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1、精选数学优质资料精品数学文档教学设计本章复习教学分析本章知识网络本章复习建议本章教材的呈现方式决定了本章的复习方法，一方面让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用数列可以看成是定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们各有五个基本量：首项a1、公差d
2、或公比q、项数n、通项an、前n项和Sn；两个基本公式通项公式和前n项和公式将这五个基本量连接起来，应用函数与方程的思想方法，认识这些基本量的相互联系，由已知推求未知，构成了数列理论的基本框架，成为贯穿始终的主线本章的重点是等差数列和等比数列的基本性质及其应用，难点是等差数列和等比数列的基本性质的综合应用因此注意等差数列、等比数列与相应函数的关系也就成了复习的重点数列在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一由于数列内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，决定了数列在高考中地位的特殊性这就要求我们在数列复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握等差数列与等比数列的基本性质，帮助学
3、生自我架构数列知识框架，提高综合运用数列知识和方法的能力数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心，应弄清通项公式的意义项数n的函数；理解通项公式的作用可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究数列的递推式是数列的另一种表达形式，利用递推式求通项时，常见方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法，若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论在处理这类问题的时候要注意项数本章复习中，学生将在理解概念和性质的基础上，结合对具体教学实例的分析，体验数列这个数学模型在解决问题中的特殊作用数列，特别是等差数列与等比数列，既有知识性，又有趣味性和实用性，在物理、化学、生物等
4、学科，以及经济、天文、历法等领域，都有它的身影复习时，我们要把握这样一些原则：亲和原则，即选取的例子要贴近学生；趣味性原则，即选取的实例要有丰富的背景，本身要有趣味性；基础性原则，即问题本身并不难，但要蕴涵丰富的思想方法数列一章是高中多个数学知识点的交汇，也是多个数学思想方法的聚会，因此本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓广本章复习将分为两课时，第1课时重点是系统化本章知识结构，优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力；第2课时重点是灵活运用数列知识解决与数列有关的问题为更好地理解教学内容，可借助信息技术复习本章内容通过现代教育技术手段，给学生展示一个更加丰富多彩的“数列”内容本章新课标课程
5、标准要求是：1.数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.2.等差数列、等比数列(1)通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；(2)探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；(4)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系三维目标1通过本章复习，使学生理清本章知识网络，归纳整合知识系统，突出知识间内在联系，能用函数观点进一步认识数列2提高学生综合运用知识的能力，分析问题、解决问题的能力；培养学生自主复习
6、及归纳的意识，激励学生思维创新3认识事物间的内在联系和相互转化，培养探索、创新精神重点难点教学重点：等差数列、等比数列的概念、通项、前n项和及它们之间的内在联系；灵活应用数列知识解决问题教学难点：用函数的观点认识数列，并用数列知识灵活解决实际问题课时安排2课时第1课时导入新课思路1.让学生阅读课本的小结内容根据教材内容的呈现方式回答有关问题，同时也给学生以数列整体知识结构的记忆由此展开新课(幻灯片)思路2.本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列等差数列、等比数列的研究，然后让学生根据本章学习的进程，回忆本章学习了哪些主要内容？用到了哪些思想方法？本章知识流程图留给学生自己操作相比之下，
7、这种引入对学生的思维要求较高，难度大，但却更能训练学生的创造性思维教师可结合学生的活动出示相关多媒体课件推进新课怎样理解函数与数列的关系？回忆等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质各是什么？回忆“叠加法”“累乘法”“倒序相加法”“错位相减法”的含义是什么？对任意数列an，若其前n项和为Sn，则an与Sn具有怎样的关系？怎样理解这个关系式？它有哪些应用？活动：教师引导学生充分探究，自行总结，不要将归纳总结变成课堂上的独角戏，辅助课件可制成如下表格形式：数列等差数列等比数列定义通项公式递推公式性质前n项和公式点拨学生注意，重新复习数列全章更应从函数角度来认识数列，这是学好数列的锦囊妙计
