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1、第37讲直线 平面垂直的判定与性质1.给出下列四个命题:垂直于同一平面的两条直线相互平行;垂直于同一平面的两个平面相互平行;若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.42.设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件是()A.ac,bcB.,a,bC.a,bD.a,b3.2018黄山八校联考 已知,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列说法:若m,m,则;若m,n,m,n,则;如果m,n,m,n是异面直线,那么n与相交;若=
2、m,nm,且n,n,则n且n.其中说法正确的是()A.B.C.D.4.2018杭州模拟 设,是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题:若m,m,则;若m,则m.则()A.都是假命题B.是真命题,是假命题C.是假命题,是真命题D.都是真命题图K37-15.如图K37-1所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 6.2018杭州名校协作体模拟 若,表示两个不同的平面,直线m,则“”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件图K37-2
3、7.如图K37-2所示,已知ABC为直角三角形,其中ACB=90,M为AB的中点,PM垂直于ABC所在平面,那么()A.PA=PBPCB.PA=PBPCC.PA=PB=PCD.PAPBPC8.2018衡水联考 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是侧面AA1D1D与底面ABCD的中心,则下列结论中错误的个数为()DF平面D1EB1;异面直线DF与B1C所成角为60;ED1与平面B1DC垂直;V三棱锥F - CDB1=112.A.0B.1C.2D.39.2018南昌测试 在三棱锥S-ABC中,SABC,SCAB,则S在底面ABC上的射影一定是三角形ABC的()A.内心B.
4、外心C.垂心D.重心10.如图K37-3,在四棱锥P-ABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,ACBD,则下列结论不图K37-3一定成立的是()A.PBACB.PD平面ABCDC.ACPDD.平面PBD平面ABCD11.2018包头模拟 在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,G是EF的中点,沿DE,EF,FD将正方形折起,使A,B,C重合于点P,构成四面体,则在四面体P-DEF中,给出下列结论:PD平面PEF;DG平面PEF;平面PDE平面PDF.其中正确结论的序号是()A.B.C.D.12.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在四
5、棱锥的表面上运动,并且总保持PEAC,则动点P的轨迹的长为. 图K37-413.如图K37-4,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形ABCD中AC与BD的交点,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:PC平面OMN;平面OMN平面PAB;OMPA;平面PCD平面OMN.其中正确结论的序号是.14.2018扬州树人中学模拟 如图K37-5,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面PAC,ABBP,M,N分别为PA,AB的中点.(1)求证:PB平面CMN;(2)若AC=PC,求证:AB平面CMN.图K37-515.2018柳州高级中学模拟 如图K37-6,菱形ABCD的边长为6,
6、BAD=60,AC与BD交于点O,将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD(如图),点M是棱BC的中点,DM=32.(1)求证:平面ODM平面ABC;(2)求点M到平面ABD的距离.图K37-616.2018漳州一中模拟 如图K37-7,四边形ABCD为正方形,EA平面ABCD,EFAB,AB=4,AE=2,EF=1.(1)求证:BCAF;(2)若点M在线段AC上,且满足CM=14CA,求证:EM平面FBC;(3)求证:AF平面EBC.图K37-7课时作业(三十七)1.B解析 由直线与平面垂直的性质,可知为真命题;正方体相邻的两个侧面都垂直于底面,但这两个侧面不平行,故为假命题;正
7、方体的侧面中有无数条直线与底面平行,但侧面与底面不平行,故为假命题;由直线与平面垂直的定义知为真命题.2.C解析 对于选项C,因为a,b,所以ab;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中,一定有ab.3.D解析 若m,m,则,故正确;若m,n,m,n,当m,n相交时,则,但m,n平行时,结论不一定成立,故错误;如果m,n,m,n是异面直线,那么n与相交或平行,故错误;若=m,nm,n,则n,同理由n可得n,故正确.故选D.4.B解析 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,所以是真命题;若m,则m与不一定垂直,所以是假命题.故选B.5
