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1、最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料2.4函数与方程【入门向导】详释二分法关于这个问题的回答，我们不妨先来看一段CCTV2幸运52的一个片段：主持人李咏(以下简称李)说道“猜一猜这件商品的价格”甲：2 000！李：高了！甲：1 000！李：低了！甲：1 700！李：高了！甲：1 400！李：低了！甲：1 500！李：低了！甲：1 550！李：低了！甲：1 580！李：高了！甲：1 570！李：低了！甲：1 578！李：低了！甲：1 579!李：这件商品归你了下一件有一位老师和他的三位学生做了如下问答：老师：如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？钱立恒：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元
2、降低报价方仕俊：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价如果低了，每隔50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价侯素敏：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价侯素敏的回答是一个比较准确的结果，所采用的方法就是二分法的思维方式区间逼近法函数零点求解三法我们知道，如果函数yf(x)在xa处的函数值等于零，即f(a)0，则称a为函数的零点本文现介绍函数零点求解三法一、代数法例1 求函数f(x)x22x
3、3的零点解令x22x30，224(3)160，方程有两个不相等实数根方法一因式分解法或试根法x22x3(x3)(x1)或由f(x)x22x3，试一试f(1)122130，f(3)(3)22(3)30.所以f(x)的零点为x11，x23.方法二配方法x22x3(x1)240，所以x12.所以零点x11，x23.方法三公式法x1,2.所以零点x11，x23.点评本题用了由求函数f(x)的零点转化为求方程f(x)0的实数根的办法运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法二、图象法求函数yg(x)h(x)的零点，实际上是求曲线yg(x)与yh(x)的交点的横坐标，即求方程g(x)h(x)
4、0的实数解三、用二分法求函数近似零点例2 用二分法求函数f(x)x33的一个正零点(精确到0.01)解由于f(1)20，因此区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：端点(中点)坐标计算中点函数值取值区间f(1)201,2x11.5f(x1)0.37501,1.5x21.25f(x2)1.04701.25,1.5x31.375f(x3)0.40001.375,1.5x41.437 5f(x4)0.029 501.437 5，1.468 75x61.453 125f(x6)01.437 5，1.453 125x71.445 312 5f(x7)01.437 5，1.445 312
5、5因为1.445 312 51.437 50.007 812 50，则有结论：函数yf(x)在区间(a，b)上不存在零点判断该命题是否正确错解正确剖析对区间(a，b)上的连续函数yf(x)，若f(a)f(b)0，而在区间(1,1)上显然存在零点故该命题不正确点评(1)函数yf(x)的图象在区间(a，b)上连续且有f(a)f(b)0，所得在(a，b)上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数yf(x)在区间(a，b)上是连续曲线，并且f(a)f(b)0时，在(a，b)上至少存在一个零点，而无法确定零点个数二、忽略了分类讨论例6 若函
6、数yax22x1只有一个零点，求实数a的取值范围错解由题意可得，实数a所满足的条件为44a0，a1.剖析没有对系数a进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数正解(1)当a0时，y2x1，有唯一零点；(2)当a0时，由题意可得44a0，解得a1.综上，实数a的取值范围为a0或a1.点评对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一三、忽略了区间端点值例7 已知f(x)3mx4，若在2,0上存在x0，使f(x0)0，求实数m的取值范围错解因为在2,0上存在x0，使f(x0)0，则f(2)f(0)0，所以(6m4)(4)0，解得m.故实数m的取值范围为(，)剖析本题
7、的x0在2,0上可取到端点，即f(2)f(0)0.正解由f(2)f(0)0，解得m.故实数m的取值范围为(，点评区间值要全部考虑到，做到不重不漏四、图象应用例8 已知函数yx(x1)(x1)的图象如图所示，今考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，则方程f(x)0()A有三个实根B当x1时恰有一实根C当1x0时恰有一实根D当0x1时恰有一实根错解将已知函数图象向上平移001个单位(如图所示)，即得f(x)x(x1)(x1)0.01的图象故选B项剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”正解f(2)0，f(2)f(1)0，C项错误而f(0.5)0，f(x)0在区间(0,1)上有两个实根，
8、则D项错误，E项也错，并且由此可知A项正确故选A、B两项点评应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程思想与函数思想密切相关，对于函数yf(x)(如果yax2bx
9、c可以写成f(x)ax2bxc，即yf(x)的形式)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看作二元方程yf(x)0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)3x32x21，判断方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在1,0上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解解因为f(1)3(1)32(1)2140，所以f(1)f(0)1，f(6)1，f(6)1得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6)0时g(x)单调递增；当a0时，g(x)单调