8、深刻认识数列中数的有序性是数列定义的灵魂数列可以看成是定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时，对应的一列函数值而数列的通项公式则是相应的函数解析式反映到图像上，由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数，复习本章应突出数列的这一函数背景对两类特殊数列等差数列与等比数列的函数理解则是：等差数列是一次型函数，是最简单的递推数列；等比数列是指数型函数它们具有函数的一般性质，都借助了数形结合的思想研究问题关于等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导方法以及“叠加法”“累乘法”等
9、，可由学生回忆并进一步理解，这里不再一一列出教师应特别引导学生关注an与Sn的关系对于任何数列an，若前n项和为Sn，则an常因忽略对n1的讨论或忽略n2这一条件而出错这个关系式要深刻理解并灵活运用用此关系式求an时，若S1满足anSnSn1的形式，则用统一的形式表示通项公式an.若S1不满足anSnSn1的形式，则分段表示通项公式an.因此这个关系式的应用有两个方面：既可用此式求通项公式an，又可将an转化为SnSn1的形式解决问题应让学生明确用本章知识主要解决的问题是：(1)对数列概念(包括通项、递推等)理解的问题；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1，an，d(q)，n，Sn知三求二
10、的方程问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用问题讨论结果：略思路1例1 设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和若Sn是等差数列，求q的值活动：这是一道关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的题目，起点比较低，入手的路子较宽让学生独立思考，然后列式、求解，组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法解法一：利用定义Sn是等差数列，当n2时，anSnSn1S2S1a2.a1qn1a1q.a10，qn21.q1.解法二：利用性质Sn是等差数列，当n2时，anSnSn1Sn1Sn2an1，a1qn1a1qn2.a10，q0，q1.解法三：利用性质Sn是等差数列，2S2S1S3
11、，2(a1a2)a1a1a2a3，即a2a3.q1.点评：本例还可以用求和公式、反证法等.变式训练设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则 S15S5等于()A34 B23 C12 D13解析：方法一：设等比数列an的公比为q，则S10S5S5q5，S15S5S5q5S5q10，来源:Zxxk.Com由S10S512，得1q5，q5，S15S51q5q10.方法二：S10S512，S10S5.(S10S5)2S5(S15S10)，2S5.答案：A例2 设数列an的前n项和为Snn22n4(nN)(1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列a2，a3，an，是等差数
12、列活动：学生很容易解决第(1)题，第(2)题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”解：(1)a1S17，a2S2S12222475，a3S3S232234(75)7，即a17，a25，a37.(2)an当n1时，anSnSn1n22n4(n1)22(n1)42n1，an1an2(定值)，即数列an除去首项后所成的数列是等差数列点评：注意书写步骤的规范，理解第(2)题中n1时的讨论，准确表达推理过程，理解重要关系式an的应用.变式训练已知数列an中，an则a9_(用数字作答)设数列an的前n项和为Sn，则S9_(用数字作答)解析：a928256，S9a1a2a9(a
13、1a3a5a7a9)(a2a4a6a8)(2022242628)(371115)3634136377.答案：256377例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数活动：前三个数成等差数列，在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法，同样，后三个数成等比数列，也要注意兼顾前三个数已经设出来的形式观察学生的思考情况，指点学生寻找合理的思路最后归纳、概括、总结学生的解题结果，给出如下两种典型解法解法一：设这四个数依次为ad，a，ad，依题意有(ad)16，a(ad)12，由式，得d122a.将式代入式，整理，得
14、a213a360.解得a14，a29.代入式，得d14，d26.从而所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设这四个数依次为x，y,12y,16x，依题意有由式，得x3y12.将式代入式，得y(163y12)(12y)2.整理，得y213y360，解得y14，y29.代入式得x10，x215.从而得所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.变式训练设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和，已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由已知得解得a22.设
