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1、精选数学优质资料精品数学文档教学设计43简单线性规划的应用教学分析本节内容在教材中有着重要的地位与作用线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法数学建模法通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生
2、学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是本节的重点也是难点对许多学生来说，解数学应用题的最常见的困难是不会将实际问题转化成数学问题，即不会建模所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点对学生而言，解决应用问题的障碍主要有三类：不能正确理解题意，弄不清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本节设计为计算机辅助教学，充分利用现代化教学工具，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解实际教学中注意的问题
3、是：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数另外若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，则应作适当调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法教学上可适当采用多媒体和投影仪等辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率三维目标1通过本节学习，进一步了解线性规划的意义以及线性约束条
4、件、线性目标函数、可行域及最优解等基本概念，了解线性规划的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题2通过本节学习，培养学生观察、联想以及作图能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生建模能力和解决实际问题的能力3结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识，激励学生勇于创新重点难点教学重点：线性规划在实际生活中的应用，培养学生应用数学的意识教学难点：把实际问题转化为数学问题，即数学建模是本节的教学难点课时安排1课时导入新课思路1.(直接导入)上节课我们探究了用线性规划解决求函数最值问题，这节课我们进一步探究有关线性规划的问题，看看用线性规划能解决哪些实际问题教师出示多媒体课件，提出问
5、题，由此引入新课思路2.(复习导入)生产实际中有许多问题都可归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题：一是给定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小推进新课回忆我们从前解决实际问题的方法、步骤，在线性约束条件下，如何求目标函数的最值、最优解？前两节我们解决了可行域中整点问题，训练了求可行域中最优解问题，请思考最优解的个数有可能为无数个吗？活动：教师与学生一起回忆上节课利用线性规划求函数的最值、最优解的方法在确定最优解时，首先要赋予因变量的几何意义，然后利用图形的直观来确定最优解；在
6、确定最优解时，用直线的斜率来定位关于可行域中的整点求法，是以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法下面我们来探究最优解问题以及线性规划在实际生活中的应用，体会利用线性规划的方法解决实际问题的过程讨论结果：略例1 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？活动：本例中各种数据较多，这也是线性规
7、划模型的特点，教师引导学生用表格的形式将各种数据分类，则问题就变得一目了然，思路清晰了，如下表：原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位甲510乙74费用32设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，则需要的费用为z3x2y；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x7y35；同理，对铁质的要求可以表示为10x4y40，这样，问题成为在约束条件下，求目标函数z3x2y的最小值解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么目标函数为z3x2y，作出可行域如图1.图1把z3x2y变形为yx，得到斜率为.在y轴上的截距为，随z变化的一组平行直线由图可知，当直线yx经过可行域上的
8、点A时，截距最小，即z最小由得A，zmin32314.4.答：甲种原料使用1028(g)，乙种原料使用31030(g)时，费用最省点评：解决此问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言，此题通过表格将数据进行整理，使问题难度大大降低，要通过本例让学生形成这一思维习惯.变式训练某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少
9、万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元由题意得目标函数为z3 000x2 000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图2.图2作直线l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值联立解得x100，y200.点M的坐标为(100,200)zmax3 000x2 000y700 000(元)答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.例2 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书
10、桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元问：(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？活动：教师引导学生建立目标函数，根据已知条件列出不等式组找出可行域解：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则x300.z80x，当x300时，zmax8030024 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元(2)设只生产书橱y张，可获利润z元，则y450.z
11、120y，当y450时，zmax12045054 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元则目标函数z80x120y，可行域如图3.图3由图3可知：当直线yx经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大，解方程组来源:Zxxk.Com得M的坐标为(100,400)zmax80x120y8010012040056 000(元)因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元例3 某厂生产一种产品，其成本为27 元/kg，售价为50元/kg.生产中，每千克产品产生0.3 m3的污水，污水
