《2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.4 二面角及其度量 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.4 二面角及其度量 .pptx（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.2.4 二面角及其度量,高中数学选修2-1精品课件,第三章 空间向量与立体几何,引入课题,1.在平面几何中“角“是怎样定义的？ 平面中的角刻画了两直线的相对倾斜程度.,2.“线面角”是怎样定义的？ “线面角”刻画了两直线的相对倾斜程度.,3.如何刻画两平面的相对倾斜程度？,知识点一：二面角的定义及表示,一个平面内的一条直线把 这个平面分成两个部分， 其中的每一部分都叫做半平面.,这条直线叫做二面角的棱.,从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角.,这两个半平面叫做二面角的面.,l,A,B,P,Q,知识点二：二面角的度量,二面角的大小用它的平面角来度量,以二面角的棱上任意一点为端点
2、，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,l,A,B,A1,B1,二面角的大小的范围:0，180,二面角的平面角必须满足：,(3)角的边都要垂直于二面角的棱.,(1)角的顶点在棱上;,(2)角的两边分别在两个面内;,知识点三：向量法求二面角的平面角,如何用向量表示平面与平面所成的角？ 向量的夹角就是平面与平面所成的角吗？,设平面与平面所成的角为， 、的法向量分别为 m 、 n .,n,m,两法向量所成的角 与二面角的平面角 相等或者互补： 同进同出，二面角 等于法向量夹角的补角； 一进一出，二面角 等于法向量夹角.,典例分析,例1 如图，ABCD是正方形，
3、V是平面ABCD外一点，且VAVBVCAB，求二面角AVBC余弦值的大小,解：取VB的中点为E，连接AE，CE. VAABBCVC， AEVB，CEVB. AEC是二面角AVBC的平面角,V,E,D,C,B,A,设ABa，连接AC，在AEC中， AEEC 3 2 a，ACa，由余弦定理可知： cosAEC ( 3 2 ) 2 + ( 3 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 3 2 3 2 1 3 ， 显然二面角AVBC为锐角， 所求二面角AVBC余弦值的大小为 1 3 .,V,E,D,C,B,A,跟踪训练,1.在本例中，若点E为VB的中点，求二面角EACB的大小,V,E,D,C,B,A,解：取AC
4、中点F，连接FE、FB， EFAC，BFAC，则BFE是二面角EACB的平面角 设ABa，则EA 3 2 a，AF 2 2 a， EF 2 2 = 2 . 又BF 2 2 a，BE 2 ，则BF2EF2BE2， BEF为等腰直角三角形，BFE45. 二面角EACB的大小为45.,F,因为EAEC，BABC，,如图所示，取BC中点O，连结AO. 因为ABC是正三角形，所以AOBC， 因为在正三棱柱ABC A1B1C1中， 平面ABC平面BCC1B1， 所以AO平面BCC1B1. 以O为原点，如图建立空间直角坐标系，,典例分析,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1
5、的中点， 求二面角A-A1D-B的余弦值,C1,C,A,B,A1,B1,O,z,y,x,解：,典例分析,则B(1，0，0)，D(1，1，0)， A1(0，2， 3 )，A(0，0， 3 )，B1(1，2，0). 设平面A1AD的法向量为 n (x，y，z)， AD (1，1， 3 )， AA1 (0，2，0) 因为 n AD ， n AA1 ， 得 n AD =0, n AA1 =0， 得x+y 3 z=0, y=0， 令z1，得 n ( 3 ，0，1)为平面A1AD的一个法向量,典例分析,又因为 AB1 (1，2， 3 )， BD (2，1，0)， BA1 (1，2， 3 )，所以 AB1
6、BD 2200， AB1 BA1 1430， 所以 AB1 BD ， AB1 BA1 ，所以AB1平面A1BD， 所以 AB1 是平面A1BD的一个法向量， 所以cos n AB1 | n | AB1 | 2 3 22 2 6 4 ， 所以二面角A A1D B的余弦值为 6 4 .,跟踪训练,2.若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC 2 ， 求二面角A-PB-C的余弦值,C,A,B,P,z,y,x,解：如图所示建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B( 2 ，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)， 故 AP (0，0，1)， AB ( 2 ，1，0)， CB ( 2 ，0，
7、0)， CP (0，1，1)， 设平面PAB的法向量为 m (x，y，z)， 则 m AP =0， m A =0 z=0， 2 x+y=0，,跟踪训练,令x1，则y 2 ，故 m (1， 2 ，0) 设平面PBC的法向量为 n (x，y，z)， 则 n CB =0， n CP =0 2 x=0, -y+z=0， 令y1，则z1，故 n (0，1，1)， cos 2 3 2 3 3 . 二面角A PB C的余弦值为 3 3 .,归纳小结,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.,(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中 涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置 关系以及它们之间距离和夹角等问题；,(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形问题）,