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1、高中数学选修2-1精品课件,第二章 圆锥曲线与方程,2.5 直线与圆锥曲线,走进教材,知识点一:直线与圆锥曲线的位置关系,1.直线与圆锥曲线的位置关系有 、 、 三种情况.,相交,相切,相离,2.判断位置关系的方法就步骤： 联立直线与圆锥曲线的方程组成方程组； 将方程组消元得关于x(或y)的方程； 判断方程是否为一元二次方程； 若方程为一元一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点； 若方程为一元二次方程，利用与0的关系判断三种位置关系.,知识点二：圆锥曲线的弦及弦长公式,1.直线与圆锥曲线有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 ，线段的长就是弦长 2若直线l与圆锥曲线交于A(
2、x1，y1)，B(x2，y2)两点 (1)若直线l的斜率不存在，则|AB| ； (2)若直线l的斜率为0，则|AB| ； (3)若直线l的方程为ykxb，则|AB| 或 .,圆锥曲线的弦,|y1y2|,|x1x2|,典例导航,题型一：直线与圆锥曲线的交点个数的判定,例1 已知直线l：kxy20，双曲线C：x24y24，当k为何值时： (1)l与C无公共点； (2)l与C有唯一公共点； (3)l与C有两个不同的公共点,解：将直线与双曲线方程联立消去y，得(14k2)x216kx200， 当14k20时，有(16k)24(14k2)(20)16(54k2)， (1)当14k20且0时， 即k 5
3、2 或k 5 2 时，l与C无公共点,(2)当14k20，即k 1 2 时，显然方程只有一解 当14k20，且0时， 即k时，方程只有一解 故当k 1 2 或k 5 2 时，l与C有唯一公共点 (3)当14k20，且0时， 即 5 2 k 5 2 且k 1 2 时， 方程有两解，l与C有两个公共点,变式训练,1.过点P(0,4)与抛物线y28x有且仅有一个公共点的直线有_条,【解析】如图，有3条，它们分别为y轴，切线l1，对称轴的平行线l2. 【答案】3,典例导航,题型二：圆锥曲线的弦长及中点弦问题,例2 顶点在原点，焦点在x轴上的拋物线截直线y2x4所得弦长|AB|3 5 ，求拋物线方程,解
4、：设抛物线方程为y2ax(a0)， 将y2x4代入得4x2(a16)x160， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2 +16 4 ，x1x24， |x1x2| (x1+x2) 2 4 1 2 ( +16 4 ) 2 16 .,|AB| 1+ 2 |x1x2| 5 ( +16 4 ) 2 16 3 5 . a4或a36. 所求抛物线的标准方程为y24x或y236x.,变式训练,2.椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点， 若|AB|2 2 ，OC的斜率为 2 2 ，求椭圆的方程,由直线及椭圆方程得(ab)x22bxb10，, 2 4 2 (+) 2 4(1
5、) +,= 2 4 2 4(+)(1) (+) 2 ，,则|AB| 1+ 2 ( 1 + 2 ) 2 4 1 2,由韦达定理知 1 + 2 = 2 + ， 1 2 = 1 + ，,解：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，,椭圆方程为 x2 3 2 3 y21.,代入，得a 1 3 ，b 2 3 ，,OC的斜率为 2 2 ，, = 2 2 ，,设C(x，y)，,则x 1 + 2 2 + ，,y1x + ，,|AB|2 2 ，, + + 1. ,题型三：直线与圆锥曲线综合问题,例3 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短半轴长为1, 动点M(2, t)(t0)在直线= 2 (a为长半
6、轴长，c为半焦距)上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值.,解： (1)设椭圆的方程为 2 2 + 2 2 =1，(0),解得：a2=2，c2=1，,由已知，b=1,又由 2 =2且a2=b2+c2，,椭圆的方程为 2 2 + 2 =1.,(2)设N(x,y),则,由FNOM，ONMN知，,2(x-1)+ty=0,x(x-2)+y(y-t)=0， 即2x+ty=2，x2+y2-2x-ty=0， |ON|2=x2+y2,=2x+ty=2，,|ON|= 2 .,变式训练,3.已知椭圆C经过点(
7、1, 3 2 )，两个焦点为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程； (2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值.,解：(1)由已知，设椭圆方程为 2 2 + 2 2 =1 0 ，,则a2-b2=c2=1，,将点A坐标代入椭圆方程得 1 2 + 9 4 2 =1，,解得：a2=4，b2=3，,椭圆方程为 2 4 + 2 3 =1.,x,O,y,A,F,E,(2)设直线AE的方程为= 1 + 3 2 ,代入椭圆方程，化为,设E(xE , yE), F(xF , yF),则由韦达定理得,又直线AF的斜率为(-k),上式中以(
8、-k)代k,(定点),(动点),(动点),(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4( 3 2 -k)2-12=0, = 4 ( 3 2 ) 2 12 3+4 2 = (32) 2 12 3+4 2 ，, = + 3 2 , = (3+2) 2 12 3+4 2, = + 3 2 +,代入上式得kEF= 1 2 ., = = + +2 ,xF+xE= 8 2 6 3+4 2 ， xF-xE = 24 3+4 2 ,归纳小结,1直线与圆锥曲线的公共点个数的讨论，一般通过联立、消元， 转化为一元二次方程根的个数进行讨论，在应用判别式前， 应注意对二次项系数为0，不为0分类讨论 2直线与圆锥曲线相交，主要有两个问题，即弦长和弦中点问题， 都要用方程思想求解，弦长可由弦长公式求解， 弦中点问题利用中点坐标公式求解 3直线与圆锥曲线的综合问题，千变万化，灵活多变， 但最终都要通过转化与化归，转化为直线与圆锥曲线的基本问题， 利用方程思想求解.,