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1、第11讲 一元二次方程根的分布,结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.,图 2-11-1,图 2-11-2,方程有两根(如图 2-11-3)：x2k，x1 k af(k)0；,图 2-11-3,方程有且只有一根在区间(k1 ，k2) 内 f(k1)f(k2)0( 如图,2-11-4)；,图 2-11-4,方程两根满足 k1x1x2k2(如图 2-11-5),图 2-11-5,1.若集合 Ax|ax2ax10，则实数 a 的值的集合是,(,D,) A.a|0a4 C.a|0a4,B.a|0a4 D.a|0a4,2.关于 x 的方程 x2axa10
2、 有异号的两个实根，则 a,的取值范围是_.,a1,3.若方程 8x2(m1)xm70 有两个负根，则实数 m,的取值范围是_.,m7,4.关于 x 的方程 x2axa240 有两个正根，则实数 a,的取值范围是_.,考点1,一元二次方程根的分布,例1：若关于x 的一元二次方程(m1)x22(m1)xm0， 分别满足下列条件时，求 m 的取值范围. (1)一根在(1,2)内，另一根在(1,0)内； (2)一根在(1,1)，另一根不在(1,1)内； (3)一根小于 1，另一根大于 2； (4)一根大于1，另一根小于1； (5)两根都在区间(1,3)； (6)两根都大于 0；,(7)两根都小于 1
3、； (8)在(1,2)内有解.,(2,1),【互动探究】,1.(2018 年山东实验中学诊断)如果方程 x2(m1)xm2 20 的两个实根一个小于 1，另一个大于 1，那么实数 m 的取 值范围是_.,解析：记 f(x)x2(m1)xm22，由题意，可知 f(1),m2m20.解得2m1.,考点2,一元二次方程根的分布的应用,例2：已知抛物线 yx2mx1 与以 A(3,0)，B(0,3)为端 点的线段 AB 恰有一个公共点，求实数 m 的取值范围. 思维点拨：由直线AB 的方程为 yx3，得线段 AB 的 方程为：yx3(0x3)，由题设抛物线 yx2mx1 与线段 AB：yx3(0x3)
4、恰有一个公共点，问题归结为,方程组,yx3， yx2mx1,在 0x3 内只有一个实数解.,解：线段 AB 的方程为 yx3(0x3).,代入抛物线方程，得 x2(m1)x40(0x3)，,问题归结为方程 x2(m1)x40 在0,3内仅有一个实 数解. 令 f(x)x2(m1)x4，结合 f(x)x2(m1)x4 在区 间0,3上的图象可知：,m3 时，方程有两相等实根，且,)当 对称轴在区间0,3内.,【互动探究】 2.若二次函数 yx2mx1 的图象与两端点为 A(0,3)， B(3,0)的线段 AB 有两个不同的交点，求 m 的取值范围. 解：线段 AB 的方程为 xy3(0x3)，,
5、由题意，得方程组,xy3(0x3)， yx2mx1,有两组实数解.代,入，得 x2(m1)x40(0x3)有两个实根.令 f(x)x2(m 1)x4，,思想与方法,运用分类讨论思想判断方程根的分布,例题：已知函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1,上有零点，求实数 a 的取值范围.,解：方法一，当 a0 时，f(x)x1，令 f(x)0，得 x1，,是区间1,1上的零点.,当 a0 时，函数 f(x)在区间1,1上有零点分为三种情况： 方程 f(x)0 在区间1,1上有重根，,【规律方法】(1)函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间,1,1上有零点，应该分类讨论：讨论 a0 与a
6、0；讨论有一个,零点或有两个零点；如果只有一个零点还要讨论是否是重根；,(2)函数 f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是方程 f(x),0 的实数根；,(3)准确理解根的存在性定理：f(x)在a，b上连续；,f(a)f(b)0；这是零点存在的一个充分条件，不是必要条件， 并且满足f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上至少有一个零点；不满 足f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上未必无零点，也可能有多个零 点.,【互动探究】 3.已知二次函数 f(x)x2(2a1)x12a. (1)判断命题：“对于任意的 aR(R为实数集)，方程 f(x) 1 必有实数根”的真假，并写出判断过程；,(2)若 yf(x)在区间(1,0)及,内各有一个零点.求实数,a 的取值范围.,解：(1)“对于任意的 aR(R为实数集)，方程 f(x)1 必,有实数根”是真命题.,依题意，得 f(x)1 有实数根， 即 x2(2a1)x2a0 有实数根.,(2a1)28a(2a1)20 对于任意的 aR(R为实,数集)恒成立，,x2(2a1)x2a0 必有实数根. f(x)1 必有实数根.,