15、数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q.又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由题意得q1，q2.a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2.bn是等差数列Tnb1b2bnln 2.例4 设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130，(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，S12中哪一个值最大，并说明理由活动：这是一道经典考题，很有训练价值教师引导学生观察题目条件及结论，寻找解题的切入点，鼓励学生多角度思考对于第(1)个问题，目标是关于d的范围的
16、问题，故应当考虑到合理地选用等差数列的前n项和的哪一个公式其次，条件“a312”可以得出a1与d的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少未知量的作用在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d的不等式对于第(2)个问题的思考，可以有较多的角度，让学生合作探究，充分挖掘题目中的条件，寻找更好的思路积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法教师收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程解：(1)依题意有S1212a11211d0，S1313a11312d0，即2a111d0，a16d0.由a312，得a1122d，将式分别代入式，得247d0且3d0，d3.(2)方法
17、一：由(1)知d0，a1a2a3a12a13，因此，若在1n12中存在自然数n，使得an0，an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值由于S1212a11211d6(2a111d)6(a6a7)0，S1313a11312d13(a16d)13a70，a60，a70.故在S1，S2，S12中，S6最大方法二：Snna1n(n1)dn(122d)(n2n)d2.d0，2最小时，Sn最大而当d3时，有66.5，且nN，当n6时，2最小，即S6最大方法三：由d0，可知a1a2a3a12a13，因此，若在1n12中存在自然数n，使得an0，an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值由S120
18、，S130，有12a11211d0a15d0；13a11312d0a16d0.a60，a70.故在S1，S2，S12中，S6最大方法四：同方法二得Sn2.d0，故Sn的图像是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S00，且S120，S130，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12,13)内，于是抛物线的顶点在(6,6.5)内，而nN，知n6时，有S6是S1，S2，S12中的最大值点评：解完本例后，教师引导学生反思解法，充分发挥本例的训练功能第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不大第(2)问难度较高，为求Sn中的最大值方法一是知道Sk为最大值ak0且ak10；方法二是视Sn
19、为n的二次函数，借助配方法求解它训练了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点；而方法三则是通过等差数列的性质，探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解思路2例1 求数列8,88,888，的前n项和活动：教师引导学生观察该数列可发现，它既不是等差数列，也不是等比数列，因此无法套用等差数列、等比数列的求和公式，但通过探究不难发现其通项为an(10n1)，由此问题得以解决解：an(10n1)，Sn(1011)(1021)(10n1)(10110210n)n来源:学#科#网Z#X#X#K(10n1109n)点评：本题体现化归思想在数学解题中的重要性，启发
20、我们要善于化未知为已知，化不可求为可求例2 已知数列an为，若bn，求bn的前n项和Sn.活动：教师点拨学生解决问题的关键是找出数列的通项，根据数列的通项特点寻找解决问题的方法显然an，bn2.由此问题得以解决解：由题意，知an，bn2.Sn22.点评：本例巩固了数列的求和知识方法，通过探究，明确解决问题的关键是先从分析通项公式入手，找出规律，再用裂项法求解课本复习题一A组112，B组1,2,3,4.1由学生自己总结本节复习的内容与方法，回顾通过本节复习，对数列的认识提升了哪些？都有哪些收获？2等差数列与等比数列涉及的知识面很宽，与其他内容的交汇较多，但不管怎样变化，只要抓住基本量，充分运用方
