《2020版导与练一轮复习文科数学课件：第五篇 数列（必修5） 第2节 等差数列 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版导与练一轮复习文科数学课件：第五篇 数列（必修5） 第2节 等差数列 .ppt（38页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第2节 等差数列,考纲展示,知识链条完善,考点专项突破,知识链条完善 把散落的知识连起来,知识梳理,1.等差数列的相关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 都等于 常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为_ (n2,nN*,d为常数).,差,同一个,an-an-1=d,a1+(n-1)d,2.等差数列的通项公式 (1)若等差数列an的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an= . (2)通项的推广:an=am+ d.,(n-m),2am,4.等差数列an的性质 (1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,qN*),特别地,若p+q=2
2、m,则ap+aq= (p,q,mN*). (2)若等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列. (3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)成等差数列. (4)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. 5.等差数列的增减性与最值 公差d0时为递 数列,且当a10时,前n项和Sn有最 值.,小,大,增,减,6.等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p0时,(n,
3、an)在一次函数y=px+q的图象上,即公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点.,【重要结论】 1.等差数列an中,若am=n,an=m,则am+n=0. 2.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=Sn(mn),则Sm+n=0. 3.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).,对点自测,B,1.在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6等于( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)6,解析:由等差数列的性质,得
4、a6=2a4-a2=22-4=0,选B.,D,2.(2018山西太原模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9等于( ) (A)3 (B)9 (C)18 (D)27,C,3.(教材改编题)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100等于( ) (A)100 (B)99 (C)98 (D)97,4.在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为 .,5.下列说法正确的是 . (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. (2)数列an为等差数列的充要条件是对任意n
5、N*,都有2an+1=an+an+2. (3)等差数列an的单调性是由公差d决定的. (4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. (5)数列an满足an+1-an=n,则数列an是等差数列. (6)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.,答案:(2)(3)(6),考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一 等差数列的基本量运算,【例1】 (2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式;,解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以
6、an的通项公式为an=2n-9.,(2)求Sn,并求Sn的最小值.,解:(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.,反思归纳,【跟踪训练1】 (1)等差数列an的前n项和为Sn,若S8-S4=36,a6=2a4,则a1等于( ) (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4,
7、(2)(2018安徽两校阶段性测试)若等差数列an的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4, a3+S5=12,则a4+S7的值是( ) (A)20 (B)36 (C)24 (D)72,考点二 等差数列的判定与证明,【例2】 (2018贵州适应性考试)已知数列an满足a1=1,且nan+1-(n+1)an= 2n2+2n. (1)求a2,a3;,解:(1)由已知,得a2-2a1=4, 则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12, 得2a3=12+3a2,所以a3=15.,反思归纳,等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数
8、; (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2; (3)通项公式法:得出an=pn+q(p,q是常数); (4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn(A,B是常数).,【跟踪训练2】 已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数. (1)证明:an+2-an=;,(1)证明:由题设知anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,两式相减得an+1(an+2-an)=an+1,由于an+10,所以an+2-an=.,(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.,考点三 等差数列的性质,【例3】 (1)(2018吉林省百
9、校联盟联考)已知等差数列an的前n项和为Sn,若2a11=a9+7,则S25等于( ),答案:(1)D,答案:(2)A,(3)设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9= .,解析:(3)由an是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, 即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45, 即a7+a8+a9=45.,答案:(3)45,反思归纳,一般地,运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).,答案:(1)D,(2)在等差数列an中,若a3
10、+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .,解析:(2)因为an是等差数列, 所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5, a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25, 所以a5=5,a2+a8=2a5=10.,答案:(2)10,考点四 等差数列的最值问题,【例4】 等差数列an的首项a10,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则Sn有最大值时,n= .,答案:8或9,反思归纳,求等差数列前n项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数
11、,根据二次函数的性质求最值.要注意an=0的情形.,【跟踪训练4】 (1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8,解析:(1)法一 由S3=S11,得a4+a5+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+ a8=0.根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a70,a80,故n=7时Sn最大.故选C.,法二 由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.故选C.,(2)(2018东
12、北四市一模)等差数列an中,已知|a6|=|a11|,且公差d0,则其前n项和取最小值时n的值为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9,解析:(2)等差数列的公差为正数,则a11=-a60, 所以a6+a11=a8+a9=0, 据此可得a80,则其前n项和取最小值时n的值为8.故选C.,备选例题,【例1】 (2018东北三校联考)已知数列an的首项为3,bn为等差数列,且bn=an+1-an(nN*),若b3=-2,b2=12,则a8等于( ) (A)0 (B)-109 (C)-181 (D)121,【例2】 若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为( ) (A)13 (B)12 (C)11 (D)10,点击进入 应用能力提升,