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1、第5讲 几何概型,1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. 2.了解几何概型的意义.,1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面 积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简,称为_.,几何概型,2.几何概型中，事件 A 的概率计算公式,P(A),构成事件 A 的区域长度(面积或体积) 全部结果所构成的区域长度(面积或体积),3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点,(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个. (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.,注意：在几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子 区域 A 的几何度量(
2、长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置 和形状无关.,求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和,整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.,1.一只蚂蚁在如图 9-5-1 所示的地板砖(除颜色不同外，其 余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在灰色地板砖上的概,率是(,),B,图 9-5-1,A.,1 4,B.,1 3,C.,1 5,D.,1 2,2.(2016 年湖北武汉调研)在两根相距 6 m 的木杆上系一根 绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概,率为(,),B,3.在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的,图 D92,答案：A,4.向面积为
3、S 的ABC 内任投一点 P，则PBC 的面积小,图 D93,考点 1 与长度(角度)有关的几何概型 例 1：(1)(2016 年新课标)某公司的班车在7：30,8：00, 8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车， 且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的,概率是(,),1010 1,解析：如图 D94，画出时间轴： 图 D94 小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 中，而当他的 到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过,10 分钟，根据几何概型，得所求概率 p, .故选 B. 40 2,答案：B,答案：B,(3)
4、在 RtABC 中，A30，在斜边 AB 上任取一点 M，,则使|AM|AC|的概率为(,),解析：M 为斜边 AB 上任一点，结果应该 为斜边 AB 上的长度比.如图 D95， 取 ADAC，A30，欲使|AM|AC|，,点 M 必须在线段 BD 内，其概率为,图 D95,答案：C,84 1,(5)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，以线段 AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2 的概率为_. 解析：设 ACx，则 BC12x，矩形的面积为 SAC BCx(12x)12xx2. 12xx232，4x8. 由几何概率的求解公式，可得该矩形的面积大于 32 cm
5、2 的,概率为 p, . 12 3,答案：,1 3,【规律方法】应用几何概型求概率的步骤：,把每一次试验当作一个事件，看事件是否是等可能的且 事件的个数是否是无限个，若是，则考虑用几何概型； 将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图,形，并加以度量；,将几何概型转化为长度、面积、体积之比，应用几何概,型的概率公式求概率.,考点 2,与面积有关的几何概型,例 2：(1)(2017 年新课标)如图 9-5-2，正方形 ABCD 内的 图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，,则此点取自黑色部分的概率是(,),图 9-5
6、-2,解析：不妨设正方形边长为 a，由图形的对称性可知，太 极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概,答案：B,(2)(2018 年新课标)图 9-5-3 来自古希腊数学家希波克拉 底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.ABC 的三 边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在 整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为,p1，p2，p3，则( ),图 9-5-3,A.p1p2 B.p1p3 C.p2p3 D.p1p2p3,答案：A,答案：D,【规律方法】如果试验结果构成的试验区域的几何测度
7、可 用面积或体积表示，那么概率的计算公式为 P(A),构成事件 A 的区域长度(面积或体积) 全部结果所构成的区域长度(面积或体积),.,考点 3,与体积有关的几何概型,例 3：(1)有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P,到点 O 的距离大于 1 的概率为(,),A.,1 3,B.,3 2,C.,2 3,D.,1 2,答案：C,(2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点 P，则,点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率
8、为(,),解析：由题意，得在正方体 ABCD-A1B1C1D1内任取一点， 满足几何概型，记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A，则 事件 A 发生时，点 P 位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球外.,答案：C,(3)(2017 年河南郑州一中)我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图 9-5-5 所示的程序框图表示其基本步骤(函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).,),若输出的结果为 521，则由此可估计的近似值为( 图 9-5-5,A.3.119,B.3.126,C.3.132,D.3.151,答案：B 【规律方法】求解与体积有关问题的
9、注意点：对于与体积 有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及 事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事 件去求.,考点 4,与角度有关的几何概型,例 4：(1)在 RtABC 中，A30，过直角顶点 C 作射,线CM 交线段 AB 于点 M，则使|AM|AC|的概率为(,),解析：“过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于点 M”， CM 在直角内等可能，结果应该为角度的比.如图 D96，取 AD AC，A30，此时ACD75，欲使|AM|AC|，CM,必须在BCD 内，其概率为,答案：B,图 D96,(2)如图9-5-6，在ABC中，B60，C45，高A
10、D ，在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM1 的概率 为_.,图 9-5-6,答案：,2 5,【规律方法】与角度有关的几何概型的求法：当涉及射线 的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域 度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的 度量手段.,难点突破 与线性规划有关的几何概型 例题：节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两,串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ),解析：设两串彩灯同时通电后，第一次 闪亮的时刻分
11、别为 x，y，则 0x4,0y4， 而事件 A“它们第一次闪亮的时刻相差不超 过 2 秒”，即|xy|2，可行域为如图 9-5-7,所示的阴影部分.,图 9-5-7,由几何概型概率公式，得 P(A),答案：C,【规律方法】将随机事件转化为面积之比时，要注意哪部 分代表总的基本事件表示的区域，哪部分是所求事件所表示的 区域.,【互动探究】,1.(人教版教材必修3P137例2改编)某校早上8：00 开始上课， 假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到校，且每 人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少 早 5 分钟到校的概率为_.(用数字作答),解析：如图 D97，用 x 表示小张到校的 时间，30x50，用 y 表示小王到校的时间， 30y50，则所有可能的结果对应平面直角 坐标系的正方形 ABCD 区域.小张比小王至少 早 5 分钟到校，即 yx5.所对应的区域为,DEF.,图 D97,A.p1p2p3 B.p2p3p1 C.p3p1p2 D.p3p2p1,根据几何概型公式可得 p2p3p1.,(1),(2),(3),图 D98 答案：B,