21、程、函数、化归等数学思想方法，合理选用相关知识，任何问题都能迎刃而解课本复习题一A组13,14，B组5.1本教案设计加强了学生学习的联系数学学习绝不是孤立的学习，数学学习的联系性表现为两个方面，一方面是数学与现实生活的联系，另一方面是数学内部之间的联系，表现为数学知识内容之间的相互联系本教案设计充分体现了这一数学学习特征2本教案设计加强了学生的数学探索活动数学学习不是简单的镜面式反映，而是经过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过交流、反思、调整等完成的本章内容的复习设计充分体现了学生是学习的主体这一特点，给学生留有充分发挥和自主学习的空间3本教案设计突出了数学思想方法的训练，尤
22、其突出了一般到特殊、特殊到一般的思想方法，函数思想、类比思想贯穿整章内容另外还有数形结合思想、方程思想等(设计者：王宝霞)第2课时导入新课思路1.(直接导入)上一节课我们总结了数列的有关概念、方法、公式等本节继续通过例题探究、变式训练等活动，进一步加深和提高解决问题的灵活性要求通过本节复习，对等差数列、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成灵活熟练的解题技能思路2.(练习导入)通过以下练习、讲评作为新课的切入点某养牛场养的牛，第一年牛的重量增长率是200%，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的.(1)当饲养4年后，所养的牛的重量是原来的多少倍？(2)如果由于各种原因，牛的重量每年损失预计重量的10
23、%，那么经过多少年后，牛的总重量开始减少？解：(1)依题意，牛的重量增长率成等比数列，设原来牛重量为a，则4年后为a(1200%)a.答：4年后牛的重量是原来的倍(2)由anan1知，anan，得2n19，n5.故经过5年后牛的总重量会减少推进新课等差数列、等比数列有哪些重要性质？怎样运用这些性质快速解题？怎样建立数列模型解决实际问题？在具体的问题情境中，怎样识别数列的等差关系或等比关系，并用有关知识解决相应的问题？活动：教师引导学生对所学等差、等比数列的性质进行回忆，特别提示学生在使用等差数列与等比数列的性质解决问题时，一定要注意下标的起始以及下标间的关系，防止误用性质或求错结果等差数列、等
24、比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，巧用性质、减少运算量在等差数列、等比数列的计算中非常重要应用等差数列、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体解决能够在运算时达到运算灵活、方便、快捷的目的，因而一直受到重视，高考中也一直作为重点考查数列应用题大致可分为三类：一类是有关等差数列的应用题，这类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后，问题常常转化成整式或整式不等式处理，计算较容易；二类是有关等比数列的应用题，这类问题建立模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按要求保留一定的精确度，注
25、意答案要符合题设中实际问题的意义；三类是有关递推数列中可化成等差数列、等比数列的问题，这类问题要掌握将递推数列化成等差数列、等比数列求解的方法解决数列应用题的一般方法步骤与解其他应用题相似(1)审题，明确问题属于哪类应用题，弄清题目中的已知量，明确所求的结论是什么(2)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来(3)明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推数列模型，是求an，还是求Sn，n是多少国民经济发展中的大量问题：如人口增长、产量增加、土地减少、成本降低、存款利息、购物(如车子、房子)中的定期付款，经济效益等应用问题，都是数列所要解决的问题因此，数列的有关知识，在应用上有着广泛的
26、前景和用武之地讨论结果：略思路1例1 已知公差不为零的等差数列an和等比数列bn中，a1b11，a2b2，a8b3.试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有anlogabnb成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由活动：教师引导学生观察本题的条件，与学生一起探究由于本题涉及两个数列an和bn之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究an，bn的性质，应该先抓住数列中的什么量呢？由于an是等差数列，bn是等比数列，所以应该先抓住基本量a1，d和q.由已知a1b11，a2b2，a8b3，可以列出方程组解出d和q，则an，bn就确定了来源:学科网ZXXK进一
27、步探究：如果an和bn确定了，那么anlogabnb就可以转化成含有a，b，n的方程，如何判断a，b是否存在呢？如果通过含有n，a，b的方程解出a和b，那么就可以说明a，b存在；如果解不出a和b，那么解不出的原因也就是a和b不存在的理由解：设等差数列an的公差为d(d0)，等比数列bn的公比为q，则解得d5，q6.所以an5n4，而bn6n1.若存在常数a，b，使得对一切自然数n，都有anlogabnb成立，即5n4loga6n1b，即5n4(n1)loga6b，即(loga65)n(bloga64)0对任意nN都成立，只需成立解得a，b1.所以存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有anl
