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1、第16讲 导数在函数中的应用,1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).,1.函数的单调性,函数 yf(x)在(a，b)内可导，则：,(1)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调递增； (2)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内_.,单调递减,2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处
2、连续时， 如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么f(x0),是极大值；,f(x)0,f(x)0,如果在 x0 附近的左侧_，右侧_， 那么 f(x0)是极小值.,(2)求可导函数极值的步骤： 求 f(x)； 求方程 f(x)0 的根； 检查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左、右值的符号.如果 左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那 么 f(x)在这个根处取得_；如果左右两侧符号一样，那么,这个根不是极值点.,极小值,3.函数的最值,(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件：,如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条连续不断,的曲线，那
3、么它必有最大值和最小值.,(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小,值，f(b)为函数的最大值；,若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，,f(b)为函数的最小值.,(3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤： 求函数 yf(x)在(a，b)内的极值； 将函数 yf(x)的各_与端点值比较，其中最大的一,个是最大值，最小的一个是最小值.,极值,1.如图 2-16-1 是函数 f(x)的导函数 f(x)的图象，则下列判,断中正确的是(,),A,A.函数 f(x)在区间(3,0)上是减函数 B.函数 f(x)在区间(1,3)上是减函数 C.
4、函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数,D.函数 f(x)在区间(3,4)上是增函数,图 2-16-1,2.函数 f(x)(4x)ex 的单调递减区间是(,),D,A.(，4),B.(，3),C.(4，),D.(3，),3.已知函数 f(x)xln x，则 f(x)(,),D,4.函数 f(x)x22ln x 的单调递减区间是(,),A.(0,1) C.(，1),B.(1，) D.(1,1),A,考点1,利用导数研究函数的单调性,例1：(1)(2017 年浙江)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图,),象如图 2-16-2，则函数 yf(x)的图象可能是( 图 2-16-2,A,B,C,
5、D,解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值,点的横坐标大于 0.故选 D.,答案：D,(2)函数 f(x)(3x2)ex 的单调递增区间是(,),A.(，0) C.(，3)和(1，),B.(0，) D.(3,1),解析：f(x)2xex(3x2)ex(32xx2)ex， f(x)0，即 x22x30.解得3x1.f(x)的单调递增区间 为(3,1).故选 D. 答案：D,(3)(2015年陕西)设 f(x)xsin x，则 f(x)(,),A.既是奇函数又是减函数 C.是有零点的减函数,B.既是奇函数又是增函数 D.是没有零点的奇函数,解析：因为 f(x)1cos x0，所以函数为
6、增函数，排 除选项 A 和 C. 又因为 f(0)0sin 00，所以函数存在零点，排除选项 D. 故选 B. 答案：B,【规律方法】求函数的单调区间与函数的极值时要养成列 表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个 函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般 不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.,考点2,含参数函数的单调性,例2：已知函数 f(x)x3ax1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围； (3)若 f(x)在区间(1，)上为增函数，求 a 的取值范围； (4)若 f(x)在区间(1,
7、1)上为减函数，试求 a 的取值范围； (5)若 f(x)的单调递减区间为(1,1)，求 a 的值； (6)若 f(x)在区间(1,1)上不单调，求 a 的取值范围.,解：(1)f(x)3x2a. 当 a0 时，f(x)0， 所以 f(x)在 R 上为增函数.,(2)因为 f(x)在 R 上是增函数，所以 f(x)3x2a0 在 R,上恒成立，即 a3x2 对 xR 恒成立.,因为 3x20，所以只需 a0.,又因为 a0 时，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增,函数，所以 a0，即 a 的取值范围为(，0.,(3)因为 f(x)3x2a，且 f(x)在区间(1，)上为增函数，,
8、所以 f(x)0 在(1，)上恒成立， 即 3x2a0 在(1，)上恒成立.,所以 a3x2 在(1，)上恒成立.所以 a3. 即 a 的取值范围为(，3.,(4)由 f(x)3x2a0 在 (1,1) 上恒成立，得 a3x2 在 (1,1)上恒成立. 因为1x1，所以 3x23.所以 a3. 即当 a 的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数.,【规律方法】若可导函数f(x)在指定的区间 D 上单调递增 (减)，求参数取值范围问题，一是可转化为f(x)0或f(x)0 恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到， 二是利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，
9、则区 间(a，b)是相应单调区间的子集.,【互动探究】 1.(2018 年豫西南部分示范性高中联考)若函数 f(x)2x2,ln xax 在定义域上单调递增，则实数 a 的取值范围为(,),D,A.(4，) C.(，4),B.4，) D.(，4,答案：C,思想与方法,运用分类讨论思想讨论函数的单调性,例题：(2016年新课标)已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2. (1)讨论 f(x)的单调性；,(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.,解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a). 设 a0，则当 x(，1)时，f(x)0.,所以 f(x)在(，1)上单调递
10、减，在(1，)上单调递增. 设 a0，由 f(x)0，得 x1 或 xln(2a).,)若a，则f(x)(x1)(exe)0.,)若0a，则ln(2a)1.,e 2,所以 f(x)在(，)上单调递增.,e 2,故当 x(，ln(2a)(1，)时，f(x)0； 当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0.,所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在,(ln(2a)，1)上单调递减.,)若a1.,e 2,故当 x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0； 当 x(1，ln(2a)时，f(x)0.,所以 f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增，在(1，,ln(2a)上单调递减.,
11、(2)设 a0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，,)上单调递增.,故 f(x)在(1，)上至多有一个零点，在(，1)上至多,有一个零点.,由于 f(2)a0，f(1)ee(x2)a(x1)2a(x1)2 e(x1)e.,因此，当 x0.,设a0，若a，则由(1)知，f(x)在(，ln(2a)，,又 f(1)e0，根据零点存在性定理，f(x)在(，1)上,有且只有一个零点. 所以 f(x)有两个零点.,设 a0，则 f(x)(x2)ex，所以 f(x)有一个零点.,e 2,(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.,f(x)极小值f(1)e0，f(x)极大值fln
12、(2a)aln(2a) 2210，故此时函数 f(x)至多有一个零点，不符合题意， 舍去；,当a时，f(x)ex(x2)ex2a(x1)(x1)(ex,若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在,e 2,e)0 恒成立，此时函数 f(x)至多一个零点，不符合题意，舍去；,e 2,(，1)，(ln(2a)，)上单调递增.,f(x)极大值f(1)e0，f(x)极小值f(ln(2a)0，此时函数,f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去. 综上所述，a 的取值范围为(0，).,【规律方法】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含 有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论
13、， 要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数 取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识， 越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适 当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.,【互动探究】,当 0a2，即2a0 时，,02 时，f(x)0；当ax2 时，f(x)0， f(x)在(0，a)，(2，)上单调递增，在(a,2)上单调,递减.,当a2，即 a2 时，,0a 时，f(x)0；2xa 时，f(x)0， f(x)在(0,2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调,递减.,综上所述，当 a2 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 2a0 时，f(x)在(0，a)，(2，)上单调递增，在(a,2) 上单调递减；当 a2 时，f(x)在(0,2)，(a，)上单调递增， 在(2，a)上单调递减.,