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1、2.1.2 数列的递推公式(选学),第二章 2.1 数 列,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 项(或某一项)开始的任一项_与它的前一项 (或前几项)(n2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，
2、并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式. (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.,二,an,an1,知识点二 递推公式与通项公式的比较 通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.,答案 a2a124，a3a226，a4a328；,(2)已知an2n，求a4. 答案 a4248.,1.数列an中，若an12an，nN，则a22a1.( ) 2.利用an12an，nN可以确定数列an.(
3、) 3.ann与yx的图象是相同的.( ) 4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示. ( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 由数列前若干项归纳递推公式,例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式.,解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，,个数依次为1，3，9，27. 则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 所
4、以，这个数列的一个通项公式是an3n1，nN.,反思感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.,跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n1(n2，nN)个三角形数多_个石子.,n,解析 a2a12，a3a23， anan1n.,题型二 数列的递推公式,命题角度1 由递推公式求前若干项,多维探究,引申探究,反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项
5、公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.,解 a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，. 发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6. 证明如下：an2an1an， an3an2an1(an1an)an1an. an6an3(an)an. 数列an是周期数列，且T6. a2 019a33663a31.,跟踪训练2 已知数列an中，a11，a22，an2an1an，nN，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 019项？,
6、命题角度2 由递推公式求通项,例3 (1)对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，an1an2，nN，求通项an；,解 当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 1 2(n1)12n1. a11也符合上式， 所以数列an的通项公式是an2n1，nN.,a11也符合上式，,，,(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1),又当n1时，a11也符合上式.,3,达标检测,PART THREE,1.数列1，3，6，10，15，的递推公式是 A.an1ann，nN B.anan1
7、n，nN，n2 C.an1an(n1)，nN D.anan1(n1)，nN，n2,1,2,3,4,5,解析 由已知得a2a12，a3a23，a4a34，a5a45， an1ann1，nN，故选C.,解析 由a11得a2a1a1(1)2，则a22；,1,2,3,4,5,由a3a2a2(1)3，得a3 ；,3.已知数列an满足a12，an1an10(nN)，则此数列的通项an等于 A.n21 B.n1 C.1n D.3n,1,2,3,4,5,解析 an1an1. 当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 2 2(1)(n1)3n. 当n1时，a12也符合上式. 故数列的通项an3n
8、(nN).,1,2,3,4,5,1,解析 x11，x2 ，x31， 数列xn的周期为2，x2 019x11.,1,2,3,4,5,解析 a13，a2325，a33227，a432229， an2n1，nN.,5.用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_.,an2n1，nN,1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式.而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法 (1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,