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1、第15讲 导数的意义及运算,1.函数导数的定义,2.导数的几何意义和物理意义,(1)导数的几何意义：函数 yf(x)在 x0 处的导数 f(x0)的几 何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应 地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0).,(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律 是 ss(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度为 vs(t0).如果 物体运动的速度随时间变化的规律是 vv(t)，则该物体在时刻 t0 的瞬时加速度为 av(t0).,3.基本初等函数的导数公式表,0,x1,sin x,ex,4.运算法则,u(x)v(x)u(
2、x)v(x),),C,1.已知函数 f(x)42x2，则 f(x)( A.4x B.8x C.82x D.16x,2.(2018 年新课标)曲线 y(ax1)ex 在点(0,1)处的切线的 斜率为2，则 a_.,3,4.若函数 f(x)ln xax 在点 P(1，b)处的切线与 x3y2,0 垂直，则 2ab(,),A.2,B.0,C.1,D.2,A,D,考点1,导数的概念,所以正确.故选 B. 答案：B,f(x0k)f(x0),【互动探究】,1.若 f(x0)2，则lim k0,2k,(,),A.1,B.2,C.1,D.,1 2,A,x ，f(1),e1ln 1 e.,考点2,导数的计算,例
3、2：(1)(2018年天津)已知函数 f(x)exln x，f(x)为 f(x) 的导函数，则 f(1)的值为_.,f(x)exln,ex x,解析：由函数的解析式，可得 e1 1 答案：e,(2) 已知函数 f(x) 的导函数为 f(x) ，且满足 f(x) 3x2 ,2xf(2)，则 f(5)_.,解析：对 f(x)3x22xf(2)求导，得 f(x)6x2f(2). 令 x2，得 f(2)12.再令 x5，得 f(5)652f(2) 6.,答案：6,(3)设函数f(x)在(0，)内可导，其导函数为f(x)，且,x)xln x，则 f(1)_.,解析：f(ln x)xln x，令 ln x
4、t，xet，则 f(t)ett，,即 f(x)exx.又 f(x)ex1，f(1)e1.,答案：e1,f(ln,【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如f(x)x2sin 的自变量为x，而f()x2sin 的自变量为.,考点3,导数的几何意义,考向1,导数的物理意义,答案：D,考向2,导数的几何意义,例4：(1)(2017 年新课标)曲线 线方程为_.,1.所以在点(1,2)处的切线方程为 y21(
5、x1)，即 yx1. 答案：yx1,解析：f(x)axlnx，f(1)a，f(x)a ，f(1)a1，,(2)(2017 年天津)已知 aR，设函数 f(x)axln x 的图象 在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_.,1 x,所以在点(1，a)处的切线为 ya(a1)(x1)，即 y(a1)x 1，在 y 轴上的截距为 1.,答案：1,(3)(2016年新课标)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_.,答案：y2x1,(4)(2018 年新课标)设函数 f(x)x3(a1)x2ax，若 f(x),为奇
6、函数，则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为(,),A.y2x C.y2x,B.yx D.yx,解析：函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，则 a1，f(x) x3x，f(x)3x21，f(0)1.则曲线 yf(x)在点(0,0)处的 切线方程为 yx.故选 D. 答案：D,【规律方法】求曲线yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点),的切线方程，其方法如下：,求出函数yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)，即函数 yf(x),在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；,切点为P(x0，f(x0)，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0).,易错、易混、易漏,混
7、淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 例题：已知曲线 f(x)x3x，则：,(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为_； (2)曲线过点(1,0)的切线方程为_,_；,解析：f(x)3x21.,(1)曲线在点(1,0)处的切线的斜率为 kf(1)2.,又切点为(1,0)，所求切线方程为 y2(x1)，即 2xy,20.,答案：(1)2xy20,(2)2xy20 或 x4y10,【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与 曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则 该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysin x 相 切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公 共点，显然直线 x1 不是切线”.,(2)求曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方,程，其方法如下：,求出函数yf(x)在xx0 处的导数f(x0)，即函数yf(x),在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；,切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).,(3)求曲线yf(x)过点P(x0，f(x0)(该点不一定为切点)的切 线方程，其方法如下： 设切点 A(xA，yA)，求切线的斜率 kf(xA)；,利用斜率公式k,f(x0)yA x0xA,f(xA)建立关于 xA 的方程，,解出xA，进而求出切线方程.,