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1、第五章,数列、推理与证明,第1讲 数列的概念与简单表示法,1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.,1.数列的定义,按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个 数叫做这个数列的项.数列可以看作是定义域为N*的非空子集 的函数，其图象是一群孤立的点.,2.数列的分类,无限,3.数列的表示法,数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式,如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个 公式anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,5.Sn与an的关系,an1,an1,1.数列
2、 1,2,4,8,16,32，的一个通项公式是( ),B,B,A.an2n1 B.an2n1 C.an2n D.an2n1 2.数列1，3,5，7,9，的一个通项公式为( ) A.an2n1 B.an(1)n1(2n1) C.an(1)n(2n1) D.an(1)n(2n1),4.如图 5-1-1，根据下面的图形及相应的点数，写出点数构,成的数列的一个通项公式an_. 图 5-1-1,D,5n4,考点 1 由数列的前几项写数列的通项公式 例 1：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前 4 项 已给出.,(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，； (4)5,4,5,4，.,(3)0.
3、910.1,0.9910.01,0.99910.001， 0.999910.0001， 又0.1101,0.01102,0.001103,0.0001104， 它的一个通项公式为an110n. (4)这个数列前4项构成一个摆动数列，奇数项是5，偶数项是4.,【规律方法】对于一个公式能否成为一个给出的前 n 项的,数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可.,根据数列an的前 n 项求通项公式，我们常常取其形式上 较简便的一个即可.另外，求通项公式，一般可通过观察数列中 各项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加以 验证.,已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来,考虑：,负号用
4、(1)n与(1)n1或(1)n1来调节；,分数形式的数列，分析分子、分母的特征，且充分借助,分子、分母的关系； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征；,对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数,列(后面专门学习)和其他方法解决；,此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察 (观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差 数列或等比数列)等方法.,【互动探究】,1.写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，；,(3)1,7，13,19，； (4)3,33,333,3333，.,考点 2 由数列的前 n 项和求数列的通项公式,考向 1,Sn 与 n 的关系问题,
5、例 2：已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式：,(1)Sn2n23n； (2)Sn2n23n 1.,解：(1)a1S1231，,当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5， 由于a1也适合此等式，an4n5. (2)a1S12310， 当n2时，anSnSn1(2n23n1)2(n1)2 3(n1)14n5， 显然，a1不适合此等式.,【规律方法】由Sn求an的步骤： 先利用a1S1求出a1.,用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an SnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式. 对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，若符合，则可以
6、把数列的通项公式合写；若不符合，则应写成分段函数的形式.,考向 2,Sn 与an 的关系问题,例 3：(1)设 Sn是数列an的前n项和，且a11，an1 SnSn1，则Sn_.,解析：当n1时，a11；,当n1时，也符合an(2)n1. 综上所述，an(2)n1.,答案：(2)n1,【规律方法】Sn 与 an 关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. (1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式(如,第(1)题).,(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，,再求解(如第(2)题).,考点 3,由数列的递推关系求数列的通
7、项公式,例 4：(1)设数列an中，a12，an1ann1，则通项 an_. 解析：由题意，得当 n2 时， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1),答案：,n(n1) 2,1,(2)若a11，nan1(n1)an(n2)，则an_；,(3)在数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项 公式为 an_. 解析：方法一，(累乘法) an13an2，即an113(an1)，,即an123n1(n1). 所以an23n11(n2). 又a11也满足上式， 故数列an的一个通项公式为an23n11.,答案：23n11,方法二，(迭代法) an13an2， 即an113(an1)32(a
8、n11)33(an21) 3n(a11)23n(n1). 所以an23n11(n2).又a11也满足上式， 故数列an的一个通项公式为an23n11.,an1f(n)时，用累加法求解；当出现,【规律方法】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通 常用累加、累乘、构造法求解.当出现anan1m 时，构造等 差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现an,f(n)时，用累乘法,求解.,思想与方法 用分类讨论的思想探讨数列的单调性,例题：(2017年安徽淮北一中)已知数列an与bn满足an12bn2bn1an(nN*)，若a19，bn3n(nN*)且an3n36(n3)3对一切nN*恒成立，则实数的取值范围是_.,【互动探究】,答案：C,【方法与技巧】本题考查了数列的单调性、不等式的性质， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题.解题时由anbn对任意,