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1、第25讲平面向量的数量积与平面向量应用举例1.若向量a,b,c满足ab且ac,则c(a+2b)=()A.4B.3C.2D.02.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60,则|a+b|等于()A.22+3B.23C.4D.123.已知|a|=1,b=(0,2),且ab=1,则向量a与b夹角的大小为()A.6B.4C.3D.24.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则a+b在a方向上的投影为.5.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:N)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.6.2018济南模拟 已知两个非
2、零向量a与b的夹角为锐角,则()A.ab0B.ab0C.ab0D.ab07.2018衡水中学月考 已知平面向量a,b的夹角为3,且|a|=1,|b|=12,则|a-2b|=()A.1B.3C.2D.328.2018安徽江南十校联考 已知向量a与b均为单位向量,若2a-b也是单位向量,则向量a与b的夹角为()A.45B.60C.90D.1359.2018成都七中二诊 若向量AB=12,32,BC=(3,1),则ABC的面积为()A.12B.32C.1D.310.设向量a=(3,1),b=(x,-3),c=(1,-3),若bc,则a-b与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150图K25-
3、111.2018龙岩模拟 如图K25-1所示,AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边AB上的高,点P在射线OC上,则APOP的最小值为()A.-1B.-18C.-14D.-1212.2018贺州模拟 已知矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P为矩形内一点,且|AP|=1,则(PC+PD)AP的最大值为()A.0B.2C.4D.613.2018宁夏平罗中学四模 已知|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45,且b-a与a垂直,则实数=.14.已知DEF的外接圆的圆心为O,半径为4,如果OD+DE+DF=0,且|OD|=|DF|,则向量EF在FD方向上的投影为.15.2018贵州黔东南州一
4、模 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.D,E是线段AB上满足条件CD=12(CB+CE),CE=12(CA+CD)的点,若CDCE=c2,则当角C为钝角时,的取值范围是()A.-136,29B.-118,29C.-136,19D.-118,1916.2018淮南一模 如图K25-2所示,已知圆M:(x-4)2+(y-4)2=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E,F分别为边AB,AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,MEOF的取值范围是()图K25-2A.-82,82B.-8,8C.-4,4D.-42,42课时作业(二十五)1.D解析 由ab及ac,得bc,则c(a+
5、2b)=ca+2cb=0.故选D.2.B解析|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos60=4+4+22212=12,所以|a+b|=23.故选B.3.C解析cos=ab|a|b|=112=12,又向量a与b的夹角在区间0,内,所以向量a与b夹角的大小为3.故选C.4.2解析 由题意知a+b在a方向上的投影为(a+b)a|a|=a2+|a|b|cos60|a|=2.5.27解析 易知F1+F2=-F3,所以|F3|2=|F1+F2|2=4+16+22412=28,所以|F3|=27.6.A解析 因为ab=|a|b|cos,两个非零向量a与b的夹角为锐角,所以ab0,故选A.7.A解析
6、 因为平面向量a,b的夹角为3,且|a|=1,|b|=12,所以|a-2b|=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=12-4112cos3+4(12)2=1,故选A.8.A解析 由题意知(2a-b)2=2a2-22ab+b2=2-22ab+1=1,ab=22=cos,=45,故选A.9.A解析AB=12,32,BC=(3,1),|AB|=1,|BC|=2,又AB与BC的夹角的余弦值为ABBC|AB|BC|=32,ABC=150,SABC=121212=12,故选A.10.D解析 因为bc,所以-3x=(-3)1,所以x=3,所以b=(3,-3),a-b=(0,4),所以a-b与b的夹角的余弦值
7、为-12423=-32,所以夹角为150.11.B解析 设|OP|=t0,因为AP=OP-OA,则APOP=(OP-OA)OP=OP2-OAOP=t2-22t=t-242-18-18,当t=24时取等号,所以APOP的最小值为-18.故选B.12.B解析 以点A为原点,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设P(x,y),因为|AP|=1,所以点P在第一象限内的以A为圆心的单位圆上,则x2+y2=1(x0,y0).根据三角函数定义,设P(cos,sin)02,C(2,3),D(0,3),则PC=(2-cos,3-sin),PD=(-cos,3-sin),AP=(co
8、s,sin),所以(PC+PD)AP=2cos-2cos2+23sin-2sin2=432sin+12cos-2=4sin+6-2,当=3时,其取得最大值2,故选B.13.2解析 由|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45,得ab=|a|b|cos45=2222=22.b-a与a垂直,(b-a)a=ab-|a|2=22-4=0,解得=2.14.-6解析 由OD+DE+DF=0,得DO=DE+DF.DO经过EF的中点,DOEF.连接OF,|OF|=|OD|=|DF|=4,DOF为等边三角形,ODF=60,DFE=30,且EF=4sin602=43,向量EF在FD方向上的投影为|EF|cos=4
9、3cos150=-6.15.A解析 依题意知D,E分别是线段AB上的两个三等分点,则有CD=23CB+13CA,CE=13CB+23CA,则CDCE=2a29+2b29+59CBCA,而CBCA=a2+b2-c22,则CDCE=2a29+2b29+518(a2+b2-c2)=c2,化简得18+59=a2+b2c2,由C为钝角知a2+b2c2a2+b2c212c2a2+b2c212,则有1218+591-13629,故选A.16.B解析 因为圆M的半径为2,所以正方形ABCD的边长为22.因为ME=FA,所以MEOF=FAOF=FA(OA+AF)=FAOA-|AF|2=FA(OM+MA)-2=FAOM+FAMA-2=FAOM+2222-2=FAOM=|FA|OM|cos=8cos,所以-8MEOF8.故选B.