10、递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点因此方程f(x)1仅有一个根故选A.答案A点评在区间a，b上单调且图象连续的函数yf(x)，若f(a)f(b)2时，f(x)0，因此a0，b3a，b0.方法二由f(0)0，得d0，又f(1)0，abc0又f(1)0，即abc0得2b0，b0或k0或k0，1x1时，|f(x)|1且g(x)的最大值为2，求f(x)解a0，g(x)axb在1,1上是增函数又g(x)在1,1上的最大值为2，g(1)2，即ab2.于是f(1)f(0)2.由题设有1f(0)f(1)2121，f(0)1，从而c1.又由题设知f(x)1f(0)，二次函数f(x)的对称轴为
11、x0，于是0，得b0，将其代入，得a2.f(x)2x21.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：题目：已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)，x10，则函数y1ax2bxc的图象开口向上而y2f(x1)f(x2)的图象呢？是一条平行于x轴的直线此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f(x1)与f(x2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节：
12、f(x1)与f(x2)是函数f(x)ax2bxc分别在x1，x2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f(x1)f(x2)，说明f(x1)f(x2)一定比最小值大；若y2的值就是最小值，此时，直线与抛物线相切于顶点，而f(x1)f(x2)大于最小值，则y2f(x1)f(x2)与二次函数图象一定有两个不同的交点又因为minf(x1)，f(x2)f(x1)f(x2)maxf(x1)，f(x2)，故必有一根属于(x1，x2)分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f(x)f(x1)f(x2)的“b24ac”，然后，再结合函数零点的存在定理方法二由f(x)f(x1)f(x2)，得2ax22bx2
13、cf(x1)f(x2)0.那么(2b)24(2a)2cf(x1)f(x2)4b24ac2af(x1)2af(x2)此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！分析细节在上式中存在f(x1)与f(x2)，可否将其替换呢？于是4b24ac2a(axbx1c)2a(axbx2c)2(4a2x4abx1b2)2(4a2x4abx2b2)2(2ax1b)22(2ax2b)20.又x10，因此方程有两个不等的实根又设g(x)f(x)f(x1)f(x2)，则g(x1)g(x2)f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)20 (bR)恒成立于是(
14、4a)216a0，解得0a1.故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0a1.点评本题中的新情境不动点，它的实质就是方程f(x)x的根2(聊城模拟)若关于x的方程x23xa0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围分析本问题可转化为函数yx23xa有两个零点，其中有一个在(0,1)内那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)f(n)0，求a的取值范围解根据题意，函数yx23xa有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数yx23xa的大致图象，如图所示，则可得解得0a2.故a的取值范围是(0,2)点评利用二次方程的根的分布求参数取值范围常
15、利用数形结合思想确定条件需从三个方面考虑：判别式；对称轴直线x与区间端点的关系；区间端点函数值的正负3(浙江高考)若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程xfg(x)0有实数解，则gf(x)不可能是()Ax2x Bx2xCx2 Dx2分析由于本题未知函数f(x)、g(x)的类型，试图用待定系数法去解决比较困难故可采用较灵活的方法逐一验证法解析若gf(x)x2x，不妨设f(x)x2x，g(x)x，由方程xfg(x)0即得x20，显然，x20有解故函数gf(x)有可能为x2x.若gf(x)x2x，不妨设f(x)x2x，g(x)x，由方程xfg(x)0，即得x20.显然，x20无解故函
16、数gf(x)不可能为x2x.对于C、D两答案，同理可得可能为gf(x)答案B点评本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性4设函数yf(x)的定义域为实数集R，如果存在实数x0，使得x0f(x0)，那么x0为函数yf(x)的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是()分析函数的零点即为函数值为0时对应方程的解因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去解析使x0f(x0)的解即为yf(x)的图象和yx的交点的个数问题观察图象易得结论答案B5关于x的
17、方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个论断：存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根其中正确的个数是()A0 B4 C2 D3分析本题的命制立足函数与方程之间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理解析据题意可令x21t(t1)，则方程化为|t|2|t|k0，即k|t|t|2.作出y1|t|t|2的图象如右图，平移y2k
18、这一直线，结合函数的图象可知：当0k时，t有4个值，相应的x有8个值当k时，t有2个值，相应的x有4个值当k0时，t有3个值，相应的x有5个值当k0时，t有1个值，相应的x有2个值答案B6对于函数yf(x)(xD)其中D为函数的定义域，若同时满足下列2个条件：yf(x)在定义域内是单调函数；存在区间a，bD，使f(x)在a，b上的值域是a，b，那么把yf(x)(xD)称为闭函数(1)求闭函数yx3符合条件的区间a，b；(2)判断函数f(x)x，x(0，)是否为闭函数，说明理由分析首先以定义形式给出函数的一项性质，然后围绕此性质进行命题，其实质是对函数单调性的应用考察，其次是函数与方程的转化，数形结合解决有关二次函数根的问题解(1)因为yx3是R上的单调递减函数，所以有且ab，即ab30.又a3b9b，故b1，a1.所以该区间为1,1(2)由函数单调性的定义知，该函数在x(0，)为单调减函数，若为闭函数，则存在xa，b，值域为a，b于是即所以ab4，得a，所以a24与任意实数的平方是非负数相矛盾，所以不存在满足性质的区间，故该函数不是闭函数最新精品资料