+x)6
8、展开式中x4的系数为 + =30,故 (1+x)6展开式中x2的 系数为30. 解法三:因为 (1+x)6= = - ,所以 (1+x)6展开 式中x2的系数为 -2 =30.,8.(2017课标全国理改编,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 .,答案 40,解析 本题考查二项式定理,求特定项的系数. (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= (2x)5-r(-y)r=(-1)r25-r x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)322 =-40,x 3y2项的系数为(-1)223 =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.,
9、9.(2017山东理,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .,答案 4,解析 本题主要考查二项展开式. (1+3x)n的展开式的通项Tr+1= 3rxr,含有x2项的系数为 32=54,n=4.,10.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .,答案 16;4,解析 本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力. 设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2. 则a4=b2c2+b3c1= 1222+13 2=16
10、, a5=b3c2=1322=4.,11.(2015安徽,11,5分) 的展开式中x5的系数是 .(用数字填写答案),答案 35,解析 展开式的通项为Tk+1= (x3)7-kx-k= x21-4k,令21-4k=5,得k=4,则展开式中x5的系数为 =35.,12.(2016四川理改编,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 .,答案 -15x4,解析 T3= x4i2=-15x4.,13.(2015重庆,12,5分) 的展开式中x8的系数是 (用数字作答).,答案,解析 二项展开式的通项为Tr+1= (x3)5-r = ,令15-3r- =8,得r=2,于是展开式
11、中x8的系数为 = 10= .,14.(2015陕西改编,4,5分)二项式(x+1)n(nN+)的展开式中x2的系数为15,则n= .,答案 6,解析 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 , 所以 =15,即 =15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).,15.(2015湖南改编,6,5分)已知 的展开式中含 的项的系数为30,则a= .,答案 -6,解析 的展开式的通项为Tr+1= ( )5-r =(-a)r . 依题意,令5-2r=3,得r=1,(-a)1 =30,a=-6.,16.(2015湖北改编,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数
12、项的 二项式系数和为 .,答案 29,解析 (1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为 , , = ,得n=10. 从而有 + + + + =210, 又 + + = + + , 奇数项的二项式系数和为 + + =29.,评析 本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.,1.(2014浙江改编,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1, 2)+f(0,3)= .,C组 教师专用题组,答案 120,解析 在(1+x)6的展开式中,xm的系数为 ,在(1+y)4的展开式中,yn的
13、系数为 ,故f(m,n)= . 从而f(3,0)= =20, f(2,1)= =60, f(1,2)= =36, f(0,3)= =4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0, 3)=120.,2.(2014安徽,13,5分)设a0,n是大于1的自然数, 的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn.若点Ai (i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .,答案 3,解析 根据题意知a0=1,a1=3,a2=4, 结合二项式定理得 即 解得a=3.,3.(2014山东,14,5分)若 的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为 .,答案 2,解析 Tr+1= (
