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1、第6讲 离散型随机变量及其分布列,1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.,2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独 立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.,1.随机变量,(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字,母 X，Y，表示.,(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机,变量.,(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫,做连续型随机变量.,2.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：,设 A，B 为两个事件，且 P(
2、A)0，称 P(B|A),为事件,A 发生的条件下，事件 B 发生的概率. (2)条件概率的求法： 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概,型概率公式，即 P(B|A),n(AB) . n(A),(3)条件概率的性质：,条件概率具有一般概率的性质，即_P(B|A)_； 若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A) P(C|A).,3.事件的相互独立性,(1)设 A，B 为两个事件，若 P(AB)_，则称事件 A 与事件 B 相互独立.,0,1,P(A)P(B),4.离散型随机变量的分布列,称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列. 有时为了表达简
3、单，也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表 示 X 的分布列.,一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表,5.离散型随机变量分布列的性质,(1)pi0(i1,2，n).(2)p1p2pn1. 6.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：,如果随机变量 X 的分布列为：,其中 0p1，称 X 服从两点分布，而称 pP(X1)为成功,概率.,(2)超几何分布：,一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中 恰有 X 件次品，则随机事件 X k 发生的概率为 P(X k) ,(3)二项分布
4、： 一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复,(k0,1,2，n).此时称随机变量 X 服从二项分布.记作 XB(n， p)，并称 p 为成功概率.其分布列如下表：,1.设随机变量 X 的分布列如下：,C,2.某射手射击所得环数 X 的分布列为：,C,则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为(,),A.0.28,B.0.88,C.0.79,D.0.51,解析：P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.29 0.220.79.,C,4.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去,描
5、述 1 次试验的成功次数，则 P(X0)(,),C,考点 1,离散型随机变量的分布列,例 1：摩拜单车和 ofo 小黄车等各种共享单车的普及给我们 的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不 超过 1 小时(包含 1 小时)是免费的，超过 1 小时的部分每小时 收费 1 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算，例如：骑行 2.5 小 时收费为 2 元).现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设,(1)求甲、乙两人所付的车费相同的概率；,(2)设甲、乙两人所付的车费之和为随机变量，求的分布,列及数学期望 E().,【规律方法】离散型随机变量的分布列的求法：,写出X 的所有可能取
6、值(注意准确理解X 的含义，以免失,误)；,利用概率知识(古典概型或相互独立事件的概率)求出X,取各值的概率；,列表并检验，写出分布列.,【互动探究】,1.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考 期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共 200 名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图 9-6-1. (1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数； (2)从这 200 名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之 差的绝对值为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望.,图 9-6-1,解：由图可知，参加送考次数为 1 次，2 次，3 次的司机人 数分别为 20,100,
7、80. (1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：,1202100380 200,2.3.,(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加 1 次， 另一个参加 2 次送考”为事件 A，“这两人中一人参加 2 次， 另一人参加 3 次送考”为事件 B，“这两人中一人参加 1 次， 另一人参加 3 次送考”为事件 C，“这两人参加次数相同”为 事件 D.,考点 2,超几何分布,例 2：(2017 年北京)为了研究一种新药的疗效，选 100 名 患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药. 一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制 成图 9-6-2，其中“
8、*”表示服药者，“”表示未服药者. 图 9-6-2,(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值,小于 60 的概率；,(2)从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记为选出 的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求的分布列和数学期望 E()；,(3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服,药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论),解：(1)由题图知，在服药的 50 名患者中，指标的值小于 60 的有 15 人， 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标的值小,于 60 的概率为,0.3.,(2)由图知，A，B，C，D 四人中
9、，指标的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C. 所以的所有可能取值为 0,1,2.,所以的分布列为：,(3)在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服,药者指标 y 数据的方差.,【规律方法】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布 列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问 题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布是一个重 要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品、摸不 同类别的小球等概率模型.,【互动探究】,2.(2017 年山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法 评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的 志愿者随机分成两组，一
10、组接受甲种心理暗示，另一组接受乙 种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来 评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者A1，A2，A3，A4， A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接 受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.,(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的,频率；,(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分,布列与数学期望 E(X).,因此 X 的分布列为： X 的数学期望是： E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3) 4P(X4),考点 3,二项分布的应用,例 3：(2018
11、 年新课标)某工厂的某种产品成箱包装，每 箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检 验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检 验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0p1)，且各件产品 是否为不合格品相互独立. (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，求 f(p) 的最大值点 p0.,(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品， 以(1)中确定的 p0 作为 p 的值.已知每件产品的检验费用为 2 元， 若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付
12、 25 元的赔偿费用.,若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用,与赔偿费用的和记为 X，求 E(X)；,以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该,对这箱余下的所有产品作检验？,解：(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p),(2)由(1)知，p0.1.,令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意,知 YB(180,0.1)，X20225Y，即 X4025Y.,所以 E(X)E(4025Y)4025E(Y)490.,如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验,费为 400 元.,由于 E(X)400，故应该对余下的产品作检验.,【规律方法】
13、(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关 键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否必居其 一；二是重复性，即试验是否独立重复进行了n 次.,(2)二项分布满足的条件：,每次试验中，事件发生的概率是相同的； 各次试验中的事件是相互独立的；,每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； 随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数.,【互动探究】,3.自 2016 年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的 日常生活中，某市针对 18 岁到 80 岁之间的不同年龄段的城市 市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：,(1)采用分层抽样的方式从年龄在25,35)内的人中抽
14、取 10,人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？,(2)在(1)中选出的 10 人中随机抽取 4 人，求其中恰有 2 人,是女性的概率；,(3)用样本估计总体，在全市 18 岁到 80 岁的市民中抽 4 人，,其中男性使用的人数记为，求的分布列.,思想与方法,分类讨论思想与离散型随机变量的结合,例题：(2014 年福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖 的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面 值之和为该顾客所获的奖励额.,(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其,余 3 个均为 1
15、0 元，求：,顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.,(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个 球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 为 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋 中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.,解：(1)设顾客所获的奖励额为 X.,所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)200.5600.5 40.,即 X 的分布列为：,(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元. 所以先寻找
16、期望为 60 元的可能方案.,对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50) 的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能为 60 元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为 60 元是面值之和的 最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10, 50,50)，记为方案 1；,对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排除(20,20, 20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)， 记为方案 2.,以下是对两个方案的分析： 对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所
17、获的奖励额为 X1，则X1的分布列为：,对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为 X2，则X2的分布列为：,因为两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励 额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.,【规律方法】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率 的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力. 尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时 候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质 来检查分类讨论是否有所遗漏或重复.,【互动探究】,4.十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保 部门对某河流的每年污水排放量
18、X(单位：吨)的历史统计数据， 得到如下频率分布表：,将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河,流的污水排放量相互独立.,(1)求在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 X270,310)的,概率；,(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 X 230,270)时，没有影响；当 X270,310)时，经济损失为 10 万 元；当 X310,350)时，经济损失为 60 万元.为减少损失，现有 三种应对方案：,方案一：防治 350 吨的污水排放，每年需要防治费 3.8 万,元；,方案二：防治 310 吨的污水排放，每年需要防治费 2 万元； 方案三：不采取措施.,试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.,在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 X270,310)的概,率为,27 32,.,(2)方案二好，理由如下：由题意得 P(230X270)0.74， P(310X350)0.01. 用S1，S2，S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损 失.则 S13.8 万元.,S2 的分布列为：,E(S2)20.99620.012.6(万元). S3 的分布列为：,E(S3)00.74100.25600.013.1(万元).,所以三种方案中方案二的平均损失最小，故采取方案二,最好.,