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1、精选数学优质资料精品数学文档教学设计31基本不等式教学分析本节主要目标是使学生了解基本不等式的代数、几何背景本节一开始，首先从代数角度导出基本不等式，然后利用几何背景素材加以阐释，给出了基本不等式的几何解释，并进一步探究交流了基本不等式的其他解释整小节的中心在于学生的探究，淡化不等式的证明，加强基本不等式与几何、日常生活的联系，特别是注重了基本不等式的几何背景由于前面已经学习了不等式的概念、性质，不等式的解法，根据学生的认知规律及特点，大部分学生都积累了一定的成功经验，积累了一定的学习兴趣及信心，因此教学时教师可放手大胆地让学生进行合作探究三维目标1通过本节探究，使学生学会推导并掌握基本不等式
2、，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等2通过对基本不等式的不同解释，渗透“转化”的数学思想，提高学生换个角度看问题的思维意识引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德来源:学科网ZXXK3通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯重点难点教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的多种解释教学难点：发现并对基本不等式给出几何解释课时安排1课时来源:学#科#网Z#X#X#K导入新课(直
3、接导入)在代数中，有许多有趣的不等式，例如对任意实数x，y，(xy)20总是成立的，即x22xyy20，所以xy，当且仅当xy时，等号成立，并进一步得(a0，b0)，这是非常重要的一个不等式本节我们对其作进一步探究，由此展开新课推进新课来源:学科网阅读课本内容，你能得出(a0，b0)当且仅当ab时，等号成立吗？你能证明这个不等式吗？你能根据初中学过的几何知识，尝试给出基本不等式的几何解释吗？你能对基本不等式给出另外的解释吗？活动：对于任意实数x，y，(xy)20总是成立的，即x22xyy20，所以xy，当且仅当xy时，等号成立设x，y，则由这个不等式可得出以下结论：如果a，b都是正数，那么，当
4、且仅当ab时，等号成立这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫作正数a，b的算术平均数，把叫作正数a，b的几何平均数，因此，基本不等式又被称为均值不等式，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数请学生注意公式的结构形式成立的条件是a，b为正实数，等号成立的条件是当且仅当a，b相等下面我们一起探究不等式(a，b0)的证明过程，可用分析法证明如下：要证，只要证ab2，即证ab20，只要证()20.显然上式是成立的所以不等式得证接下来我们对基本不等式的几何意义作进一步探究如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb.过点C作垂直于AB的
5、弦DD，连接AD，BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形容易证明ACDDCB.所以可得CD.或由射影定理也可得到CD.从图中我们可直观地看到表示的是半弦长，表示的是半径长由于半弦长不大于半径长，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当ab时，等号成立不等式(a0，b0)是一个重要不等式，它在求函数最值、解决实际问题中有着广泛的应用，是解决最大(小)值
6、问题的有力工具教师引导学生对基本不等式作进一步的交流探究：如图2，在O上半圆中，设ACa，CBb，OFAB交上半圆于F，请你利用FCOF得出一个关于a，b的不等式，将这个不等式与基本不等式和例1中的不等式进行比较图2对于基本不等式，用文字语言可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数但从数列角度看，可把看作是正数a，b的等差中项，看作是正数a，b的正的等比中项，基本不等式又可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项更进一步地，我们有以下的探究：对于正数a，b的几何平均数，我们可以有以下两种解释：某工厂第一年的产值为1 000万元，第二年的产值为第一年产值的2倍，第三年的产值
7、为第二年产值的3倍设工厂从第一年到第三年，每年产值平均增长x倍，那么x满足：1 000231 000x2，即x.来源:学_科_网一般地，设某工厂第一年的产值为m，第二年的产值为第一年的a倍(即ma)；第三年产值为第二年的b倍(即mab)如果该工厂从第一年到第三年，每年产值平均增长x倍，那么x满足mabmx2，即x.另外，我们可以把两个正数a，b看成是两条线段的长度，并以它们为边作一长方形，如图3(1)；如果我们想作一正方形，使它的面积等于这个长方形的面积，那么它的边长就是a和b的几何平均数，如图3(2)图3讨论结果：略例1 已知x，y都是正数，求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y
8、3)8x3y3.活动：教师点拨学生注意，在运用定理时，条件a，b均为正数证明：(1)x，y都是正数，0，0.22，即2.(2)x，y都是正数，x20，y20，x30，y30.xy20，x2y22xy0，x3y320.由不等式的性质，得(xy)(x2y2)(x3y3)22xy28x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.点评：不等式成立的条件，往往是学生容易忽视的.变式训练已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8ab.证明：a0，b0，c0，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)2228abc，即(ab)(bc)(ca)8abc.例2 若ab1，P
9、，Q(lg alg b)，Rlg，则()ARPQ BPQRCQPR DPRQ活动：根据P，Q，R三个式子的结构特点，应考虑利用基本不等式，再运用函数ylg x的单调性解析：ab1，lg alg b0.(lg alg b)2，即QP.又，lglg(lg alg b)RQ.故PQR.答案：B点评：应准确理解基本不等式成立的条件，创造性的应用基本不等式.变式训练若a，b，c，d，x，y是正实数，且P，Q，则()APQ BPQ CPQ DPQ解析：a、b、c、d、x、y是正实数，QP.答案：C例3 设a，b均为正数，证明不等式：.活动：直接应用基本不等式证明证明：因a，b均为正数，由基本不等式，可知，
10、也即，当且仅当ab时，等号成立下面给出这个不等式的一种几何解释如图4，设ACa，CBb，CDAB交O上半圆于D，过C作CEOD交OD于E，图4在RtOCD中，由射影定理，可知DC2DEOD，即DE.由DCDE，得，当且仅当ab时，等号成立来源:Zxxk.Com课本本节练习1由学生自己梳理整合本节都学到了哪些探究问题的方法？有哪些收获？2教师强调，本节课，我们学习了两正数a，b的算术平均数，几何平均数()及它们的关系.基本不等式既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用)我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab，ab2.本节习题33B组1.1本教案设计关注学生的自主交流，在学生交流中引导学生发现各种错误并分析错因，使学生自己从错误中走出来是比较好的学习方法，错例更能澄清问题的本质2本教案设计突出思维能力的训练，加强了探究问题的力度，学生的活动量较大，合作交流体现得很好3本节课我们探究了基本不等式，扩展了我们的视野，在设计中加强了证明不等式的训练，但难度并不大，重在让学生体会方法将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善(设计者：郑吉星)精品数学文档