14、ax2)6-r = a6-rbrx12-3r, 令12-3r=3,则r=3. a3b3=20,即ab=1. a2+b22ab=2,即a2+b2的最小值为2.,评析 本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理论证及运算求解能力.,4.(2014课标全国,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案),答案,解析 Tr+1= x10-rar,令10-r=7,得r=3, a3=15,即 a3=15,a3= ,a= .,5.(2014大纲全国,13,5分) 的展开式中x2y2的系数为 .(用数字作答),答案 70,解析 Tr+1= =(-1)r ,令
15、得r=4. 所以展开式中x2y2的系数为(-1)4 =70.,6.(2013天津理,10,5分) 的二项展开式中的常数项为 .,答案 15,解析 通项Tr+1= x6-r(-1)r( )r=(-1)r ,令6- r=0,得r=4,所以常数项为(-1)4 =15.,7.(2013课标全国理改编,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2 m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= .,答案 6,解析 由题意得:a= ,b= ,所以13 =7 , = , =13,解得m=6,经检验为原方程的解.,8.(2013安徽理,11,5分)若 的展开
16、式中x4的系数为7,则实数a= .,答案,解析 通项公式Tr+1= x8-r = ar , 由8- r=4得r=3. 故 a3=7,解得a= .,评析 有关二项式定理的展开式的问题,要准确地写出通项公式,并注意二项式系数与系数的 区别.,9.(2013辽宁理改编,7,5分)使 (nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为 .,答案 5,解析 Tr+1= (3x)n-r = 3n-r = 3n-r (r=0,1,2,n), 若Tr+1是常数项,则有n- r=0,即2n=5r(r=0,1,n),当r=0,1时,n=0, ,不满足条件;当r=2时,n=5.故 填5.,三年模拟,A组 20172019年
17、高考模拟考点基础题组,考点 二项式定理,1.(2019海安高级中学期中,22)若 展开式中前三项的系数成等差数列,求: (1)展开式中所有x的有理项; (2)展开式中系数的最大项.,解析 易求得展开式前三项的系数为1, , . 根据题意得2 =1+ , 解得n=8. (1)展开式的通项为Tr+1= ( )8-r = , 要求r的有理项,则r为4的倍数,又0r8, r=0,4,8. 故有理项为T1= =x4,T5= = x, T9= = . (2)设展开式中Tr+1项的系数最大, 则 , 且 .,解得r=2或r=3. 故展开式中系数最大的项为T3= =7 和T4= =7 .,2.(2019徐州期
18、中,23) (1)证明:(1+ )2n+(1- )2n为偶数(nN*); (2)证明:大于(1+ )2n的最小整数能被2n+1整除(nN*).,证明 (1)因为(1+ )2n+(1- )2n=2( +3 +32 +3n ), 所以(1+ )2n+(1- )2n为偶数(nN*). (4分) (2)注意到0(1- )2n1,则大于(1+ )2n的最小整数必为2( +3 +32 +3n ),记为m N, 又因为m=(1+ )2n+(1- )2n= + =2n(2+ )n+(2- )n,(*) 而由(1)同理可得(2+ )n+(2- )n必为偶数,记为2kN, 所以m=2n+1k, 即m能被2n+1整
19、除,从而命题得证. (10分),3.(2019扬州中学3月检测,23)已知(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n(nN*). 求值:(1)a1-a2+a2n-1-a2n; (2) - + - .,解析 (1)令x=-1,得a0-a1+a2-+a2n=(1-1)2n=0, 令x=0,得a0=1, 所以a1-a2+a2n-1-a2n=1. (2)易知ak= , 我们有 + = + = = = , 则 = , 因此 - = . 故 - + - + - =,= = =- .,4.(2017如皋教学质量调研(三),24)已知二项式(1+x)n. (1)求展开式中的中间项; (2)化简: (
20、n-2k)2 3k.,解析 (1)记展开式的第(k+1)项为Tk+1= xk. 当n为奇数时,中间项为 = 和 = , 当n为偶数时,中间项为 = . (2)等式(1+x)n= xk两边分别对x求导,得 n(1+x)n-1= k xk-1,(*) 令x=3,则有n4n-1= k 3k-1, 所以 k 3k=3n4n-1.(*) (*)式两边分别对x求导,得 n(n-1)(1+x)n-2= k(k-1) xk-2. 令x=3,则有 n(n-1)4n-2= k 3k,由(*)得, k2 3k=(9n2+3n)4n-2. 所以 (n-2k)2 3k =n2 3k-4n k 3k+4 k2 3k =n