28、ogabnb成立点评：本题的关键是抓住基本量：首项a1和公差d、首项b1和公比q，因为这样就可以求出an和bn的表达式an和bn一旦确定，其他的问题就可以迎刃而解可见抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键.变式训练已知数列an满足：a11，an1(1)求a2，a3；(2)当n2时，求a2n2与a2n的关系式，并求数列an中偶数项的通项公式解：(1)a2，a3.(2)a2n21a2n22(2n2)，即a2n1a2n22(2n2)a2n11a2n1(2n1)，即a2na2n2(2n2)(2n1)，a2na2n21.a2n2(a2n22)a2nn2(nN).例2 某工厂三年的生产计划规定
29、：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值活动：教师引导学生认真阅读题目，充分理解题意由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元可知，此等差数列中S3300，即如果设原计划三年的产值分别为xd，x，xd，则xdxxd300.由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为xd10，x10，xd11，则(x10)2(xd10)(xd11)解：设原计划三年的产值为(
30、xd)万元，x万元，(xd)万元，则实际三年产值为(xd10)万元，(x10)万元，(xd11)万元解得x100，d10，xd90，xd110.答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元点评：等差数列和等比数列的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清an和Sn，抓住基本量a1，d(q)，再利用有关的概念和公式求解.变式训练某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防规定每人每天早晚8时各服一片，现知道药片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的6
31、0%，在体内的残留量超过386毫克，就会产生副作用(1)某人上午8时第1次服药，问到第二天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留多少？(2)长期服用此药，这种药会不会产生副作用？解：(1)依题意建立数列模型，设此人第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，则a1220，a2220a1(160%)2201.4，a3220a2(160%)343.2.从而某人第2天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留343.2毫克(2)由an2200.4an1，得an0.4(n2)，是以a1为首项，以0.4为公比的等比数列an0.4n10.an386.故长期服用此药，不会产生副作用.例3 已知数列an是公差不为零
32、的等差数列，数列akn是公比为q的等比数列，且k11，k25，k317，求k1k2k3kn的值活动：教师引导学生观察本题条件，共同探究本题可把k1k2kn看成是数列kn的求和问题，这样我们着重考查kn的通项公式，这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”从寻找新旧数列的关系着手，即可找到解决问题的切入点，使问题迎刃而解解：设数列an的公差为d，d0，则a5a14d，a17a116d.因为a1，a5，a17成等比数列，则(a14d)2a1(a116d)，即2d2a1d.又d0，则a12d.所以ana1(n1)d2d(n1)d(n1)d.因为数列akn的公比为q，则q3，所以aknak13n1
33、a13n12d3n1.又akn(kn1)d，则2d3n1(kn1)d.由d0，知kn23n11(nN)因此，k1k2k3kn23012311232123n112(3031323n1)n2n3nn1.点评：此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的.来源:学科网ZXXK变式训练设数列an满足a13a232a33n1an，nN.(1)求数列an的通项；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a
34、1，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232332n3n.3Sn32233334n3n1.，得2Snn3n1(332333n)n3n1.Sn.例4 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，求证数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明：由a11，Sn14an2，得a1a24a12，a23a125，b1a22a13.Sn14an2，当n2时，有Sn4an12.得an14an4an1，an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1.数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)解：由(1)可得bnan12an32n1，数列是首
