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1、第8讲 解三角形应用举例,1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.,1.解三角形的常见类型及解法,在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，,常见类型及其解法如下表所示：,(续表),2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航 海问题等. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角： 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平 视线下方的角叫做俯角如图 3-8-1(
2、1).,(1),(2),图 3-8-1,(2)方向角：,相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等. (3)方位角：,指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的,方位角为如图 3-8-1(2).,(4)坡角：,坡面与水平面所成的二面角的度数.,2.如图 3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边 选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA,45，且 AB200 m.则 A，C 两点的距离为(,),A,3.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测 得俯角分别为 45和 30，且两条船与炮台底部连线成 30角，,则两条船相距(,),图
3、D24,30 m. 答案：D,4.一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯 塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在 船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速,度是( ),图 D25,答案：C,考点,测量问题,考向 1,测量距离问题,例 1：某沿海四个城市 A，B，C，D 的位置如图3-8-3所示， 其中ABC60，BCD135，AB80 nmile，BC40,50 nmile/h 的速度向 D 直线航行，60 min 后，轮船由于天气原 因收到指令改向城市 C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市 C 的距离是_nmile.,图 3-8-3,答案：
4、100,【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在,有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.,(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学,模型的解.,1.(2017 年江西赣州模拟)如图 3-8-4，为了测量 A，B 处岛 屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西 15、 北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛,屿间的距离为(,),图 3-8-4,【互动探究】,解析：由题意，可知BDC904545， 又BCD90，BCCD40 海里. 在ADC 中
5、，ADC105，ACD906030，,答案：A,考向 2,测量高度问题,例 2：(1)(2015 年湖北)如图 3-8-5，一辆汽车在一条水平的 公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m. 图 3-8-5,(2)(2014 年新课标)如图3-8-6，为测量山高 MN，选择点 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角 为MAN60，点C的仰角为CAB45，以及MAC 75；从点 C 测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山
6、,高 MN _m.,图 3-8-6,答案：150,【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的,概念.,(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个,三角形内运用正弦或余弦定理.,【互动探究】 2.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分,别是 30，60，则塔高为_m.,图 D26,考向 3,测量角度问题,例 3：如图 3-8-7，在一个坡度一定的山坡 AC 的山顶上有 一高度为 25 m 的建筑物 CD.为了测量该山坡相对于水平地面的 坡角，在山坡的 A 处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达 B 处，又测得DBC45.根据以上数据计算可得 cos _
7、. 图 3-8-7,【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行， 同时要理解实际问题中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、 方位角、坡角等.,【互动探究】,B,3.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在 观察站北偏东 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在,灯塔 B 的(,),A.北偏东 10 C.南偏东 10,B.北偏西 10 D.南偏西 10,难点突破,三角函数在解三角形中的应用,例题：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，,(1)求角 B 的大小；,(2)若 M 为 AB 的中点，且 AMAC，求 sinBAC.,(2)方法一，如图 3-8-8，取线段 MC 的中点 D，连接 AD， AMAC，ADMC.设 CDx，则 BD3x.,图 3-8-8,方法二，设 BMx，则 ABc，,【互动探究】,4.(2014 年新课标)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，,AB1，BC3，CDDA2.,(1)求角 C 和 BD；,(2)求四边形 ABCD 的面积.,解：(1)由题设及余弦定理，得,BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C， BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C. ,(2)四边形 ABCD 的面积,