21、24n-4n(3n4n-1)+4(9n2+3n)4n-2 =(n2+3n)4n-1.,解答题(共60分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：45分钟 分值：50分),1.(2019金陵中学期初联合调研,23)在集合A=1,2,3,2n中,任取m(mn,m,nN*)个元素构成 集合Am.若Am的所有元素之和为偶数,则称Am为A的偶子集,其个数记为f(m);若Am的所有元素之 和为奇数,则称Am为A的奇子集,其个数记为g(m).令F(m)=f(m)-g(m). (1)当n=2时,求F(1),F(2)的值; (2)求F(m).,解析 (1)当n=2时,集合A=1,2,3,4, 当
22、m=1时,偶子集有2,4,奇子集有1,3,则f(1)=2,g(1)=2,F(1)=0; 当m=2时,偶子集有2,4,1,3,奇子集有1,2,1,4,2,3,3,4, 则f(2)=2,g(2)=4,F(2)=-2. (2)当m为奇数时,偶子集的个数为f(m)= + + + , 奇子集的个数为g(m)= + + , 所以f(m)=g(m),F(m)=f(m)-g(m)=0. 当m为偶数时,偶子集的个数为f(m)= + + + , 奇子集的个数为g(m)= + + , 所以F(m)=f(m)-g(m)= - + - +- + . 一方面, (1+x)m(1-x)m=( + x+ x2+ xm) -
23、x+ x2+(-1)m xm, 所以(1+x)m(1-x)m中xm的系数为 - + - +- + ,另一方面,(1+x)m(1-x)m=(1-x2)m,(1-x2)m中xm的系数为(-1 , 故F(m)=(-1 , 综上,F(m)=,2.(2019苏中、苏北七大市三模,22)设Pn= ,Qn= . (1)求2P2-Q2的值; (2)化简nPn-Qn.,解析 (1)由于P2= - + - + = , Q2=- + - + = , 所以2P2-Q2=0. (2分) (2)设T=nPn-Qn, 则T= - = - + - + . (6分) 因为 = , 所以T= - + - + = - + - +
24、. +得,2T=0,即T=nPn-Qn=0, 所以nPn-Qn=0. (10分),3.(2019扬州中学检测,24)设(1-x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,xN*,n2. (1)设n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值; (2)设bk= ak+1(kN,kn-1),Sm=b0+b1+b2+bm(mN,mn-1),求 的值.,解析 (1)由题意知ak=(-1)k , 当n=11时,|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11| = + + + + + = ( + + + )=210=1 024. (2)bk= ak+1=(-1)k
25、+1 =(-1)k+1 , 当1kn-1时,bk=(-1)k+1 =(-1)k+1( + )=(-1)k+1 +(-1)k+1 =(-1)k-1 -(-1)k . 当m=0时, = =1. 当1mn-1时, Sm=-1+ (-1)k-1 -(-1)k =-1+1-(-1)m =-(-1)m ,所以 =1. 综上, =1.,思路分析 (1)由二项式定理可得ak=(-1)k ,再由二项式系数的性质,可得所求和为210; (2)由组合数的阶乘公式可得bk=(-1)k+1 ,再由组合数的性质,可得当1kn-1时,bk=(-1)k+1 =(- 1)k+1( + )=(-1)k-1 -(-1)k ,讨论m
26、=0和1mn-1时,化简即可得到所求值.,4.(2019南通期末三县联考,23)设(q+x)n=a0+a1x+a2x2+arxr+anxn,其中qR,nN*. (1)当q=1时,化简: ; (2)当q=n时,记An= ,Bn= ar,试比较An与Bn的大小.,解析 (1)当q=1时,ar= , 由于 = = = = , 其中r=0,1,2,n. (2分) 所以原式= ( + + + )= . (4分) (2)解法一:当q=n时,ar= nn-r, 所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1, 令x=1,得Bn=(n+1)n. (6分) 当n=1,2时,nn+1(n+1)n, 即n . 下面
27、用数学归纳法证明:当n3时,n .() 当n=3时,3 = ,()式成立.,假设当n=k3,kN*时,()式成立,即k , 则n=k+1时,()式右边= = . 所以,当n=1,2时,AnBn. (10分) 解法二:当q=n时,ar= nn-r, 所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1, 令x=1,得Bn=(n+1)n. (6分) 要比较An与Bn的大小,即可比较 与 的大小. 设f(x)= ,则f (x)= , 由f (x)0,得0xe,所以f(x)在(0,e)上递增,由f (x)e,所以f(x)在(e,+)上递减, (8分) 所以当n=1,2时, ,即(n+1)ln nnln(n+
