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1、 专题探究6最值 范围 证明问题 1.2018衡水中学月考 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为22,过y轴上一点M(0,m)作一条直线l:y=kx+m(m0),交椭圆于A,B两点,且ABF1的周长的最大值为8.(1)求椭圆的方程;(2)以点N为圆心,半径为|ON|的圆的方程为x2+(y+m)2=m2,过线段AB的中点C作圆的切线CE,E为切点,证明:当|NC|NE|取最大值时,点M在短轴上(不包括短轴端点及原点).2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个顶点到直线l:y=x的距离分别为62,22.(1)求椭圆C的离心率;(2)过圆O:x
2、2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN,直线PM,PN分别与圆O交于点M,N,求PMN的面积的最大值.3.2018荆州中学月考 已知抛物线C:y2=2px(p0),且Q(q,0),M14,-1,N(n,4)三点中恰有两点在抛物线C上,另一点是抛物线C的焦点.(1)求证:Q,M,N三点共线;(2)若直线l过抛物线C的焦点且与抛物线C交于A,B两点,点A到x轴的距离为d1,点B到y轴的距离为d2,求d14+d22的最小值.4.2018临沂沂水一中月考 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点-2,53,且离心率为23,直线l过点(0,-1),M,N是椭圆C上关于直线l对称的
3、两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求直线l在x轴上的截距的取值范围.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a0,b0)过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点,且P在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.6.2018衡水中学月考 已知右焦点为F(c,0)的椭圆E:x2a2+y23=1(a0)关于直线x=c对称的图形过坐标原点,A是椭圆E的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在椭圆E上,且MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|
4、时,证明:3k0得m20,y=t+1t在3,+)上单调递增,t+1t103,当且仅当t=3时等号成立,此时|NC|NE|取得最大值,且k=0,m24k2+2=2,-2m0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,所以d14+d22=y14+x22=y14+y24162y14y2416=2(-4)416=8,当且仅当y14=y2416=4,即y1=2,y2=-22或y1=-2,y2=22时,等号成立,所以d14+d22的最小值为8.4.解:(1)依题意,4a2+259b2=1,a2=b2+c2,ca=23,解得a2=9,b2=5,故椭圆C的标准方程为x29+y25=1.(2)记直
5、线l与x轴的交点为D.由题可知直线MN的斜率一定存在,故可设直线MN的方程为y=kx+m.当k0时,直线l的方程为y=-1kx-1,所以xD=-k.将直线MN的方程代入椭圆的方程,消去y整理得(5+9k2)x2+18kmx+9m2-45=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为R,则x1+x2=-18km5+9k2,xR=x1+x22=-9km5+9k2,代入直线MN的方程得yR=5m5+9k2,将点R的坐标代入直线l的方程,可得9k2=4m-5(*).由=(18km)2-4(5+9k2)(9m2-45)0,得m2-9k2-50.将(*)式代入上式得m2-4m0,解得0m4,
6、所以-113k113,且k0,所以xD=-k-113,00,113.当k=0时,直线l的方程为x=0,其在x轴上的截距为0.综上所述,直线l在x轴上的截距的取值范围为-113,113.5.解:(1)由题意得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.又c=a2-b2=3,所以离心率e=ca=32.(2)证明:设P(x0,y0)(x00,y00.(1)由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为4,又A(-2,0),直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0,解得y=0或y=127,y1=127,AMN的面积SAMN=212127127=14449.
7、(2)证明:直线AM的方程为y=k(x+2)(k0),将y=k(x+2)代入x24+y23=1,消去y并整理得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|AM|=1+k2|x1+2|=121+k23+4k2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+2),同理可得|AN|=12k1+k24+3k2.由2|AM|=|AN|得23+4k2=k4+3k2,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,f(t)在(0,+)上单调递增,又f(3)=153-260,因此f(t)在(0,+)上有唯一的零点k,且k(3,2),当2|AM|=|AN|时,3k2.