12、有两种排放方式：来源:学&科&网Z&X&X&K方式一：直接排入河流方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有85%.污水处理站最大处理能力是0.9 m3/h，处理污水的成本是5元/m3.另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是17.6元/m3，且允许该厂排入河流中污水的最大量是0.225 m3/h.那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每时净收益最大？活动：为了解决问题，首先，要搞清楚是什么因素决定净收益净收益售出产品的收入生产费用，其中生产费用包括生产成本、污水处理费、排污费等设该厂生产的产量为x kg/h，直接排入河流的污水为y m3/h，每
13、小时净收益为z元，则(1)售出产品的收入为50x元/m3；(2)产品成本为27x元/m3；(3)污水产生量为0.3x m3/h，污水处理量为(0.3xy) m3/h，污水处理费为5(0.3xy) 元/m3；(4)污水未处理率为10.850.15，所以污水处理厂处理后的污水排放量为0.15(0.3xy) m3/h，环保部门要征收的排污费为17.60.15(0.3xy)y元/m3；(5)z50x27x5(0.3xy)17.60.15(0.3xy)y20.708x9.96y.需要考虑的约束条件：(1)污水处理能力是有限的，即00.3xy0.9；(2)允许排入河流的污水量也是有限的，即y(10.85)
14、(0.3xy)0.225.解：根据题意，本问题可归纳为：在约束条件下，求目标函数z20.708x9.96y的最大值作出可行域，如图4，令z0作直线l0：20.708x9.96y0，由图形可以看出，平移直线l0，经过可行域的顶点A时，z取得最大值图4解方程组得A(3.3,0.09)故该厂生产该产品3.3 kg/h，直接排入河流的污水为0.09 m3/h时，可使每小时净收益最大，最大值为20.7083.39.960.0967.44(元)答：该厂应安排生产该产品3.3 kg/h，直接排入河流的污水为0.09 m3/h时，其每小时净收益最大课本本节练习1我们用线性规划解决了哪两类实际问题？2教师点拨学
15、生：你能用精练的几个字来说明利用线性规划解决实际问题的方法与步骤吗？在教师引导下让学生总结归纳：来源:学科网(1)找：找出实际问题中的约束条件及目标函数；(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域；(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；(4)求：通过解方程组求出最优解；(5)答：作出答案，即可用5个字来概括：找、画、移、求、答1课本习题34B组2,3.2阅读本章小结建议1本教案设计注重学生的操作练习通过学生积极参与，动手操作，培养创造性思维、增强创新意识，使认知在练习中加深，兴趣在练习中勃发，情感在练习中陶冶，质量在练习中提高，
16、目标在练习中实现2本教案注重了学生的能力训练通过本节的学习，向学生渗透数形结合的思想，深化对知识的理解和掌握，体验发现的快乐，增强创新意识，培养学生应用数学的意识3本教案设计强化使用现代化教学手段充分发挥多媒体教学的优势，利用计算机作为辅助工具，更清楚地展示区域问题，有利于发现区域问题的异同点，将信息技术和数学课程有机地结合起来，有利于突出重点，突破难点，有利于教学目标的实现一、备选例题【例1】 某糖果厂生产A，B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：分钟)：混合烹调包装A153B241
17、在每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多能用30小时，包装的设备至多能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？活动：找约束条件，建立目标函数解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件下，求目标函数z40x50y的最大值，作出可行域如图5，其边界OA：y0，AB：3xy9000，BC：5x4y1 8000，CD：x2y7200，DO：x0.图5由z40x50y，得yx，它表示斜率为，截距为的平行直线系，越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值解方程组C(120,300)zmax401205030019 8
18、00，即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19 800元点评：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为1202300720(分)，烹调时间512043001 800(分)，包装时间3120300660(分)，这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究【例2】 要将甲、乙两种大小不同的钢板截成A，B两种规格，每张钢板可同时截得A，B两种规格的小钢板的块数如下表所示：已知库房中现有甲、乙两种钢板的数量分别为5张和10张，
19、市场急需A、B两种规格的成品数分别为15块和27块(1)问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的钢板张数最少？(2)若某人对线性规划知识了解不多，而在可行域的整点中随意取出一解，求其恰好取到最优解的概率解：设需截甲、乙两种钢板的张数分别为x，y，则作出可行域如图6中阴影部分中的整点图6(1)因为目标函数为zxy(x，y为整数)，所以在一组平行直线xyt(t为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解(2)因为可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为0.25.答：(1)两种钢板的张数分别为3,9或
20、4,8，(2)所求的概率为0.25.二、利润的线性预测问题：某企业1999年的利润为5万元，2000年的利润为7万元，2001年的利润为8万元请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预测2003年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万元？首先是在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1999年的利润为5万元，2000年的利润为7万元，2001年的利润为8万元”；在确定三点坐标后该如何运用这三点坐标，是用其中的两点，还是三点信息的综合运用，当然运用要有其合理性思考的方向可以通过特殊点、平行、距离最小建立平面直角坐标系，1999年的利润为5万元，对应的点为A(0,5)，2000年的
21、利润为7万元，2001年的利润为8万元分别对应点B(1,7)和C(2,8)，那么(1)过A、B两点的直线作为预测直线l1，其方程为y2x5，这样预测2003年的利润为13万元(2)过A、C两点的直线作为预测直线l2，其方程为yx5，这样预测2003年的利润为11万元(3)过B、C两点的直线作为预测直线l3，其方程为yx6，这样预测2003年的利润为10万元(4)过A及线段BC的中点E的直线作为预测直线l4，其方程为yx5，这样预测2003年的利润约为11.667万元来源:Zxxk.Com(5)过A及ABC的重心F(注：为3年的年平均利润)的直线作为预测直线l5，其方程为yx5，这样预测2003
22、年的利润为11.667万元来源:学科网(6)过A及以线段BC的斜率kBC1作为预测直线斜率，则预测直线l6的方程为yx5，这样预测2003年的利润为9万元还有其他方案，在此不一一列举点评：1.读完以上的各种预测方案后，请你先思考两个问题：第(5)种方案与第(4)种方案的结果完全一致，这是为什么？第(6)种方案中，kBC的现实意义是什么？2本题可从以下两个方面进一步拓展，其一是根据以上的基本解题思路，提出新的方案；其二是根据以上结论及你自己的答案估计利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？(设计者：郑吉星)精品数学文档