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1、第1课时 余弦定理及其应用,第一章 1.1.2 余弦定理,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 余弦定理 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有,其他两边的平方的和减去,这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,b2c22bccos A,a2c22accos B,a2b22abcos C,思考 在a2b2c22bccos A中，若A90，公式会变成什么？,答案 a2b2c2，即勾股定理.,知
2、识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题 (1)已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. (2)已知三角形的三边，求三角形的三个角.,1.在ABC中，已知两边及夹角时，ABC不一定唯一.( ) 2.在ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.( ) 3.在ABC中，若a2b2c20，则角C为直角.( ) 4.在ABC中，若a2b2c20，则角C为钝角.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,例1 在ABC中，a1，b2，cos C ，则c ；sin A .,解得c2. 由a1，b2，c2，,题型一
3、用余弦定理解三角形,命题角度1 已知两边及其夹角,多维探究,2,反思感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边.,因为ba，所以BA， 所以A为锐角，所以A30.,命题角度2 已知三边,反思感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的推论先求一个角.,跟踪训练2 在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状.,解 因为abcsin Asin Bsin C245， 所以可令a2k，b4k，c5k(k0).,所以C为钝角， 从而三角形为钝角三角形.,题型二 余弦定理的证明,例3 已知钝角ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，试借助三角函数定义用a，b，C表
4、示边c.,解 不妨设A为钝角. 如图，作BDCA，交CA延长线于点D.,BDasin C，CDacos C. ADCDCAacos Cb. c2BD2AD2 a2sin2C(acos Cb)2 a2sin2Ca2cos2Cb22abcos C a2b22abcos C.,引申探究 注意到 b， a， ， 的夹角为C，恰好可以作为一组基底，能否用平面向量完成例3?,即c2a2b22abcos C.,反思感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.,跟踪训练3 用解析几何的两点间距离公式来证
5、明余弦定理.,解 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(c，0)，C(bcos A，bsin A)， BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A， 即a2b2c22bccos A. 同理可证b2c2a22cacos B， c2a2b22abcos C.,典例 在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，则AC边上的中线长为 .,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN,合理探究运算思路,7,解析 方法一 由条件知,设中线长为x，由余弦定理，知,所以x7. 所以AC边上的中线长为7.,方法二 设AC中点为M，连接
6、BM(图略).,BM7，即AC边上的中线长为7.,素养评析 数学运算素养的一个重要表现就是探究运算思路，探究运算思路最主要的是弄清楚3个问题：我有什么？我要什么？怎样以我有达到我要？在本例中，我有三角形三边长.由此可求三角.我要求中线长，由于M为中点，在ABM中，我有AB，AM，A(两边夹角).由此可求BM，思路贯通.在,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,解析 abc，C为最小角且C为锐角，,1,2,3,4,5,3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为,1,2,3,4,5,解析 设顶角为C，周长为l，因为l5c，所以ab2c，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,在ABD中， 有BD2AB2AD22ABADcosBAD，,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. 2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角.,