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1、第八章 立体几何,第4节 空间中的平行关系,知识梳理,1.线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 数学符号表示:ab,a,ba. (证明线面平行的常用方法: 三角形中位线;平行四边形;面面平行.),2.线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示:a,a,=cac.,3.面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 数学符号表示:,4.面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 数学符号表示:,=a,=bab.,精选
2、例题,【例1】 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,设AB1的中点为D, B1CBC1=E.求证:DE平面AA1C1C.,【证明】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧面BB1C1C为矩形,B1CBC1=E,所以E为B1C的中点, 又D为AB1的中点,在ACB1中,有DEAC, DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.,【例2】 (2014湛江一模)如图,在三棱锥PABC中,D、E、F分别是PC、AC、BC的中点.求证:平面DEF平面PAB.,【证明】 E、F分别是AC、BC的中点,EFAB. AB平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB. 同理:DF平面P
3、AB,EF平面DEF,DF平面DEF, EFDF=F,平面DEF平面PAB.,专题训练,1.已知m,n,l是不同的直线,是不同的平面,以下命题正确的是( ) 若mn,m,n,则; 若m,n,lm,则ln; 若m,n,则mn; 若,m,n,则mn. A. B. C. D.,【答案】D 【解析】 若mn,m,n,则或,相交; 若m,n,lm,则ln或ln或l,n异面; 正确; 若,m,n,则mn或mn或m,n异面.,2.“平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“l”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【答案】B 【解析】 如果直线在平面内,
4、直线可能与平面内的无穷条直线都平行,但直线不与平面平行,应选B.,3.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AEEB=AFFD=14,又H,G分别为BC,CD的中点,则( ) A.BD平面EFGH,且四边形EFGH是矩形 B.EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形 C.HG平面ABD,且四边形EFGH是菱形 D.EH平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形,4.“平面与平面平行”的充分条件可以是 ( ) A.内有无穷多条直线都与平行 B.直线a,a,且直线a不在内,也不在内 C.直线a,直线b,且a,b D.内的任何直线都与平行,【答案】D 【解析】 若与平面平行
5、的直线与两平面的交线平行,则易知 A、B、C错.,5.在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列结论中,错误的是 ( ) A.ACBD B.AC截面PQMN C.AC=BD D.异面直线PM与BD所成的角为45,【答案】C 【解析】 因为截面PQMN是正方形,所以MNQP,则MN平面ABC, 由线面平行的性质知MNAC,则AC截面PQMN, 同理可得MQBD,又MNQM,则ACBD,故A、B正确. 又因为BDMQ,所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,即为45,故D正确.,6.(2018合肥模拟)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AEEB=CFFB
6、=12,则对角线AC和平面DEF的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定,7.在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,G为PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的周长为 .,8.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是 .,9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF平面AB1C,则线段EF的长度等于 .,10.(2017新课标卷,文6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中
7、点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 ( ) A. B. C. D.,【答案】A 【解析】 选项B,由ABMQ,则直线AB平面MNQ; 选项C,由ABMQ,则直线AB平面MNQ; 选项D,由ABNQ,则直线AB平面MNQ.,11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方形,D为线段AC的中点.求证:直线AB1平面BC1D.,【证明】 如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD. 显然点O为B1C的中点. 因为D是AC中点,所以AB1OD. 又因为OD平面BC1D,AB1平面BC1D, 所以直线AB1平面BC1D.,12.如图,四棱锥PABCD的底面是边长
8、为1的正方形,E为PC的中点.证明:PA平面EDB.,【证明】 连接AC交BD于点G,连接EG. 因为四边形ABCD是正方形,所以点G是AC的中点, 又因为E为PC的中点, 因此EGPA. 而EG平面EDB,PA平面EDB,所以PA平面EDB.,13.如图,四棱锥PABCD中,ABCD为平行四边形,E,F分别是PC,AB的中点.求证:EF面PAD.,14.如图所示,在所有棱长都为2a的三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,D点为棱AB的中点.求证:AC1平面CDB1.,【证明】 连接BC1,设BC1与B1C交于点E, 则点E是BC1的中点,连接DE, 因为D点为AB的中点, 所以D
9、E是ABC1的中位线, 所以AC1DE, 因为DE平面CDB1,AC1面CDB1, 所以AC1平面CDB1.,15.(2018广东七校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.求证:ABEF.,【解析】 证明:底面ABCD是菱形,ABCD, 又AB平面PCD,CD平面PCD,AB平面PCD, 又A,B,E,F四点共面,且平面ABEF平面PCD=EF,ABEF.,16.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中, 求证:平面A1BD平面CB1D1.,【证明】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, BDB1D1,BD平面B1D1C,B1D
10、1平面B1D1C, BD平面B1D1C. 同理:A1D平面B1D1C. A1DDB=D,A1D平面A1DB,BD平面A1DB , 平面A1BD平面CB1D1.,17.如图,ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点. (1)求证:BE平面DMF;,【证明】 (1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为ABE的中位线,所以BEMO, 又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.,17.如图,ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点. (2)求证:平面BDE平面MNG.,(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DEGN, 又DE平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG. 又M为AB中点,所以MN为ABD的中位线, 所以BDMN,又BD平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG, 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE平面MNG.,