8、.DMPC(或BMPC)解析 易知BDPC,当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD.而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.6.B解析 由m,m,而时,内任意一条直线不一定垂直于,因此“”是“m”的必要不充分条件,故选B.7.C解析M为AB的中点,ACB为直角三角形,BM=AM=CM,又PM平面ABC,RtPMBRtPMARtPMC,PA=PB=PC.8.A解析 对于,DFB1D1,DF平面D1EB1,B1D1平面D1EB1,DF平面D1EB1,故正确;对于,DFB1D1,异面直线DF与B1C所成角即为B1D1与B1C所成角,又B1D1C为等边三角形,故异面直线DF与B1C所成角为60
9、,故正确;对于,ED1A1D,ED1CD,且A1DCD=D,ED1平面A1B1CD,即ED1平面B1DC,故正确;对于,V三棱锥F - CDB1=V三棱锥B1- CDF=13SCDF1=1314=112,故正确.故选A.9.C解析 过S作SO平面ABC,垂足为O,连接AO并延长,交BC于H,连接CO.SOBC,SABC,SOSA=S,BC平面SAO,又AO平面SAO,BCAO,同理ABCO,O是三角形ABC的垂心.故选C.10.B解析 如图,设BP的中点为O,连接OA,OC,易得BPOA,BPOC,则BP平面OAC,故BPAC,则选项A成立;又ACBD,则AC平面BDP,故ACPD,平面PBD
10、平面ABCD,即选项C,D成立.故选B.11.C解析 如图所示,因为DAAE,DCCF,所以折叠后DPPE,DPPF,所以DP平面PEF,所以正确;由DP平面PEF,可知DG平面PEF是不正确的,所以不正确;由PEPF,PEDP,可得PE平面DPF,又PE平面PDE,所以平面PDE平面DPF,所以正确.综上可知,正确结论的序号为,故选C.12.2+6解析 如图,设ACBD=O,连接SO,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,连接GH,易知ACEF,GHSO,GH平面ABCD,ACGH,AC平面EFG,故动点P的轨迹是EFG(除去点E),由已知易得EF=2,GE
11、=GF=62,EFG的周长为2+6,故动点P的轨迹的长为2+6.13.解析 如图所示,其中E,F分别为AD,BC的中点,G为OE的中点,平面OMN即平面MNFE.因为PCOM,所以PC平面OMN,因为PDON,所以PD平面OMN,又因为PCPD=P,所以平面PCD平面OMN,故正确;由于四棱锥的棱长均相等,所以PA2+PC2=AB2+BC2=AC2,所以PCPA,又PCOM,所以OMPA,故正确;因为OM=12PC=12PD=ME,所以MGOE,又MNOE,所以GMMN,假设平面OMN平面PAB,则GM平面PAB,则MGPA,设四棱锥的棱长为4,则MA=2,AG=5,MG=3,三边长度不满足勾
12、股定理,所以MG不垂直于PA,与假设矛盾,故不正确.14.证明:(1)因为M,N分别为PA,PB的中点,所以MNPB.又PB平面CMN,MN平面CMN,所以PB平面CMN.(2)因为ABBP,MNPB,所以ABMN.因为AC=PC,M为PA的中点,所以CMPA.又平面PAB平面PAC,平面PAB平面PAC=PA,所以CM平面PAB,因为AB平面PAB,所以CMAB,又CMMN=M,CM平面CMN,MN平面CMN,所以AB平面CMN.15.解:(1)证明:四边形ABCD是菱形,ACBD,即DOAC.又菱形ABCD的边长为6,BAD=60,OD=12BD=3.在RtBOC中,M是BC的中点,OM=
13、12BC=3,OM2+OD2=32+32=18=(32)2=DM2,ODOM.而OM平面ABC,AC平面ABC,ACOM=O,OD平面ABC,平面ODM平面ABC.(2)连接AM,易知AB=6,BM=3,ABM=120,SABM=12ABBMsin120=923.由(1)知,OD平面ABC,BD2=OD2+OB2=2OD2=18,BD=32,ABD中BD边上的高h=AB2-(12BD)2=62-(322)2=3214,SABD=12BDh=972.设点M到平面ABD的距离为d,则由V三棱锥M-ABD=V三棱锥D-ABMd=SABMODSABD=3217,即为所求.16.证明:(1)因为EFAB
14、,所以EF与AB确定平面EABF.因为EA平面ABCD,所以EABC.由已知得ABBC,又EAAB=A,所以BC平面EABF.又AF平面EABF,所以BCAF.(2)过M作MNBC,垂足为N,连接FN,则MNAB.又CM=14AC,所以MN=14AB.又EFAB且EF=14AB,所以EFMN且EF=MN,所以四边形EFNM为平行四边形,所以EMFN.又FN平面FBC,EM平面FBC,所以EM平面FBC.(3)由(1)可知,AFBC.在四边形ABFE中,AB=4,AE=2,EF=1,BAE=AEF=90,所以tanEBA=tanFAE=12,则EBA=FAE.设AFBE=P,因为PAE+PAB=90,所以PBA+PAB=90,则APB=90,即EBAF.又因为EBBC=B,所以AF平面EBC.