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1、第8讲 一次函数、反比例函数及二次函数,1.会运用函数图象理解和研究函数的性质. 2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.,反比例函数y(k0)的定义域为(，0)(0，)，,1.一次函数,一次函数 ykxb(k0)，当 k0 时，在实数集 R 上是增,函数；当 k0 时，在实数集 R 上是减函数.,2.反比例函数,k x,当 k0 时，函数在(，0)，(0，)上都是减函数；当 k0 时，函数在(，0)，(0，)上都是增函数.,f(x)a(xh)2k(a0),3.二次函数解析式的三种形式,(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0).,(2)顶点
2、式：_，顶点为(h，k). (3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2 为二次函数,图象与 x 轴的两个交点的横坐标.,4.二次函数的图象及性质,(续表),1.若二次函数 f(x)x24x3，则 f(x)在0,1上的值域为,_，在0,3上的值域为_.,0,3,1,3,解析：因为函数图象的对称轴方程为 x,4 2,2，所以,f(x)在0,1上单调递减，最大值为 f(0)3，最小值为 f(1)14 30，值域为0,3.当 x0,3时，f(x)在0,2上单调递减，在 2,3上单调递增，最大值 f(0)3，最小值为 f(2)22423 1，值域为1,3.,4.(2017 年北京)
3、已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2 的,取值范围是_.,B,单调递增,考点1,二次函数的图象及应用,例1：已知函数 yax2bxc，若 abc，且 abc,0，则它的图象可能是(,),A,B,C,D,答案：D,【互动探究】 1.设 b0，二次函数 yax2bxa21 的图象为下列之一，,则 a 的值为(,),图 2-8-1,C.1,D.1,解析：因为 b0，故对称轴不可能为 y 轴，排除.由给 出的函数图象可知对称轴在 y 轴右侧，故 a0.所以二次函数的 图象为第个图，图象过原点，故a210.解得 a1.又a0， 所以 a1.故选 D.,答案：D,考点2,含参数问题的讨论,考向1,区
4、间固定对称轴动型,【规律方法】“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区 间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应该引起 同学们足够的重视.本例中的二次函数是区间1,1固定，对称,【互动探究】 2.(2017 年云南曲靖一中)已知函数 f(x)x2kx2 在区间,(1,5)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是(,),A.10，) C.(，210，),B.(，2 D.(，15，),C,考向2,对称轴固定区间动型,例3：已知二次函数 f(x)x216xq3. (1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数 q 的取值范围； (2)问是否存在常数 t(t0)，当 xt,10时，f(x)的
5、值域为区 间 D，且区间 D 的长度为 12t(视区间a，b的长度为 ba)， 若存在，求出所有满足条件的 t，若不存在，说明理由.,解：(1)f(x)x216xq3 的对称轴方程是 x8， f(x)在区间1,1上是减函数. 函数在区间1,1上存在零点，则必有,f(1)0， f(1)0，,即,116q30， 116q30.,20q12，即 q 的取值范围是20,12. (2)0t10，f(x)在区间0,8上是减函数，在区间8,10 上是增函数，且对称轴方程是 x8.,当,0t8， 8t108，,即 0t6 时，,解得,在区间t,10上，f(t)最大，f(8)最小， f(t)f(8)12t，即
6、t215t520.,当,0t8， 8t108，,即 6t8 时，,在区间t,10上，f(10)最大，f(8)最小， f(10)f(8)12t.解得 t8.,或 8 或 9 满足条件.,当 8t10 时，在区间t,10上，f(10)最大，f(t)最小， f(10)f(t)12t，即 t217t720. 解得 t8(舍去)或 t9.t9.,综上所述，存在常数 t,【规律方法】本题(2)中的二次函数是“对称轴固定区间 动”，即对称轴 x8 固定，而区间t,10不固定，因此需要讨论 该区间相对于对称轴的位置关系，即分0t6,6t8 及8t 10 三种情况讨论.,【互动探究】,3.已知 f(x)x22x
7、5.,(1)若 xR，则函数 f(x)的最小值为_；,(2)若 x1,2，则函数 f(x)的最小值为_，最大值为_； (3)若 xt，t1，则函数 f(x)的最小值为 f(x)min_.,解析：(1)f(x)x22x5(x1)244， f(x)的最小值为 4.,(2)f(x)的对称轴为 x1，又 11,2，,f(x)minf(1)4.由二次函数的图象知，f(x)在1,1上单,调递减，在1,2上单调递增.,又 f(1)(1)22(1)58，f(2)222255，,f(x)max8，f(x)min4. (3)f(x)的对称轴为 x1.,当 t1 时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)minf(
8、t)t2,2t5；,答案：(1)4,当 t1t1 即 0t1 时，f(x)在t,1上单调递减，在1， t1上单调递增，f(x)minf(1)12254. 当 t11 即 t0 时，f(x)在t，t1上单调递减，f(x)min f(t1)t24. t22t5，t1， f(x)min 4，0t1， t24，t0.,(2)4 8 (3) 4，0t1， t24，t0.,t22t5，t1，,思想与方法 运用分类讨论的思想探讨不等式恒成立问题 例题：(2018 年天津)已知 aR，函数 f(x),x22xa2，x0， x22x2a，x0.,若对任意 x3，)，f(x)|x|,恒成立，则 a 的取值范围是_
9、.,，2,当3x0 时，f(x)|x|，即 x22xa2x， 整理，得 ax23x2. 由恒成立的条件，可知 ax23x2min. 结合二次函数的性质可知： 当 x3 或 x0 时，x23x2min2，则 a2.,.,答案：,综合，可得 a 的取值范围是,1 8,【规律方法】不等式恒成立问题： 对于 f(x)0 在区间a，b上恒成立的问题，一般等价转 化为 f(x)min0，xa，b. 对于 f(x)0 在区间a，b上恒成立的问题，一般等价转 化为 f(x)max0，xa，b. 若 f(x)含有参数，则要对参数进行讨论或分离参数. 特别地：)ax2 bx c0 ，a0 恒成立的充要条件是, )ax2 bx c0 ，a0 恒成立的充要条件是,a0， b24ac0. a0， b24ac0.,【互动探究】,答案：A,