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1、 年高考年模拟 版（教师用书） 第十八章数学归纳法及其应用 对应学生用书起始页码 考 点数学归纳法 数学归纳法 数学归纳法用于证明一个与正整数 有关的命题，数学归 纳法证题的一般步骤： （）（归纳奠基）证明当 取第一个值 （）时命题 成立； （）（归纳递推）假设 （，）时命题成立，证明 当 时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有 正整数 都成立上述证明方法叫做数学归纳法 数学归纳法与递推思想 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步 是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否 则就会导致错误 如何正确运用数学归纳法 用数学归纳法证明时要做到“递推基
2、础不可少，归纳假设要 用到，结论写明莫忘掉”因此必须注意以下两点： （）验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 ， 这个数 就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数 并不一定都是“” （）递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“”到“”的过程 中，必须把“”时的归纳假设作为条件来导出“”时 的结论，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次 对应学生用书起始页码 应用数学归纳法解题的策略 以数列、不等式等知识为载体，融分类讨论、等价转化等数 学思想方法于其中，或要求先进行不完全归纳，猜测出结论，再 运用数学归纳法进行证明，这是高考对本部分知识命制试题最 常用的形式 题目没
3、有明确给出用数学归纳法证明时要选择使用，理解 数学归纳法更多是证明关于自然数的命题正确性的方法 由 到 的证明中寻找由 到 的变化规律是难点， 突破难点的关键是掌握由 到 的证明方法在运用归纳假设 时，应分析 （）与 （）的差异及联系，利用拆、添、并、放、缩 等方法，或从 （）出发拼凑 （），或从 （）中分离出 （），再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺 利过渡，切实掌握“观察 归纳 猜想 证明”这一特殊 到一般的推理方法 （ 无锡期末，）已知数列满足 ， （） （）求数列的通项公式； （）设数列的前 项和为 ，用数学归纳法证明： 解析 （）当 时，由 ， 得 ， （ 分） 是
4、首项为，公差为 的等差数列 ， （ ） （ 分） （）证明：当 时，左边 ，右边 ， ， ， 所以命题成立；（ 分） 假设当 （，）时成立， 即 则当 时， ， 要证 （） （） ， 只要证 （） （） ， 只要证 ，即证 () （ 分） 设函数 （） （）（）， 第十八章 数学归纳法及其应用 （） ， ， （）， 函数 （）在（，）上为减函数， （）（） ，即 （） () ，也就是说，当 时命题也成立 综上所述， （ 分） （ 如东中学、栟茶中学期末，）已知（） （ ） （ ） （ ） （ ）， 令 （）求 和 关于 的表达式； （）试比较 与（） 的大小，并证明你的结论 解析 （）在（）
5、（）（） （） 中，令 ，可得 对（） （）（） （） 两 边同时求导得， （）（） （） （） （） ， 令 ，则 ，所以 （ 分） （）要比较 与（） 的大小，即比较 与（） 的大小 当 时，（） ； 当 或 或 时，（） ； 当 时，（） 猜想：当 时，（） 下面用数学归纳法证明 由上述过程可知，当 时，结论成立 假设当 （，）时结论成立，即 （） ， 两边同乘 ，得 （） （） （） ， 而（） （）（） （）（）（）， 所以 （）（） ， 即 时结论也成立 由可知，当 时，（） 成立 综上所述，当 时， （） ； 当 或 或 时， （） ； 当 时， （） （ 分） 名师点睛 “归纳
6、猜想证明”类问题的一般思路 （）计算：根据条件，计算若干项 （）归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般 结论 （）证明：用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关 的命题中有着广泛的应用 （ 南通调研，） （）用数学归纳法证明：当 时， () （，且 ，）； （） 求 的值 解析 （）证明：当 时， 等式右边 () () () () () 等式左边，等式成立 假设当 时等式成立， 即 () 那么，当 时，有 （） () （） () （） （） （） （） （） （） () ， 故当 时等式也成立 综合可知，对任意 等式都成立 （）解法一：由（）可知， () ， 两边同时求导，得 () () () ， 年高考年模拟 版（教师用书） 所以 () () () ， 所以 解法二：当 为自然数时， （ ） （） （ ） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） ， 所以 （）