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1、第三章,三角函数与解三角形,第1讲 弧度制与任意角的三角函数,1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.,1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形.正角是按逆时针方向旋转形成的；负角是 按_方向旋转形成的；一条射线没有作任何旋转，我们,称它为零角.,顺时针,2.终边相同的角 终边与角相同的角，可写成 S|k360，kZ.,3.弧度制 (1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. (2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. (3)正角的弧度数为正数，负
2、角的弧度数为负数，零角的弧 度数为零.角的弧度数的绝对值|_(其中 l 是以角作为 圆心角时所对圆弧的长，r 是圆的半径). (4)弧度与角度的换算：180 rad；,4.弧长公式和扇形面积公式 (1)在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 l|r；,S_.,5.任意角的三角函数的定义 设是一个任意角，角的终边上任意一点 P(x，y)，它与原 点的距离是 r(r0)，那么,6.三角函数值在各象限的符号,7.三角函数线,设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边与 单位圆相交于点 P，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于点 M，则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.,),1.下列
3、各命题正确的是( A.终边相同的角一定相等,C,C,B.第一象限角都是锐角 C.锐角都是第一象限角 D.小于 90 度的角都是锐角 2.若 sin 0，则是(,),A.第一象限角 C.第三象限角,B.第二象限角 D.第四象限角,),3.(2016 年江西模拟)下列说法中，正确的是( B.第一象限的角不可能是负角 C.终边相同的两个角的差是 360的整数倍 D.若是第一象限角，则 2是第二象限角,它们都不是锐角，A 选项错误；300角的终边就落在第一象 限，B 选项错误；与角终边相同的角都可以写成k360(k Z)的形式，其差显然是 360的整数倍，C 选项正确；若是第一 象限角，则 k360k
4、36090(kZ).所以 2k3602 2k360180(kZ)，所以 2a 是第一象限或第二象限或终边 在y 轴非负半轴上的角，D 选项错误.故选 C. 答案：C,_.,考点 1 角的概念,例 1：(1)写出与1840终边相同的角的集合 M；,(2)把1840的角写成 k360(0360)的形式； (3)若角M，且360，360，求角.,解：(1)M|k3601840，kZ. (2)18406360320. (3)由(1)(2)，得 M|k360320，kZ. M，且360360， 360k360320360(kZ).,kZ，k1 或 k0. 故40或320.,【规律方法】在0到360范围内
5、找与任意一个角终边相 同的角时，可根据实数的带余除法进行.因为任意一个角均可写 成k3601(01360，kZ)的形式，所以与角终边 相同的角的集合也可写成|k3601，kZ.如本题M | k360320，kZ.由此确定360，360范围 内的角时，只需令k1 和0 即可.,【互动探究】 1.给出下列四个命题：,3 4,是第二象限角；,4 3,是第三象限角；400是第,四象限角；315是第一象限角.,其中正确命题的个数有(,),A.1 个,B.2 个,C.3 个,D.4 个,三象限角，故正确.40036040，故正确.315 36045，从而正确.故选 C. 答案：C,考点 2,三角函数的概念
6、,例 2：已知角终边经过点 P(3t,4t)，t0，求角的正弦、 余弦和正切.,【规律方法】任意角的三角函数值，只与角的终边位置有 关，而与角的终边上点的位置无关.当角的终边上的点的坐标 以参数形式给出时，由于参数 t 的符号不确定，故用分类讨论 的思想，将t 分为t0 和t0 两种情况，这是解决本题的关键.,【互动探究】,D,A,考点 3,三角函数的符号,是第二象限角， 90k360180k360(kZ). 1802k36023602k360(kZ)， 故2是第三或第四象限角，或2的终边在y轴的非正半轴上.,解：,画出区域：将坐标系每个象限二等分，得 8 个区域； 标号：自 x 轴正向逆时针
7、方向把每个区域依次标上一， 二，三，四(如图3-1-1)； 确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求.,图 3-1-1,图 3-1-2,画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到 12 个区域； 标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一，,二，三，四(如图 3-1-2)：,确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为,所求.,【互动探究】,4.下列各式中，计算结果为正数的是(,),答案：C,A.第一或第二或第三象限角 B.第一或第三或第四象限角 C.第二或第三或第四象限角 D.第一或第二或第四象限角,答案：A,考点 4,弧度制的应用,例 4：(1)如图 3-1-3，一扇形的半
8、径为 r，扇形的周长为 4. 当圆心角为多少弧度时，扇形的面积 S 取得最大值？ (2)若一扇形面积为 4，则当它的中心角为何值时，扇形周 长 C 最小？ 图 3-1-3,(2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，圆心角为(0).,即当2 rad 时，扇形周长 C 最小，且最小值为 8.,【规律方法】(1)自变量是线(线段或曲线)的长度时，求函 数的定义域的基本方法是所有的线的长度均为正数.应用扇形,【互动探究】,6.周长为 20 cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的,侧面，求此圆锥的体积.,解：设扇形半径为 r，弧长为 l，则 l2r20.l202r.,难点突破 三角函数线的应用,图 3-
9、1-4,解析：方法一，当为锐角时，显然有 tan sin ，故 A，,B 错误；,当在第三象限时，显然有 tan 0，cos 0，sin 0，,故 D 错误.故选 C.,图 3-1-5,ATtan ，OMcos ，MPsin . 显然选 C. 答案：C,【互动探究】 7.(2014 年新课标)如图 3-1-6，圆 O 的半径为 1，A 是圆 上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射 线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，的图象大致,为(,),图 3-1-6,A C,B D,答案：B,