35、项为，公差为的等差数列(n1)n.an(3n1)2n2.变式训练已知数列an的前n项和为Sn，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100.当n为何值时，数列的前n项和最大？解：(1)取n1，得a2S12a1，a1(a12)0.若a10，则Sn0.当n2时，anSnSn1000，所以an0(n1)若a10，则a1.来源:学科网ZXXK当n2时，2anSn,2an1Sn1，两式相减得2an2an1an，所以an2an1(n2)，从而数列an是等比数列，所以ana12n12n1.综上，当a10时，an0；当a10时，an.(2)当a10且100时
36、，令bnlg，由(1)有，bnlg2nlg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为lg 2)b1b2b6lglglg 10，当n7时，bnb7lglglg 10，故数列的前6项的和最大.思路2例1 设an是由正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列an的通项公式活动：教师引导学生将文字语言转化为数学语言，即，然后通过an与Sn的关系求通项解：方法一：依题意，有Sn，an1Sn1Sn(an11)2(an1)2(an11)2(an1)20，即(an1an)(an1an2)0.an0，an1an2.又a11，an是首项为1，公差
37、为2的等差数列an2n1.方法二：，S1a11.当n2时，2an1，即2SnSn11，即(1)2()20，(1)(1)0.又an0，S11，10.1.n.从而an212n1.点评：利用数列通项an与前n项和Sn的关系：an与题设条件建立递推关系是本题求解的关键例2 某个码头上起吊245桶液体原料，因是同型圆柱桶装运，故起吊时堆放成等腰梯形为宜，且相邻两层只相差一桶在不考虑占地面积、堆放高度与重压时，堆放方案有哪几种？活动：本题是一道开放性题目，因为245549735，因而可以设计多种方案，教学时可让学生自己独立操作解：(1)245549，考虑数列等差中项为a349，则堆放5层，各层桶数分别为4
38、7,48,49,50,51.(2)245735，数列等差中项为a435，共放7层，各层桶数分别为32,33,34,35,36,37,38.(3)由245，因此共堆放10层，中间两项为a524，a625，各层分别为20,21,22,23,24,25,26,27,28,29.(4)由245知，应堆放14层，中间两项为a717，a818，各层分别为11,12,13，24.点评：此题运算简单，但具有一定的创造性，训练学生的发散思维，设计四个等腰梯形根据等差数列的通项和前n项和Sn的不同变形而触发灵感例3 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每
39、年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.151.6)解：(1)第1年末的住房面积为ab1.1ab(m2)第2年末的住房面积为ba2b1.21a2.1b(m2)(2)第3年末的住房面积为ba3b，第4年末住房面积为a4b，第5年末住房面积为a5b1.15ab1.6a6b.依题意可知，1.6a6b1.3a，解得b，所以每年拆除的旧房面积为(m2)例4 已知数列an满足3Sn(n2)an(n
40、N)，其中Sn为前n项的和，a12.(1)证明数列an的通项公式为ann(n1)；(2)求数列的前n项和Tn；(3)是否存在无限集合M，使得当nM时，总有|Tn1|成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由活动：教师引导学生分析题目中的已知条件：an与Sn的关系，结合题目中的结论，显然需利用anSnSn1(n2)消去Sn，由此打开解题的通道可让学生自己探究操作，教师适时地给予点拨解：(1)由3Sn(n2)an，得3Sn1(n1)an1(n2)两式相减得3an(n2)an(n1)an1，即(n1)an(n1)an1，(n2)(n3)，a12.迭乘得ann(n1)(nN)(2)，Tn
41、11.(3)令|Tn1|，得n110，n9.故满足条件的M存在，Mn|n9，nN1若数列an满足an11，且a12，则a2 006等于()A1 BC. D.2一种计算机装置，有一数据入口A和一个运算出口B，执行某种运算程序：(1)当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为f(1)；(2)当从A口输入自然数n(n2)时，在B口得到的结果f(n)是前一结果f(n1)的倍，当从A口输入3时，从B口得到_；要想从B口得到，则应从A口输入自然数_解答：1.Dan2111，an41，an4an1，则数列an的周期为3，于是a2 006a211.2.24f(n)f(n1)，f(n)f(1).f(3).令f(n)，则n24.1由学生合作归纳本节所复习的内容与方法，站在全章的高度对数列的知识方法进行高度归纳与整合，并理出自己独到的见解及适合自己特点的解题风格2让学生通过能力性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为素质能力，并体会“问题是数学的心脏，探究是学习的中心”的含义