28、1), 即ln nn+1ln(n+1)n,即AnBn, 综上所述,当n=1,2时,AnBn. (10分) 解法三:当q=n时,ar= nn-r, 所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1, 令x=1,得Bn=(n+1)n. (6分) 当n=1,2时,nn+1(n+1)n. 下面用数学归纳法证明:nn+1(n+1)n,n3,nN*. (*) 当n=3时,33+1=81,(3+1)3=64,因为8164,所以(*)式成立; 设n=k3(kN*)时,(*)式成立,即有kk+1(k+1)k, 所以 1(因为(k+1)k0).,又因为(k+1)2k(k+2),即 , 所以 = = 1, 即(k+1
29、)k+2(k+2)k+1,所以当n=k+1时,(*)式也成立. 综合,对任何n3,nN*,nn+1(n+1)n都成立. 所以,当n=1,2时,AnBn. (10分),5.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,23)在数学上,常用符号来表示算式,如记 ai=a0+a1 +a2+a3+an,其中iN,nN*. (1)若a0,a1,a2,an成等差数列,且a0=0,求证: (ai )=an2n-1; (2)若 (1+x)k=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,bn= a2i,记dn=1+ (-1)ibi ,且不等式t(dn-1)bn恒成立,求 实数t的取值范围.,解析 (1)设等差数列的通项
30、公式为an=a0+nd,其中d为公差, 则 (ai )=a0+a1 +a2 +an =a0( + + )+d( +2 +n ), 因为k =n , 所以 +2 +n =n( + + ). 所以 (ai )=a02n+nd2n-1=an2n-1. (4分) 注:第(1)问也可以用倒序相加法证明. (2)令x=1,则 ai=2+22+23+22n= =24n-2, 令x=-1,则 (-1)iai=0, 所以bn= a2i= (24n-2)=4n-1. 根据已知条件可知,dn= -(4-1) +(42-1) -(43-1) +(-1)n(4n-1) = + (-4)+ (-4)2+ (-4)3+ (
31、-4)n- - + - + +(-1)n +1=(1-4)n-(1-1)n+1=(- 3)n+1, 所以dn=(-3)n+1,将bn=4n-1,dn=(-3)n+1代入不等式t(dn-1)bn得,t(-3)n4n-1. 当n为偶数时,t - , 所以t - = ; 当n为奇数,t- , 所以t- =-1. 综上所述,所以实数t的取值范围是 . (10分),思路分析 (1)由题意求出等差数列的通项公式,然后结合二项式系数的性质证明 (ai )=an 2n-1; (2)在二项展开式中分别取x=-1,x=1,求出bn,再借助于二项式系数的性质化简可得dn,代入不等 式t(dn-1)bn,分n为奇数和
32、偶数求得t的取值范围.,6.(2018南京、盐城模拟,23)已知nN*,nf(n)= +2 +r +n . (1)求f(1), f(2), f(3)的值; (2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.,解析 (1)令n=1,得f(1)= =1. 令n=2,得2f(2)= +2 =6,得f(2)=3. 令n=3,得3f(3)= +2 +3 =30,得f(3)=10. (2)猜想f(n)= . 欲证猜想成立,只要证等式n = +2 +r +n 成立. 证法一:当n=1时,等式显然成立, 当n2时,因为r = = =n =n , 故r =(r ) =n . 故只需证明n =n
33、+n +n +n . 即证 = + + + . 而 = ,故即证 = + + + (*). 由等式(1+x)2n-1=(1+x)n-1(1+x)n可得,左边xn的系数为 , 而右边(1+x)n-1(1+x)n=( + x+ x2+ xn-1)( + x+ x2+ xn), 所以xn的系数为 + + + .,由(1+x)2n-1=(1+x)n-1(1+x)n恒成立可得(*)成立. 综上, f(n)= 成立. 证法二:由二项式定理,得(1+x)n= + x+ x2+ xn. 两边求导,得n(1+x)n-1= +2 x1+r xr-1+n xn-1. ,得 n(1+x)2n-1=( + x+ x2+ xn)( +2 x1+r xr-1+n xn-1). 左边xn的系数为n . 右边xn的系数为 +2 +r +n = +2 +r +n = +2 +r +n . 由恒成立,可得n = +2 +r +n . 故f(n)= 成立.,