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1、3.1.1 空间向量的线性运算,第三章 3.1 空间向量及其运算,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念. 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律. 3.掌握数乘向量运算的意义及运算律.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 空间向量的概念 1.在空间中，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 .,大小,方向,长度,模,长度,2.几类特殊的空间向量,零向量,模为1,相等,相反,相同,相等,同向,等长
2、,互相平行或重合,共线向量,平,行向量,2.空间向量加法交换律 ab ， 空间向量加法结合律 (ab)ca(bc).,知识点二 空间向量的加减运算及运算律 1.类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.,ba,知识点三 数乘向量运算 1.实数与向量的积 与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下： (1)|a| . (2)当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向 ；当0时，a0. 2.空间向量数乘运算满足以下运算律 (1)(a) ； (2)(ab) .,|a|,相反,()a,ab,1.若表示两个相等空间向量的有向线
3、段的起点相同，则终点也相同.( ) 2.零向量没有方向.( ) 3.两个有公共终点的向量，一定是共线向量.( ) 4.空间向量的数乘中只决定向量的大小，不决定向量的方向.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 空间向量的概念理解,例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.空间向量不满足加法结合律 B.若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 D.相等向量其方向必相同,解析 A中，空间向量满足加法结合律； B中，|a|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
4、,(2)给出以下结论： 两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； 在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有 ； 若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；,显然正确.故选B.,反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.,A.1 B.2 C.3 D.4,(2)如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为
5、起点和终点的向量中： 单位向量共有多少个？,题型二 空间向量的加减运算,例2 如图，已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.,解 结合加法运算,反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.,证明 平行六面体的六个面均为平行四边形，,题型三 数乘向量运算,例3 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1
6、C1D1中，设 ，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.,核心素养之逻辑推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,对空间向量的有关概念理解不清致误,解析 错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. 错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.,故一共有3个错误命题，正确答案为C.,素养评析 (1)掌
7、握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键. (2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.,3,达标检测,PART THREE,1.下列命题中，假命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.空间中任意两个单位向量必相等,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量 相等的向量共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,1,2,3,4,5,3.向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是 A.ab B.ab为实数0 C.a与
8、b方向相同 D.|a|3,解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：,解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：,4,1.一些特殊向量的特性 (1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的. (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量. 2.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,